2024-2025学年高二数学人教A版2019选择性必修二第4章培优提升课：数列的综合应用

培优提升课　数列的综合应用 课堂互动探究 题型一 数列在平面几何中的应用 【典例1】　如图(1)，四边形A1B1C1D1是一边长为14 cm的正方形，A2，B2，C2，D2依次将A1B1，B1C1，C1D1，D1A1分成3∶4的两部分，得到正方形A2B2C2D2.依循相同的规律，A3，B3，C3，D4依次将A2B2，B2C2，C2D2，D2A2分成3∶4的两部分，得到正方形A3B3C3D3.不断重复这个步骤，得到正方形A4B4C4D4，…，AnBnCnDn，…. (1)求A2B2. (2)求A2A3∶A1A2. (3)一蚂蚁从A1出发，沿路径A1A2A3…An…爬行，如图(2)所示，证明：该蚂蚁所爬行的总距离不能大于21 cm. [解]　(1)依题意A1A2＝A1B1＝×14＝6，B1A2＝A1B1＝×14＝8， 则B1B2＝A1A2＝6，所以A2B2＝＝10. (2)由(1)可得A1A2＝6，A2B2＝10，则A2A3＝A2B2＝， 所以A2A3∶A1A2＝∶6＝5∶7. (3)证明：由(2)可知A2A3∶A1A2＝5∶7， 同理可得AnAn＋1∶An－1An＝5∶7， 设an＝AnAn＋1，则a1＝6，an＝an－1， 即{an}是以6为首项，为公比的等比数列，设其前n项和为Sn， 则Sn＝＝21<21， 所以该蚂蚁所爬行的总距离不能大于21 cm. 此类几何问题可以转化为等比数列模型，利用等比数列的有关知识解决，要注意步骤的规范性. 【对点训练】 1.如图所示，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD＝21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2. (1)求AB，BC，CD的长； (2)以AB，BC，CD的长为等差数列的前3项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？ [解]　(1)设公差为d(d>0)，BC＝x，则AB＝x－d，CD＝x＋d. 由题意得 解得或(舍去)． 所以AB＝3 cm，BC＝7 cm，CD＝11 cm. (2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{an}，an＝4n－1，所以a10＝4×10－1＝39. a＝392＝1521(cm2)． 所求正方形的面积为1521 cm2. 题型二 数列在实际中的应用 【典例2】　几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(　　) A．440 B．330 C．220 D．110 [解析]　解法一：设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n项的项数和为.由题意知，N>100，令>100⇒n≥14且n∈N*，即N出现在第13组之后．第n组的各项和为＝2n－1，前n组所有项的和为－n＝2n＋1－2－n.设N是第n＋1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则第n＋1组的前k项的和2k－1应与－2－n互为相反数，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3)⇒n最小为29，此时k＝5，则N＝＋5＝440.故选A. 解法二：将已知的数列写成如下形式： 20　第一行，1个数，求和为21－1； 20　21　第二行，2个数，求和为22－1； 20　21　22　第三行，3个数，求和为23－1； 20　21　22　23　第四行，4个数，求和为24－1； 20　21　22　23　24　第五行，5个数，求和为25－1； …. 故可得第n行有n个数，求和为2n－1，因此前n行一共有个数，求和为2n＋1－n－2.根据上面的分析，我们可以类推得到，前14行，有105个数，求和为215－16，当N＝110时，求和为215－16＋25－1＝215＋25－17≠2n.前20行，有210个数，求和为221－22，当N＝220时，求和为221－22＋210－1＝221＋210－23≠2n.前25行，有325个数，求和为226－27，当N＝330时，求和为226－27＋25－1＝226＋25－28≠2n.前29行，有435个数，求和为230－31，当N＝440时，求和为230－31＋25－1＝230.故选A. [答案]　A 本题以实际为背景，考查了从实际问题中发现等差、等比的特性以及等差数列和等比数列的前n项和公式．数列经常考查实际问题，考查学生的阅读理解能力以及将实际问题转化为数学问题的能力，在平时学习中，要注意实际应用问题的处理方法技巧，这在新课标中要求有所提高. 【对点训练】 2．某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.(参考数据：lg6≈0.778，lg≈0.097)． (1)求前n年旅游业的总收入(用代数式表示)； (2)试估计大约从第几年开始，旅游业的总收入超过8000万元． [解]　(1)设第n年的旅游业收入估计为an万元， 则a1＝400， a2＝a1＝a1， a3＝a2＝a2，…， an＋1＝an＝an， ∴＝， 即数列{an}是首项为400，公比为的等比数列， ∴Sn＝＝ ＝1600×， 即前n年旅游业的总收入为1600×万元． (2)由(1)知Sn＝1600×， 令Sn>8000， 即1600×>8000， ∴n>6，即lgn>lg6， ∴n>≈8.02， ∴大约从第9年开始，旅游业的总收入超过8000万元. 题型三 等差、等比数列的综合问题 【典例3】　由整数构成的等差数列{an}满足a3＝5，a1a2＝2a4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}的通项公式为bn＝2n，将数列{an}，{bn}的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当n为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{cn}：b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求数列{cn}的前4n＋3项和T4n＋3. [解]　(1)由题意，设数列{an}的公差为d， 由a3＝5，a1a2＝2a4， 可得 整理得(5－2d)(5－d)＝2(5＋d)， 即2d2－17d＋15＝0，解得d＝或d＝1， 因为{an}为整数数列，所以d＝1， 又由a1＋2d＝5，可得a1＝3， 所以数列{an}的通项公式为an＝n＋2. (2)由(1)知，数列{an}的通项公式为an＝n＋2，又由数列{bn}的通项公式为bn＝2n， 根据题意，新数列{cn}：b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…， 则T4n＋3＝b1＋a1＋a2＋b2＋b3＋a3＋a4＋b4＋…＋b2n－1＋a2n－1＋a2n＋b2n＋b2n＋1＋a2n＋1＋a2n＋2＝(b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n＋1)＋(a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n＋2)＝＋＝4n＋1＋2n2＋9n＋5. 解决等差、等比数列综合问题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件. 【对点训练】 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn与－3Sn＋1的等差中项是－(n∈N*)． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)证明：因为Sn和－3Sn＋1的等差中项是－，所以Sn－3Sn＋1＝－3(n∈N*)，即Sn＋1＝Sn＋1. 由此得Sn＋1－＝－＝Sn－＝(n∈N*)， 即＝(n∈N*)， 又S1－＝a1－＝－， 所以数列是以－为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)得Sn－＝－×n－1， 即Sn＝－×n－1(n∈N*)， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝， 又n＝1时，a1＝1也适合上式，所以an＝. 题型四 数列与函数、不等式的交汇问题 【典例4】　(1)已知在等差数列{an}中，a1，a99是函数f(x)＝x2－10x＋16的两个零点，则a50＋a20＋a80＝________. (2)在数列{an}中，a1＝1，－＝1(n∈N*)，等比数列{bn}的前n项和为Sn＝2n－m.当n∈N*时，使得λbn≥an恒成立的实数λ的最小值是________． [解析]　(1)由题意可知a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，则a1＋a99＝10，又{an}是等差数列，所以a50＝5，a50＋a20＋a80＝a50＋2a50＝×5＝. (2)∵a1＝1，－＝1(n∈N*)，∴{}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝n2(n∈N*)．当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝(2n－m)－(2n－1－m)＝2n－1.∵{bn}是等比数列，∴b1＝S1＝2－m也适合bn＝2n－1，故2－m＝1，即m＝1，∴bn＝2n－1(n∈N*)．又λbn≥an恒成立等价于λ≥恒成立，∴λ≥max.令cn＝，则cn－cn－1＝－＝，当2≤n≤3时，cn－cn－1>0，当n≥4时，cn－cn－1<0，故(cn)max＝c3＝，∴λ≥，∴λ的最小值为. [答案]　(1)　(2) 数列与不等式的交汇问题一般有两种：(1)以一元一次、一元二次不等式或基本不等式为工具考查数列中项的问题． (2)对于数列中的恒(能)成立问题、不等式证明问题常转化为最值求解. 【对点训练】 4．已知f(x)为偶函数，f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，则a2024＝________. [解析]　∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，∵f(x＋2)＝f(2－x)，∴f(x＋4)＝f(－x)＝f(x)，故f(x)的周期为4，∴a2024＝f(2024)＝f(0)＝20＝1. [答案]　1 5．若正项等比数列{an}满足a1a5＝4，当＋取最小值时，数列{an}的公比q＝________. [解析]　因为正项等比数列{an}满足a1a5＝4，所以a2a4＝a1a5＝4，所以＋≥2 ＝2，当且仅当＝，即q＝2时，取等号，所以当＋取最小值时，数列{an}的公比q＝2. [答案]　2 随堂达标验收 1．集合M＝{m|m＝2n－1，n∈N*，且m<60}中元素之和为(　　) A．896 B．898 C．900 D．902 [解析]　因为m<60，所以2n－1<60，解得n<.又n∈N*，所以1≤n≤30且n∈N*.所以集合M共有30个元素，组成首项为1，公差为2的等差数列，这些元素的和为30×1＋×2＝900. [答案]　C 2．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n个月的还款金额为an元，则an＝(　　) A．2192 B．3912－8n C．3920－8n D．3928－8n [解析]　由题意可知：每月还本金为2000元， 设张华第n个月的还款金额为an元，则an＝2000＋[480000－(n－1)×2000]×0.4%＝3928－8n，故选D. [答案]　D 3.公园中有一块如图所示的五边形荒地，公园管理部门计划在该荒地种植126棵观赏树，若1至6六个区域种植的观赏树棵数成等比数列，且前3个区域共种植14棵，则第5个区域种植的观赏树棵数为(　　) A．16 B．28 C．32 D．64 [解析]　由题意，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，可得＝14且＝126，所以＝1＋q3＝＝9，解得a1＝2，q＝2，则a5＝2×24＝32，即第5个区域种植32棵． [答案]　C 4．已知函数f(x)＝|lnx|，各项为正数的数列{an}满足：a1＝4，f(an＋1)＝f，则数列{an}的通项公式为____________________． [解析]　因为f(x)＝|lnx|且f(an＋1)＝f，所以|lnan＋1|＝，即lnan＋1＝ln或lnan＋1＝－ln，所以an＋1＝或an＋1＝.①当an＋1＝时，数列{an}是首项为4，公比为的等比数列，所以an＝4×＝23－n；②当an＋1＝，即an＋1an＝2时，因为a1＝4，所以a2＝，a3＝4，a4＝，…，所以an＝ [答案]　an＝23－n或an＝ 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，S5＝20. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若等比数列{bn}的公比为q＝，且满足a4＋b4＝9，求满足an<bn的所有正整数n的值． [解]　(1)由题意设等差数列{an}的公差为d，由a1＝2，S5＝20， 得5a1＋10d＝20，解得d＝1， 故an＝2＋n－1＝n＋1. (2)由于等比数列{bn}的公比为q＝，且满足a4＋b4＝9， 而a4＝5，则b4＝4，故b1＝＝＝32， 则bn＝32×n－1＝26－n， 又an<bn，则n＋1<26－n， 当n＝1,2,3时，n＋1<26－n显然成立， 由于n＋1随着n的增大而增大，26－n随着n的增大而减小， 当n≥4时，n＋1≥5,26－n≤4，故n≥4时，n＋1<26－n无解， 故满足an<bn的所有正整数n的值为1,2,3. 课后作业(十四)　数列的综合应用 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)国家主席习近平在十九大报告中指出，坚持人与自然和谐共生，必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策．某林区一片森林2019年底的木材总量为a万立方米，由于环境保护，树木的木材总量每年在上一年的基础上增加15%，则至少经过________年，使得木材总量翻两番．(参考数据：log21.15≈0.202，log235≈5.129，log223≈4.524)(　　) A．5 B．6 C．9 D．10 [解析]　第1年：2019年底的木材总量为a万立方米， 第2年：2020年底的木材总量为a(1＋15%)万立方米， 第3年：2021年底的木材总量为a(1＋15%)2万立方米， 第4年：2022年底的木材总量为a(1＋15%)3万立方米， …… 第n年：木材总量为a(1＋15%)n－1万立方米， 木材总量翻两番即为4a，令a(1＋15%)n－1＝4a，则1.15n－1＝4，n－1＝log1.154＝2log1.152＝2×≈9.9，即n≈10.9，又n∈Z，∴n＝11，故第11年时，即至少经过10年，才能使得木材总量翻两番．故选D. [答案]　D 2．(5分)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且a2，a4＋2，a5成等差数列，记Sn是数列{an}的前n项和，则S6＝(　　) A．62 B．64 C．126 D．128 [解析]　设正数的等比数列{an}的公比为q，q＞0，由a1＝2，且a2，a4＋2，a5成等差数列，得a2＋a5＝2(a4＋2)，∴2q＋2q4＝2(2q3＋2)，解得q＝2.∴S6＝＝126.故选C. [答案]　C 3．(5分)已知圆O的半径为5，|OP|＝3，过点P的2024条弦的长度组成一个等差数列{an}，最短弦长为a1，最长弦长为a2024，则其公差为(　　) A. B. C. D. [解析]　由题意得，最短弦长a1＝2＝8，最长弦长a2024＝2×5＝10，则公差d＝＝＝. [答案]　B 4．(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＋1＝4an，则使不等式＋＋…＋<1000成立的正整数n的最大值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 [解析]　∵3Sn＋1＝4an，∴Sn＝an－，当n＝1时，a1＝S1＝a1－，即a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝an－an－1，即an＝4an－1，∴数列{an}是首项a1＝1，公比q＝4的等比数列，则an＝a1qn－1＝4n－1，即＝＝2n－1，∴＋＋…＋＝20＋21＋…＋2n－1＝＝2n－1，若使＋＋…＋<1000成立，则需2n－1<1000，即n≤9，所以满足题意的正整数n的最大值为9. [答案]　C 5．(6分)(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　) A．若Sn＝(n＋1)2，则{an}是等差数列 B．若Sn＝2n＋1－2，则{an}是等比数列 C．若{an}是等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列 D．若{an}是等差数列，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1 [解析]　a1＝S1＝4，a2＝S2－S1＝9－4＝5，a3＝S3－S2＝16－9＝7,2a2≠a1＋a3，不满足{an}是等差数列的概念，故A错误；当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n，又a1＝S1＝2满足上式，所以an＝2n，即{an}是等比数列，故B正确；当an＝(－1)n时，{an}是等比数列，S2＝－1＋1＝0，S4＝－1＋1－1＋1＝0，S6＝－1＋1－1＋1－1＋1＝0，不满足S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，故C错误；∵{an}是等差数列，∴S2n＋1＝＝＝(2n＋1)an＋1，故D正确．故选BD. [答案]　BD 二、填空题 6．(5分)农民收入由工资收入和其他收入两部分构成.2017年某地区农民人均收入为13150元(其中工资收入为7800元，其他收入为5350元)．预计该地区自2018年起的6年内，农民的工资收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，2023年该地区农民人均收入约为________元．(其中1.064≈1.26，1.065≈1.34,1.066≈1.42) [解析]　农民人均收入来源于两部分，一是工资收入为7800×(1＋6%)6＝7800×1.066≈11076(元)，二是其他收入为5350＋6×160＝6310(元)，因此，2023年该地区农民人均收入为11076＋6310＝17386(元)． [答案]　17386 7．(5分)下面给出一个“直角三角形数阵”． ， ，， …… 满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a(i，j)(i，j∈N*)，则a(20,20)＝________. [解析]　设第一列形成的数列为{bn}，则{bn}是首项为，公差为的等差数列，故bn＝，b20＝5.设第20行形成的数列为{cn}，则{cn}是首项为5，公比为的等比数列，故cn＝5·n－1，c20＝.即a(20,20)＝c20＝. [答案]　 8．(5分)在数列{an}中，an＝则其前n项和Sn＝______________. [解析]　当n为偶数时，奇数项、偶数项各有项，则Sn＝[1＋5＋9＋13＋…＋(2n－3)]＋(32＋34＋36＋…＋3n)＝＋＝＋(3n－1)；当n为奇数时，则n－1为偶数，则Sn＝Sn－1＋an＝＋(3n－1－1)＋2n－1＝＋(3n－1－1)． 综上可知， Sn＝ [答案]　 三、解答题 9．(10分)已知等差数列{an}的前3项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110. (1)求{an}的通项公式及k的值； (2)设数列{bn}的通项bn＝2an，求证：{bn}是等比数列，并求{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)∵等差数列{an}的前3项依次为a,4,3a， ∴a＋3a＝2×4＝8，解得a＝2， 故数列{an}的首项为2，公差为2， 故an＝2＋2(n－1)＝2n， 前n项和为Sn，且Sk＝＝110， 整理得k2＋k－110＝0， 解得k＝10或k＝－11(负值舍去)． ∴an＝2n，k＝10. (2)由(1)得bn＝22n＝4n， 故＝＝4，故数列{bn}是等比数列， ∴Tn＝＝×(4n－1)． 10．(10分)设各项均是正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2＝a1＋a3，数列{}是公差为1的等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列的前n项和为Tn，求使Tn>成立的最小正整数n. [解]　(1)由题设知＝＋(n－1)＝＋n－1. 则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－)(＋)＝2－3＋2n. 由2a2＝a1＋a3得 2(2＋1)＝a1＋2＋3， 整理得a1－2＋1＝(－1)2＝0， 解得a1＝1，故当n≥2时，an＝2n－1. 又a1＝1，满足上式， ∴数列{an}的通项公式是an＝2n－1. (2)Tn＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋ ＝＝＝， 由Tn>，得>， ∴n>＝100.7， ∵n∈N*，∴n≥101， 即使Tn>成立的最小正整数n＝101. 能力提升 11．(5分)已知数列{bn}满足bn＝2λn－1－n2，若数列{bn}是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　) A. B. C．(－1,1) D. [解析]　数列{bn}是递减数列，则bn＋1－bn＝2λn－(n＋1)2－2λn－1＋n2＝6λn－2n－1<0恒成立，当n为偶数时，6λ<(2n＋1)·2n恒成立，由于{(2n＋1)·2n}为递增数列，所以数列{(2n＋1)·2n}的最小值为20，所以6λ<20，即λ<.当n为奇数时，6λ>－(2n＋1)·2n恒成立，由于{－(2n＋1)·2n}为递减数列，则数列{－(2n＋1)·2n}的最大值为－6，所以6λ>－6，所以λ>－1.综上所述，实数λ的取值范围是. [答案]　A 12．(6分)(多选)如图①，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC＝DB＝AB，以CD为一边在线段AB的上方作一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图②中的图形；对图②中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图③中的图形，依此类推，我们就得到了一系列图形． 记第n个图形(图①为第1个图形)中的所有线段长度的和为Sn，现给出有关数列{Sn}的四个命题，其中正确的是(　　) A．数列{Sn}是等比数列 B．数列{Sn}是递增数列 C．存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn>2023 D．存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn<2023 [解析]　由题意，得题图①中的线段为a，S1＝a，题图②中的正六边形的边长为，S2＝S1＋×4＝S1＋2a；题图③中的最小正六边形的边长为，S3＝S2＋×4＝S2＋a；题图④中的最小正六边形的边长为，S4＝S3＋×4＝S3＋；依次类推，Sn－Sn－1＝，所以{Sn}为递增数列，但不是等比数列，即A错误，B正确；因为Sn＝S1＋(S2－S1)＋(S3－S2)＋…＋(Sn－Sn－1)＝a＋2a＋a＋＋…＋＝a＋＝a＋4a<5a，即存在最大的正数a＝，使得对任意的正整数n，都有Sn<2023，即C错误，D正确．故选BD. [答案]　BD 13．(5分)设Sn为数列{an}的前n项和，若(n∈N*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．若数列{cn}是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，则d＝________. [解析]　由题意可知，数列{cn}的前n项和Sn＝，前2n项和S2n＝，所以＝＝2＋＝2＋.因为数列{cn}是“和等比数列”，即为非零常数，所以d＝4. [答案]　4 14．(10分)如图，正△ABC的边长为20 cm，取BC边的中点E，作正△BDE；取DE边的中点G，作正△DFG……如此继续下去，可得到一列三角形△ABC，△BDE，△DFG…，求前20个正三角形的面积和． [解]　设第n个三角形边长为a cm， 则第n＋1个三角形边长为 cm， 设第n个三角形面积为an cm2， 则an＝a2 cm2，an＋1＝·2＝a2 cm2， ∵＝，a1＝S△ABC＝×202＝100 cm2， 所以这些三角形面积成等比数列，且公比q＝， 首项a1＝100，所以前20个正三角形的面积和为 S20＝＝ (cm2)． 创新拓展 15．(13分)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2，且2a3，a5,3a4成等差数列，数列{bn}满足bn＝2log2an＋1，Sn为数列{bn}的前n项和． (1)求数列{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}满足cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn<4. [解]　(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)， 由a2＝2，且2a3，a5,3a4成等差数列，得2a5＝2a3＋3a4， 即4q3＝4q＋6q2，∴2q2－3q－2＝0， 解得q＝2或q＝－(舍去)． ∴an＝a2qn－2＝2·2n－2＝2n－1， ∴bn＝2log2an＋1＝2log22n＝2n. (2)证明：由(1)知，Sn＝＝n(n＋1)， ∴cn＝＝＝， 令Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＋＋＋…＋， 则Tn＝＋＋…＋＋， 两式作差得Tn＝1＋－ ＝1＋－＝2－－， ∴Tn＝4－－<4，即c1＋c2＋c3＋…＋cn<4.4.4*　 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优提升课　数列的综合应用 课堂互动探究 题型一 数列在平面几何中的应用 【典例1】　如图(1)，四边形A1B1C1D1是一边长为14 cm的正方形，A2，B2，C2，D2依次将A1B1，B1C1，C1D1，D1A1分成3∶4的两部分，得到正方形A2B2C2D2.依循相同的规律，A3，B3，C3，D4依次将A2B2，B2C2，C2D2，D2A2分成3∶4的两部分，得到正方形A3B3C3D3.不断重复这个步骤，得到正方形A4B4C4D4，…，AnBnCnDn，…. (1)求A2B2. (2)求A2A3∶A1A2. (3)一蚂蚁从A1出发，沿路径A1A2A3…An…爬行，如图(2)所示，证明：该蚂蚁所爬行的总距离不能大于21 cm. 此类几何问题可以转化为等比数列模型，利用等比数列的有关知识解决，要注意步骤的规范性. 【对点训练】 1.如图所示，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD＝21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2. (1)求AB，BC，CD的长； (2)以AB，BC，CD的长为等差数列的前3项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？ 题型二 数列在实际中的应用 【典例2】　几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(　　) A．440 B．330 C．220 D．110 本题以实际为背景，考查了从实际问题中发现等差、等比的特性以及等差数列和等比数列的前n项和公式．数列经常考查实际问题，考查学生的阅读理解能力以及将实际问题转化为数学问题的能力，在平时学习中，要注意实际应用问题的处理方法技巧，这在新课标中要求有所提高. 【对点训练】 2．某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.(参考数据：lg6≈0.778，lg≈0.097)． (1)求前n年旅游业的总收入(用代数式表示)； (2)试估计大约从第几年开始，旅游业的总收入超过8000万元． 题型三 等差、等比数列的综合问题 【典例3】　由整数构成的等差数列{an}满足a3＝5，a1a2＝2a4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}的通项公式为bn＝2n，将数列{an}，{bn}的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当n为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{cn}：b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求数列{cn}的前4n＋3项和T4n＋3. 解决等差、等比数列综合问题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件. 【对点训练】 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn与－3Sn＋1的等差中项是－(n∈N*)． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 题型四 数列与函数、不等式的交汇问题 【典例4】　(1)已知在等差数列{an}中，a1，a99是函数f(x)＝x2－10x＋16的两个零点，则a50＋a20＋a80＝________. (2)在数列{an}中，a1＝1，－＝1(n∈N*)，等比数列{bn}的前n项和为Sn＝2n－m.当n∈N*时，使得λbn≥an恒成立的实数λ的最小值是________． 数列与不等式的交汇问题一般有两种：(1)以一元一次、一元二次不等式或基本不等式为工具考查数列中项的问题． (2)对于数列中的恒(能)成立问题、不等式证明问题常转化为最值求解. 【对点训练】 4．已知f(x)为偶函数，f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，则a2024＝________. 5．若正项等比数列{an}满足a1a5＝4，当＋取最小值时，数列{an}的公比q＝________. 随堂达标验收 1．集合M＝{m|m＝2n－1，n∈N*，且m<60}中元素之和为(　　) A．896 B．898 C．900 D．902 2．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n个月的还款金额为an元，则an＝(　　) A．2192 B．3912－8n C．3920－8n D．3928－8n 3.公园中有一块如图所示的五边形荒地，公园管理部门计划在该荒地种植126棵观赏树，若1至6六个区域种植的观赏树棵数成等比数列，且前3个区域共种植14棵，则第5个区域种植的观赏树棵数为(　　) A．16 B．28 C．32 D．64 4．已知函数f(x)＝|lnx|，各项为正数的数列{an}满足：a1＝4，f(an＋1)＝f，则数列{an}的通项公式为____________________． 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，S5＝20. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若等比数列{bn}的公比为q＝，且满足a4＋b4＝9，求满足an<bn的所有正整数n的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$