直线与双曲线的位置关系学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线与双曲线的位置关系 一、学习目标 1. 掌握直线与双曲线线的位置关系的判定方法，提高逻辑推理、数学运算素养； 2. 熟练掌握直线与双曲线线的位置关系、弦长问题、中点弦问题和焦点三角形的解决技巧。 二、自学导引 问题1：类比直线与椭圆的位置关系，你认为直线与双曲线线有哪几种位置关系？ 问题2：你认为“直线与抛物线仅有一个公共点”是“直线与抛物线相切”的什么条件？（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 问题3：类比用方程判断直线与双曲线位置关系的方法，你认为该如何判断直线与抛物线的位置关系？ 3、 知识梳理 （一）直线与双曲线的位置关系 判定直线与双曲线位置关系时，通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式， 1.在a≠0的情况下考查方程的判别式． ①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． ②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． ③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 2.当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 注意：（1）直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． （2） 与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线．　　 （3） 注意对直线的斜率是否存在进行讨论． （二）求弦长的两种方法 1.距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长． 2.弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则 或 3.通径：过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于. （三）求中点弦的两种方法 1.联立方程组消元，用判别式和中点坐标公式求解； 2.点差法（设而不求） 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则 由两式相减可得·＝， 即kAB·＝（二级结论）. （四）焦点三角形面积问题 在双曲线(,)中,若,分别为左、右焦点,为双曲线上一点,，则： ① ② ③ 四、典例剖析 题型一 直线与双曲线的位置关系的判定与求解 例1.已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 变式1 已知抛物线C：的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线过点. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线仅有1个交点，求直线的斜率. 题型二 弦长问题 例2 过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则= ． 变式2 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则过右焦点截双曲线所得弦长为的直线有（ ）条 A．条 B．条 C．条 D．条 题型三 中点弦问题 例3已知双曲线，点，在上，的中点为，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的右焦点为 C．与圆没有交点 D．直线的方程为 变式3已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长. 题型四 焦点三角形问题 例4 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在C上，且，则的面积为________. 变式4 设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$