1.4解直角三角形同步练习2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

1.4解直角三角形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在中，，，若，则的长为( ) A． B． C． D．无法确定 2．如图，△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（       ） A．-1 B． C． D．2 3．如图，矩形的顶点在双曲线上，BC与y轴交于点D，且．与轴负半轴的夹角的正切值为，连接OB，，则k的值为（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 4．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为 A． B．2 C． D．3 5．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　） A．200米 B．200米 C．220米 D．100米 6．如图，正方形的对角线，相交于点O，点F是上一点， 交于点E，连接，交于点P，连接．则下列结论：①；②；③；④四边形的面积是正方形面积的；⑤若，则．其中正确的结论是（　　） A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 7．如图，已知正方形ABCD的边长为1，若将边BC绕点B旋转90°后，得到正方形BC′D′C,连接AC、AD′,设∠BAC=α, ∠C′AD′=β,那么sinα+sinβ等于（  ） A． B． C． D． 8．在中，，则（     ） A．30 B．40 C． D．20 9．如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F＝AB．若AB＝2，则BF的长为（　　） A． B． C． D．2 10．直角梯形的一个内角为，较长的腰为6，一底为5，则这个梯形的面积为（   ） A． B． C．25 D．或 11．如图，嘉嘉用三个面积为cm²的等腰三角形纸片（图1），拼成了一个正六边形（图2），则此正六边形的边心距为（        ） A．cm B．2cm C．cm D．4cm 12．如图，在矩形中，，点在直线上，若矩形的周长为，点到直线的距离的长为6，则点到直线的距离的长为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于D，E两点，且cosA＝，则S△ADE：S四边形DBCE的值为 ． 14．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点处，联结，直线与边CB的延长线相交于点F，如果∠DAB=∠BAF，那么BF= 15．如图，在中，，D为边的中点，E、F分别为边上的点，且，若，则 ，线段的长度 ． 16．如图，在中，，将边绕点顺时针旋转得到，边绕点逆时针旋转到，连接．若，，且，则 ．    17．如图所示，在平面直角坐标系中，，，则点的坐标是 ． 三、解答题 18．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上的动点，DE∥BC交AC于点E． (1)问题发现：如图2，当∠B＝45°时，计算的值及EC与BD所在直线相交所成的锐角． (2)类比探究：当∠BAC＝30°时，把△ADE绕点A逆时针旋转到如图3的位置时，请求出的值以及EC与BD所在直线相交所成的锐角． 19．综合实践课上，某兴趣小组同学用航拍无人机进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点垂直起飞到达点处，测得学校1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为50米．已知1号楼的高度为20米，且和分别垂直地面于点和，为的中点，求2号楼的高度(结果保留根号)． 20．[问题]办公区是否放得下折叠椅？ [情境]小陈在网上买了一张折叠椅，准备放在办公区（矩形）用于午休，折叠椅有半躺和平躺（度放平）两种模式（如图）． [探究] (1)在平躺模式下，小陈发现折叠椅（矩形）在办公区放不下（如图为俯视图），并且测得：矩形中，． 求边的长． 折叠椅的端点超出办公区的边多少距离？ (2)在半躺模式下（如图为左视图），折叠椅没有超出办公区，且测得．求此时折叠椅从点到点的水平距离． （精确到．参考数据：，，， 21．如图，从空中点测得两建筑物，底部的俯角分别为和，如果测得与之间的距离为，且点，，在同一直线上（结果取整数） (1)求点距地面的高度的值； (2)求建筑物，间的距离 （参考数据：，，，，，） 22．如图，在点用距离地面高度为的测角器测出苏公塔顶端的仰角为，然后沿方向走到达点，测出苏公塔顶端的仰角为．求苏公塔的高．（，，，） 23．如图，在中，直径AB与弦CD相交于点E，点F在BA的延长线上，连接FC，AD，BC，． （1）求证：CF是的切线； （2）若，，求AD的长． 24．在中，，，，交于点，为中点． (1)如图1，连接，线段和的数量关系是 ； (2)如图2，点是线段上动点，连接，点是线段的中点，作射线，使，延长交于点，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作，垂足为点，连接，请判断线段和的数量关系，并说明理由． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《1.4解直角三角形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C D C D D A D 题号 11 12 答案 C B 1．B 【分析】先利用直角三角形两锐角关系，求出锐角，再根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图， ∵中，，， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴． 故选择：B 【点睛】本题考查直角三角形中的角度与斜边问题，熟记角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键． 2．A 【分析】过点C作CK⊥AB于点K，将线段CK绕点C逆时针旋转90° 得到CH，连接HE,延长HE交AB的延长线于点J；通过证明△CKD≌△CHE (ASA)，进而证明所构建的四边形CKJH是正方形，所以当点E与点J重合时，BE的值最小，再通过在Rt△CBK中已知的边角条件，即可求出答案. 【详解】解：如图,过点C作CK⊥AB于点K，将线段CK绕点C逆时针旋转90° 得到CH，连接HE,延长HE交AB的延长线于点J ∵将线段CD绕点C逆时针旋转90° ,得到线段CE ∴∠DCE=∠KCH = 90° ∵∠ECH=∠KCH - ∠KCE，∠DCK =∠DCE-∠KCE ∴∠ECH =∠DCK 又∵CD= CE，CK = CH ∴在△CKD和△CHE中 ∴△CKD≌△CHE (ASA) ∴∠CKD=∠H=90°，CH=CK ∴∠CKJ =∠KCH =∠H=90° ∴四边形CKJH是正方形 ∴CH=HJ=KJ=C'K ∴点E在直线HJ上运动，当点E与点J重合时，BE的值最小 ∵∠A= 30° ∴∠ABC=60° 在Rt△CBK中，BC= 2 ∴CK = BCsin60°=，BK=BCcos60° = 1 ∴KJ = CK = 所以BJ = KJ-BK= BE的最小值为 故选A． 【点睛】本题主要考查了以线段旋转为载体的求线段最短问题，正方形的构建是快速解答本题的关键． 3．C 【分析】本题考查了矩形的性质，三角函数，反比例函数的几何意义等知识的综合运用．过点作轴于点，由题意可知，由，可知，设，则，，利用三角函数求得，利用，求得的值，在中利用三角函数求得和的长，从而求得点的坐标，即可求得的值． 【详解】解：过点作轴于点， 四边形是矩形， ， ， 轴， ，轴， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．C 【分析】由已知可知△ADC是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得AD=4，在Rt△ABD中，由∠B=60°，可得BD==，再由BE平分∠ABC，可得∠EBD=30°，从而可求得DE长，再根据AE=AD-DE即可 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴△ADC是直角三角形， ∵∠C=45°， ∴∠DAC=45°， ∴AD=DC， ∵AC=8， ∴AD=4， 在Rt△ABD中，∠B=60°， ∴BD===， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBD=30°， ∴DE=BD•tan30°==， ∴AE=AD-DE=， 故选C. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键. 5．D 【分析】在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD=CD=100米，再在Rt△ACD中求出AD的长，据此即可求出AB的长． 【详解】∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°， ∴BD＝CD＝100米， ∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°， ∴AC＝2×100＝200米， ∴AD＝＝100米， ∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（1+）米， 故选D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 6．C 【分析】本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数，熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角函数的定义是解题的关键． ①通过证明得到,证明得到从而证明,即； ②通过等弦对等角证明即可； ③通过以及巩固定理即可证明； ④根据即可证明结论； ⑤证明，通过三角形相似的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：正方形的对角线，相交于点O， ，且， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故①正确； 作交于点L，则， ， ，且， ， 在和中， ， ， ， ， 故②正确； ， ， 故③正确； ， ， 故④正确； 设，交于点Q， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故⑤错误； 综上，正确的结论是①②③④， 故选：C． 【点睛】本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数，熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角函数的定义是解题的关键． 7．D 【详解】试题分析：∵四边形ABCD是正方形， ∴α=∠CBA=45°， ∴sinα=， ∵边DC绕点A旋转后，点C落在AB的延长线的C′处， ∴BC′=BC=1， ∴AC′=AB+BC′=1+1=2， ∴AD′=， ∴sinβ= ∴sinα+sinβ=． 故选D． 考点：1.正方形的性质；2.勾股定理；3.旋转的性质；4.锐角三角函数的定义． 8．D 【分析】先解直角三角形，求出各边长，再求面积即可． 【详解】∵， ∴设， ∵， ∴， 即：， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题关键是根据角的正切值求出边长． 9．A 【分析】连接AF，过A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，分别求出BM，FM可得结论． 【详解】解：连接AF，过A作AM⊥BF， ∵在Rt△ABC中，AC＝2AB， ∴∠ACB＝∠AC′B′＝30°，∠BAC＝60°， ∵AB＝AB′ ∴△AB′B为等边三角形， ∵AB′＝BB′＝B′F，∠AB′F＝90°， ∴△AB′F是等腰直角三角形， ∴∠AFB′＝45°， ∴∠AFM＝30°，∠ABF＝45°， 在Rt△AMF中，AM＝BM＝AB•cos∠ABM＝2×＝， 在Rt△AMF中，MF＝＝＝， 则BF＝+． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，等边三角形、等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键． 10．D 【详解】试题分析：根据“直角梯形的一个内角为120°，较长的腰为6cm”可求得直角梯形的高，由于一底边长为5cm不能确定是上底还是下底，故要分两种情况讨论梯形的面积，根据梯形的面积公式=（上底+下底）×高，分别计算即可． 解：根据题意可作出下图. BE为高线,BE⊥CD,即∠A=∠C=90°,∠ABD=120°，BD=6cm， ∵AB∥CD,∠ABD=120°， ∴∠D=60°， ∴BE=6×sin60°=3cm; ED=6×cos60°=3cm； 当AB=5cm时,CD=5+3=8cm,梯形的面积= cm2； 当CD=5cm时,AB=5−3=2cm,梯形的面积= cm2； 故梯形的面积为或， 故选D. 11．C 【分析】设三角形底边为a，底边高为h，根据面积求出a即可得到六边形的边长，作出边心距根据三角函数即可得到答案； 【详解】解： 设三角形底边为a，底边高为h， ∵六边形为正六边形， ∴， ∵三角形是等腰三角形，底边为a，底边高为h， ∴，， ∴， ∵三角形面积为cm²， ∴，解得， ∴， ∵六边形为正六边形， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考正多边形的性质，解题的关键是根据正多边形得到每个内角及中心角度数，再根据解直角三角形求解． 12．B 【分析】本题考查了矩形的性质，同角的余角相等，解直角三角形，勾股定理等知识．利用矩形性质求出的长，利用锐角三角函数求出的长，再利用勾股定理即可求出最后结果，其中证明是解题关键． 【详解】解：四边形为矩形， ，，， ，且矩形的周长为， ， 解得：， 于点，于点， ， ， ，，， ， ， 点到直线的距离的长为， 故选:． 13．． 【分析】连接BE，∠BEC＝90°，cosA＝＝，由四边形DBCE内接于⊙O，得出∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，得出△ADE∽△ACB，得出＝（）2＝，即可得出答案． 【详解】连接BE，如图所示： ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BEC＝90°， 在Rt△ABE中，cosA＝＝， ∵四边形DBCE内接于⊙O， ∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC， ∴△ADE∽△ACB， ∴＝（）2＝（）2＝， S△ADE：S四边形DBCE的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数定义等知识；能够将∠A的余弦值转换为△ADE、△ACB的相似比是解决此题的关键． 14． 【分析】设，根据折叠的性质求得，进而可得，解求得，即可求得的长． 【详解】如图， ∠DAB=∠BAF，设 将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点处， ，∠C=90° 在中， 故答案为： 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键． 15． 【分析】延长到M，使得，连接，，过E作于N，根据等腰三角形的性质可得，根据三角函数可得，再证明，可得，进而证明，根据勾股定理可得，再由三角函数可得，即可得解． 【详解】解：如图，延长到M，使得，连接，，过E作于N，则， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， D为边的中点， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 16． 【分析】如图，作EH⊥DA交DA的延长线于H．首先证明∠DAE=120°，解直角三角形求出AH，HE，在Rt△DHE中，利用勾股定理求出DE即可． 【详解】解：如图，作EH⊥DA交DA的延长线于H，    ∵∠C=60°， ∴∠B+∠CAB=120°， ∵α+β=∠DAB+∠CAE=∠B， ∴∠DAB+∠BAC+∠CAE=∠B+∠BAC=120°， ∴∠EAH=60°， ∵AB=AD=3，AC=AE=2， 在Rt△AEH中，则有AH=AE•cos60°=1，， 在Rt△DHE中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 17． 【分析】可过C点作CA⊥x轴于点A，由题可知∠COA=30°，再运用三角函数即可求解C点坐标. 【详解】解：过C点作CA⊥x轴于点A， 由题可知，∠COA=180°-150°=30°， 则AC=sin30°×OC=，AO= cos30°×OC=， 则C点坐标为：， 故答案为. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，熟记几个特殊角的三角函数值是解题关键. 18．(1)，45° (2)，30° 【分析】（1）根据∠ACB＝90°，∠B＝45°，得∠A＝45°，根据DE∥BC，即可得结论； （2）延长BD交AC于点F，交CE的延长线于点G，结合（1）证明△ACE∽△ABD，可得＝＝cos30°＝，进而可得结论． 【详解】（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝45°， ∴∠A＝45°， ∴EC与BD所在直线相交所成的锐角为45°， ∴＝， ∵DE∥BC， ∴＝＝； （2）延长BD交AC于点F，交CE的延长线于点G， 由（1）可知：△ADE∽△ABC， ∴＝，∠DAE＝∠BAC， ∴＝，∠BAD＝∠CAE， ∴△ACE∽△ABD， ∴＝＝cos30°＝， ∠ACE＝∠ABD， ∵∠CFG＝∠AFB， ∴∠CGB＝∠CAB＝30°． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质判断和性质、直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 19．2号楼的高度为米． 【分析】过点作于，过点作于，由B为CD的中点可得EG=HF，在Rt△AEG中利用∠EAG的正切函数可求出EG的长，在Rt△AHF中，根据∠HAF=45°可得AH=HF，进而根据即可得答案. 【详解】过点作于，过点作于， 则四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴， 由已知得：∠HAF=90°-45°=45°， 在中，米， ∴米， 在中，米， ∴(米)． 答：2号楼的高度为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义利用辅助线构造直角三角形是解题关键. 20．(1) (2)点到点的水平距离约为 【分析】本题考查矩形性质等腰三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握相关定理、正确作出辅助线是解题关键． （1）作于点，由矩形性质得和都是等腰直角三角形，求解，可得长度； 求证都是等腰直角三角形，求解，则； （2）过点作，作于点，作于点，作于点，求、的度数，则可求、、，点到点的水平距离． 【详解】（1）解：如下图， 作于点， 矩形，矩形， 和都是等腰直角三角形， ， ，， ． ， 都是等腰直角三角形， ， ． （2）（2）如下图， ，， ，， ，， ， ∴点到点的水平距离． 21．(1)点距地面的高度的值约为 (2)建筑物，之间的距离约为． 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是数量掌握解直角三角形的基本步骤，灵活应用三角函数的变形计算，进行解答，即可． （1）根据题意，则 ，，，根据，即可； （2）根据题意，，求出，由（1）可得，的值，根据，求出，最后根据，即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴（m）， 答：点距地面的高度的值约为． （2）解：在中，， ∴（m）， 在中，，，， ∴， ∴（m）， ∴（m）． 答：建筑物，之间的距离约为． 22． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 设，在中可得，在中可得，根据建立方程求解即可． 【详解】设，在中， ∵， ∴. 在中，， 即， ∴. ∵， ∴ 经检验，是原方程的解． ∴． 答：苏公塔的高为． 23．（1）见解析；（2）． 【分析】(1) 连接CO，根据圆周角定理求出∠COA =60°，进而证∠FCO=90°即可； (2) 连接AC，过点E作EH垂直BC于点H，解直角三角形求出、、、，再证，利用比例式求AD． 【详解】（1）证明：连接CO， ∵∠D=30°， ∴∠COA=2∠D=60°， ∵∠F=30°， ∴∠FCO=90°， ∴CO⊥CF， ∴CF为⊙O的切线； （2）连接AC，过点E作EH垂直BC于点H， ∵AE=2，OE=1， ∴AO=OB=OC=3，BE=4， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠B=30°， ∴，      在中，，， ∴， ∴在中，， ∵∠D=∠B，∠AED=∠CEB， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角的性质、切线的判定和解直角三角形，解题关键是恰当的作辅助线，构建直角三角形． 24．(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）先证明是等边三角形，再运用解直角三角形知识即可； （2）根据点是线段的中点，由直角三角形性质可得，进而可得，由三角形内角和定理得出，结合，即可得出，从而得解； （3）连接，先证明，再证明，即可得解． 【详解】（1）解：，为中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ，， ∴， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理、特殊角的三角函数值，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形等相关知识是解此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$