第二章二次函数 单元练习2024－2025学年北师大版数学九年级下册

第二章二次函数 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、单选题 1.下列二次函数的图象中经过原点的是( ) A. B. C. D. 2.如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x﹣m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为﹣3,则点D的横坐标最大值为( ) A.13 B.7 C.5 D.8 3.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是,则小球运动中的最大高度为( ) A. B. C. D. 4.二次函数的图象如图所示,对称轴是直线,下列结论:①;②;③;④;⑤.其中结论正确的个数为( )个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.已知 是锐角,且点A(,a),B(sin +cos ,b), C(-m2+2m-2,c)都在二次函数y=-x2+x+3的图象上,那么a、b、c的大小关系是 ( ) A.a<b<c B.a<c< b C.b<c<a D.c<b<a 6.已知抛物线y=ax2+bx的顶点A为(h,k)(h≠0),当点A在抛物线y=x2﹣x上,且﹣1≤h<2时,则a的取值不可能的是( ) A.﹣2 B. C.﹣ D.2 7.已知二次函数,当时,的取值范围是,且该二次函数的图象经过点,两点,则的值不可能是( ) A. B. C. D. 8.在同一平面直角坐标系内,将函数的图象向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度得到的图象的顶点坐标是( ) A.(2,-4) B.(4,-2) C.(2,-1) D.(-2,-1) 9.如图,预防新冠肺炎疫情期间,某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区,隔离区一面靠长为的墙,隔离区分成两个区域,中间用塑料膜隔开.已知整个隔离区塑料膜总长为,如果隔离区出入口的大小不计,并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长.小明认为:隔离区的最大面积为;小亮认为:隔离区的面积可能为,则( ) A.小明正确,小亮错误 B.小明错误,小亮正确 C.两人均正确 D.两人均错误 10.物体在地球的引力作用下做自由下落运动,它的运动规律可以表示为:.其中表示自某一高度下落的距离,表示下落的时间,是重力加速度.若某一物体从一固定高度自由下落,其运动过程中下落的距离和时间函数图象大致为( ) A. B. C. D. 11.下列函数中,是二次函数的是 A. B. C. D. 12.用一根长为的铁丝围成一个面积为的矩形,小亮说:“a的值可能是,小情说:“a的值可能是”,小强说:“a的值可能是”,小英说:“a的值可能是”,其中说法错误的是( ) A.小亮 B.小倩 C.小强 D.小英 二、填空题 13.抛物线关于y轴对称的抛物线的函数解析式为 . 14.抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为,点C的坐标为.点P为抛物线上的一个动点.过点P作轴于点D,交直线于点E. (1) , ; (2) 在第一象限内有一点P到直线的距离是点D到直线的距离的5倍,求出点P所有的坐标 . 15.如图,在中,,,点是边上的动点,连接,作交边于点,若设,,则关于的函数表达式是 . 16.已知二次函数, 则函数值时的取值范围是 . 17.将抛物线向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度,所得到的抛物线为 . 三、解答题 18.如图,边长为2的正方形中,顶点的坐标为,一次函数的图象随着的不同取值变化时,位于的右下方由与正方形的边围成的图形面积为,求与之间的函数关系式(关系式不用化简). 19.数学兴趣小组的同学们对函数的图象和性质进行了探究,已知时,函数的图象的对称轴为直线,顶点在轴上,与轴的交点坐标为,探究过程如下,请补充过程: (1) , , . (2)在给出的平面直角坐标系中,画出函数图象,并写出这个函数的一条性质: . (3)进一步探究函数图象并解决问题: ①若有三个实数解,则的取值范围为: . ②若函数的图象与该函数有三个交点,则的取值范围为: . 20.2022年冬奥会在北京召开,某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售,文化衫的进价为每件元,当销售单价定为元时,每天可售出件,为了扩大销售,增加盈利,决定采取适当的降价措施,经调查发现:销售单价每降低1元,则每天可多售出2件(销售单价不低于进价),若设这款文化衫的销售单价为x(元),每天的销售利润为y(元). (1)当销售单价为多少元时,销售这款文化衫每天所获得的利润为元; (2)当销售单价为多少元时,销售这款文化衫每天所获得的利润最大,最大利润为多少元? 21.如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门,点为顶点,其高为米,宽为米.以点为原点,所在直线为轴建立直角坐标系. (1)求出该抛物线的函数表达式; (2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入(正中间是宽米的值班室),其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆?请通过计算说明. 22.一企业生产并销售某种产品(假设销量与产量相等),已知该产品每千克生产成本为元,售价(元)与产量之间的函数关系为. (1)当该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少? (2)若企业每销售该产品需支出其他费用元,当时该企业获得的最大利润为元,求的值. 23.如图,抛物线与轴交于点,与轴交于点.在线段上有一动点(不与重合),过点作轴的垂线交于点,交抛物线于点,过点作于点. (1)求直线的函数解析式; (2)求证:;并求出当为何值时,和的相似比为. 24.如图,在边长为4的正方形ABCD中,P是BC边上一动点(不与B、C两点重合),将 ABP沿直线AP翻折,点B落在点E处;在CD上取一点M,使得将 CMP沿直线MP翻折后,点C落在直线PE上的点F处,直线PE交CD于点N,连接AM、AN. (1)若P为BC的中点,则sin∠CPM= ; (2)求证:∠PAN的度数不变; (3)当P在BC边上运动时, ADM的面积是否存在最小值,若存在,请求出PB的长;若不存在,请说明理由. 第1页 共4页 第2页 共4页 第1页 共4页 第2页 共4页 学科网(北京)股份有限公司 《第二章二次函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D D C D C B B 题号 11 12 答案 B D 1.B 【分析】本题只需要将x=0代入函数解析式,然后看所得出的函数值是否为零即可得出正确答案. 【详解】A、将x=0代入可得y=1,故不经过原点;B、将x=0代入可得y=0,故经过原点;C、将x=0代入可得y=4,故不经过原点;D、将x=0代入可得y=-3,故不经过原点;故选B. 【点睛】本题主要考查的是判断函数图象是否经过某一个点,属于基础题型.在判断点是否在函数图象上时,我们只要将点的横坐标代入函数解析式,看函数值是否相等即可得出答案. 2.D 【分析】当点横坐标最小时,抛物线顶点必为,利用抛物线顶点式求出a的值,当点横坐标最大时,抛物线顶点为,求出抛物线解析式,令y=0,解方程求出与x轴的右交点即可得出点横坐标最大值. 【详解】解:当点A为抛物线顶点时,此时点C的横坐标取最小值, ∵点C的横坐标最小值为﹣3, ∴点C坐标为(-3,0), 设抛物线解析式为, ∵点C(-3,0)在抛物线上, ∴, ∴, 抛物线在平移过程中形状不变, 当抛物线平移到点B时,即点B为抛物线的顶点, 此时抛物线解析式为, 令y=0,, 解得, ∴或, 点D的横坐标的最大值为8. 故选:D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质和图象,图像平移,抛物线的开口大小与方向不变,明确当点横坐标最大时,抛物线顶点为是解此题的关键. 3.A 【分析】本题考查了二次函数的应用.先将二次函数一般式化为顶点式,再根据二次函数性质即可求解. 【详解】解:, ∵,, ∴当时,有最大值,最大值为45. 故选:A. 4.D 【分析】根据图象可知:,从而可判断结论①;根据对称轴得出,当时,可得结论②;由时,,时, ,可得,可得结论③,由时,函数的最小值为,可得,可得结论④.由抛物线与轴有两个交点,,可得结论⑤;从而可得答案. 【详解】解:根据图象可知:, ∴,故①正确; ∵对称轴是直线, ∴, ∴或, 当时,, 即,故②正确; 由图象可得:当时,, 当时, , ∴, ∴,故③正确, ∵抛物线对称轴是直线, ∴当时,函数的最小值为, ∴, 即,故④正确. ∵抛物线与轴有两个交点, ∴,故⑤错误; 故选:D. 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质,二次函数与x轴的交点问题,熟练的利用二次函数的图象判断代数式的符号是解本题的关键. 5.D 【分析】先计算对称轴为直线x=,抛物线开口向下,可知A点为顶点(最高点),a最大;再根据B、C两点与对称轴的远近,比较纵坐标的大小. 【详解】抛物线y=-x2+x+3的对称轴是直线x=,开口向下,点A(,a)为顶点,即最高点, 所以,a最大,A、B错误; 又1<sin +cos <2,-m2+2m-2=-(m-1)2-1≤-1, 可知,B点离对称轴近,C点离对称轴远, 由于抛物线开口向下, 离对称轴越远,函数值越小,c<b,C错误; 故选D. 【点睛】比较抛物线上点的纵坐标大小,需要结合对称轴,开口方向,点与对称轴的远近,来比较大小. 6.C 【分析】由已知得到h(a+1)=1,再由-1≤h<2,得到关于a的不等式组-1≤<2,求出a的范围即可. 【详解】解:∵抛物线y=ax2+bx的顶点A为(h,k), ∴b=﹣2ah,b2=﹣4ak, ∴k=﹣ah2, ∵点A在抛物线y=x2﹣x上, ∴k=h2﹣h, ∴h2﹣h=﹣ah2, ∵h≠0, ∴h(a+1)=1, 当a≠﹣1时,h=, ∵﹣1≤h<2, ∴﹣1≤<2, ∴a≥﹣或a≤﹣2, 故选:C. 【点睛】本题考查二次函数的性质和不等式组的解法;熟练掌握点与函数解析式的关系,能够准确解出一元一次不等式组是解题的关键. 7.D 【分析】本题考查了二次函数的性质,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质,数形结合.根据时,,可得二次函数的开口方向和对称轴,再根据二次函数的性质求解. 【详解】解:如图, 二次函数,当时,的取值范围是, 二次函数开口向上,对称轴为直线, 该二次函数的图象经过点,两点, 点关于对称轴的对称点为, , 的值不可能是, 故选:D. 8.C 【分析】利用二次函数的性质,先确定抛物线的顶点坐标为(0,0),再利用点的平移规律得到顶点平移后对应点的坐标,从而得到平移后抛物线的顶点坐标. 【详解】解:函数的顶点坐标为(0,0),点(0,0)向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位是点(2,−1), 即平移后抛物线的顶点坐标是(2,−1). 故选:C. 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式. 9.B 【分析】设隔离区靠近墙的长度为x m(0<x≤5),隔离区的面积为S m2,根据矩形的面积公式列出S关于x的二次函数关系式,求得其对称轴,根据二次函数的性质可得S的最大值;令S=9,求得方程的解并根据自变量的取值范围作出取舍,则可判断小亮的说法. 【详解】解:设隔离区靠近墙的长度为x m(0<x≤5),隔离区的面积为S m2,由题意得: =, ∴对称轴为x=, ∵0<x≤5,抛物线开口向下,在对称轴左侧,S随x的增大而增大, ∴当x=5时,S有最大值: Smax= ∵9<<12, ∴小明错误; 令S=9得:9=, 解得:x1=9(舍),x2=3, ∴x=3时,S=9. ∴隔离区的面积可能为9m2. 故选:B. 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用,数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 10.B 【分析】先根据函数关系式为h=gt2确定图象属于那一类函数的图象,再根据g、t的取值范围确定图象的具体形状. 【详解】解:t为未知数,关系式h=gt2为二次函数, ∵g为正常数 ∴抛物线开口方向向上,排除C、D; 又∵时间t不能为负数, ∴图象只有右半部分. 故选B. 【点睛】根据关系式判断属于哪一类函数,关键要会判断未知数及未知数的指数的高低. 11.B 【分析】根据二次函数的定义求解,二次函数的一般式是y=ax2+bx+c,其中a≠0. 【详解】A、该函数右边不是整式,它不是二次函数,故本选项错误; B、该函数符合二次函数的定义,故本选项正确; C、该函数是反比例函数,故本选项错误; D、该函数是一次函数,故本选项错误; 故选B. 【点睛】本题考查二次函数的定义,二次函数的一般式是y=ax2+bx+c,其中a≠0. 12.D 【分析】设矩形的一边为x,则另一边为,列出与的关系找到最值即可得到答案; 【详解】解:设矩形的一边为x,则另一边为,由题意可得, , ∵, ∴当时最大,, 故选:D; 【点睛】本题考查二次函数的应用,解题的关键是得到解析式求出最大值. 13. 【分析】本题考查了二次函数的图象性质,轴对称的性质,先求出抛物线的顶点坐标是,然后得出关于y轴对称的对称点为,即可作答. 【详解】解:∵抛物线, ∴顶点坐标是, 则关于y轴对称的对称点为, ∴抛物线关于y轴对称的抛物线的函数解析式为. 故答案为:. 14. 【分析】本题主要考查待定系数法和二次函数的性质, (1)将点A和点C代入即可求得; (2)根据,求得点,待定系数法求得直线的解析式为,设点,则点,过P作于点H,过D作于点G,则,可求得,进一步证明,有,即可求得点P的坐标. 【详解】解:(1)∵点和点在抛物线上, ∴,解得. 则,. 故答案为:,. (2)当,,解得,,则点, 设直线的解析式为,则 ,解得, 则直线的解析式为, ∵P在第一象限,且在抛物线, ∴设P坐标为, ∵点E在直线上, ∴E的坐标为, 过P作于点H,过D作于点G,如图, ∵点P到直线的距离是点D到直线的距离的5倍, ∴, ∵,, ∴, ∵,, ∴, ∴, 则,解得或(舍去), 将代入,得. 则存在点P,使点P到直线的距离是点D到直线的距离的5倍,其. 故答案为:. 15. 【分析】先证明,根据线段的和差可得,,再利相似三角形的性质可得关于的函数解析式,然后根据的长即可得的取值范围。 【详解】解:, , ∵,, , , ,,,, ,, 化简整理得: 故答案为:。 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,列函数关系,掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键。 16.或 【分析】先确定二次函数 与轴交点的横坐标;然后根据二次函数图像的开口方向判断的取值范围即可. 【详解】解:令 得: 解得: , 的二次项系数为 函数的图像开口向下,如下图: 由图可得:当时,的取值范围为: 或 故答案为: 或 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次不等式的关系;其中熟练运用二次函数的图像判断一元二次不等式的解集是解决本题的关键. 17. 【分析】本题考查二次函数图象的几何变化,解题的关键是掌握二次函数图象变化的规律,即可. 【详解】先把抛物线先左平移个单位长度, ∴, 再向下平移个单位长度, ∴, 故答案为:. 18. 【分析】分0≤t<2,2≤t≤4,t>4三种情况求解解析式即可. 【详解】①当时,在边上,在边上,此时,,如图, ,,, , , ; ②当时,在边上,在边上,此时,,如图, ,,, , ,, ③当时,如图, 的右下方由l和正方形的边围成的图形是边长为2的正方形, ∴S=4. 故S与t的函数表达式为 【点睛】本题涉及二次函数的综合知识,注意直线l的位置,确定t的取值范围,难度中上. 19.(1),,;(2)图详见解析;性质不唯一,详见解析;(3)①;② 【分析】(1)根据函数的图象的对称轴为直线,顶点在轴上,与轴的交点坐标为,得到关于a,b,c的方程组,解方程即可; (2)根据题意,分别画出当x≤1,x>1,时两部分的图像,并结合图像任意写出一条性质即可; (3)①根据函数图像,画出,根据图像确定即可; ②与该函数有三个交点,根据函数图象,当的图象经过点时,此时最大,为;当的图象与二次函数的图象相切时,此为另一种临界情况,直线与图像有两个交点,联立方程组,,求出n,问题得解. 【详解】解:(1)由题意得的图象对称轴为直线,经过, 则,解得 ∴,, (2)函数图像如图: 性质:当时,随的增大而减小; 当时,随的增大而增大; 当时,随的增大而减小. 当时,函数有最小值为0; (3)①有三个解,即函数图像与直线有三个交点 ,当直线为直线或在其下方且在轴上方时,与函数图象有三个交点, 因此: ② 与该函数有三个交点,根据函数图象, 当的图象经过点时,此时最大,为; 当的图象与二次函数的图象相切时,此为另一种临界情况. 联立解析式, 得,由,得, 因此:. 【点睛】本题为探究创新题,考查了待定系数法,函数图像画法,函数与方程(组)的关系等知识,综合性较强.解题关键是根据题意,结合所学知识进行逐步探究. 20.(1)元或元 (2)当销售单价为元时,销售这款文化衫每天所获得的利润最大,最大利润为元. 【分析】(1)根据“销售单价每降低1元,则每天可多售出2件”求出销量,利用销量乘以每件的利润即可得到总利润列出方程,解方程即可得到答案; (2)根据总利润=单件利润 销售量列出函数关系式,然后利用二次函数的性质分析其最值即可. 【详解】(1)解:由题意可得:, 解得, 答:当销售单价为元或元时,销售这款文化衫每天所获得的利润为元; (2)设销售这款文化衫每天所获得的利润为w,由题意可得: , 整理,得:, , 当时,w取最大值为, 当销售单价为元时,销售这款文化衫每天所获得的利润最大,最大利润为元. 【点睛】此题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用,读懂题意,正确列出方程和函数关系式是解题的关键. 21.(1); (2)不能,理由见解析; 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用. (1)根据所建坐标系知顶点和与轴交点的坐标,可设解析式为顶点式形式求解,x的取值范围是; (2)根据对称性当车宽米时,或,求此时对应的纵坐标的值,与车高米进行比较得出结论. 【详解】(1)解:∵,. ∴设这条抛物线的函数解析式为, ∵抛物线过, ∴,解得, ∴这条抛物线的函数解析式为, 即. (2)当时,, 故不能行驶宽2.5米、高米的消防车辆. 22.(1)当产品产量为时,获得的利润最大,最大利润为元 (2) 【分析】(1)设当该产品产量为时,获得的利润为元,根据利润等于售价减去进价乘以销售量,列出函数关系式,进而根据二次函数的性质即可求解; (2)设当产品产量为千克时,获得的利润为元,得出,该函数图像的对称轴为直线,由,分类讨论即可求解. 【详解】(1)解:设当该产品产量为时,获得的利润为元. 根据题意,得. ∵, ∴当时,有最大值,最大值为元. 答:当产品产量为时,获得的利润最大,最大利润为元. (2)解:设当产品产量为千克时,获得的利润为元. 根据题意,得, 即, 其中. 该函数图像的对称轴为直线. ①若,则当时,有最大值, 即.(不合题意,舍去) ②若,则当时,有最大值, 将代入,得. 当时,. 解得,(不合题意,舍去). 综上所述,的值为. 【点睛】本题考查了二次函数的应用,根据题意列出函数关系式是解题的关键. 23.(1);(2)见解析,,见解析. 【分析】(1) 设直线:,求出A、B点坐标,代入求出k,b即可. (2)利用两组对应角相等证明三角形相似,结合函数解析式,分别表示出AN、PN的长,再根据相似比列式计算即可. 【详解】解:(1)令:,则,解得:,(舍)∴ 令,得,∴ 设直线:,把,分别代入上式得: 解之得: ∴ (2)∵ 又∵ ∴ ∵,,, ∴,, ∵∴ ∴,(舍) 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题,掌握求解析式的方法和证明三角形相似是解题关键. 24.(1);(2)证明见解析;(3)存在最小值,BP=2. 【分析】(1)根据正方形的性质和勾股定理求出AP,根据正弦的定义得到sin∠BAP=,根据折叠的性质证明∠CPM=∠BAP,得到答案; (2)证明Rt AEN≌Rt ADN,得到∠EAN=∠DAN,计算即可; (3)设PB=x,根据相似三角形的性质求出DM,根据三角形的面积公式得到二次函数的解析式,然后将解析式转化为顶点式,即可得出答案. 【详解】(1)∵正方形ABCD的边长为4,P为BC的中点, ∴BP=BC=2, ∴AP==2, ∴sin∠BAP=, 由折叠的性质可知,,, ∴∠APM=∠EPA+∠FPM=(∠BPE+∠CPF)=90 , ∴∠BPA+∠CPM=90 , 又∠BPA+∠BAP=90 , ∴∠CPM=∠BAP, ∴sin∠CPM=sin∠BAP=, 故答案为; (2)由折叠的性质可知,∠AEP=∠B=90 ,AE=AB,∠BAP=∠EAP, ∴AE=AD, 在Rt AEN和Rt ADN中, AE=AD,AN=AN, ∴Rt AEN≌Rt ADN, ∴∠EAN=∠DAN, ∵∠BAP+∠EAP+∠EAN+∠DAN=90 , ∴2∠EAP+2∠EAN=90 , 即2∠PAN=90 , ∴∠PAN=45 ; (3)设PB=x,则PC=4﹣x, ∵∠CPM=∠BAP,∠ABP=∠PCM=90 , ∴ ABP∽ PCM, ∴,即, 解得,CM=﹣x2+x, ∴DM=4﹣(﹣x2+x)= x2﹣x+4, ∴ ADM的面积= 4 (x2﹣x+4)=(x﹣2)2+6, ∴当BP=2时, ADM的面积存在最小值6. 【点睛】本题是正方形的综合,考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,求锐角的正弦值,二次函数的图象与性质,折叠的性质等知识,综合性较强,灵活运用这些知识是关键. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$