2024-2025学年高二数学人教A版2019选择性必修二第4章培优课：构造法求数列的通项公式

名师微课培优　构造法求数列的通项公式 　构造法求数列通项公式是一种有效的数学方法，通过巧妙地构造新的数列或表达式，能够化繁为简，找到隐藏其中的通项公式．这种方法适用于那些不是等差或等比的数列，但可以通过构造法转化为易于求解的形式的数列． 类型一 形如an＋1＝pan＋q(p，q≠0且p≠1) 【典例1】　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，求{an}的通项公式． 形如an＋1＝pan＋q(p，q≠0且p≠1)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下 (1)假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)． (2)由待定系数法，解得t＝. (3)写出数列的通项公式． (4)写出数列{an}的通项公式. 类型二 形如an＋1＝(p，q，r≠0) 【典例2】　在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，求{bn}的通项公式． 一般地，形如an＋1＝(p，q，r≠0)结构的递推式往往可以通过等式两边同时取倒数变形得＝·＋，再应用类型一的方法解决. 类型三 形如an＝pan－1＋pn(p≠0且p≠1) 【典例3】　已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． [拓展探究] 将本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n＋1”，其余不变，求数列{an}的通项公式． 形如an＝pan－1＋pn(p≠1且p≠0)的递推关系求通项公式的一般步骤 (1)等式两边同除以pn，不管这一项是pn－1或pn＋1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来． (2)写出数列的通项公式． (3)写出数列{an}的通项公式. 类型四 形如an＝pan－1＋qn－1(p，q≠0且p≠1) 【典例4】　在数列{an}中，a1＝，且an＋1＝－2an＋3n＋1(n∈N*)，求{an}的通项公式． 形如an＝pan－1＋qn－1(p，q≠0且p≠1)的递推公式求通项公式的方法 方法一：一般要先在原递推公式两边同除以qn，得＝·＋，引入辅助数列{bn}，得bn＝bn－1＋，再应用类型一的方法解决． 方法二：直接构造．设an＋A·qn＝p(an－1＋A·qn－1)，由待定系数法求得A. 感悟体验 1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第n项an为(　　) A．2n－1 B．2n＋1 C. D. 2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则a10＝(　　) A．2045 B．1021 C．1027 D．2051 3．已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，则数列{an}的通项公式an等于(　　) A．an＝2n－1＋5n B．an＝2n－1－5n C．an＝2n－1 D．an＝21n－15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 名师微课培优　构造法求数列的通项公式 　构造法求数列通项公式是一种有效的数学方法，通过巧妙地构造新的数列或表达式，能够化繁为简，找到隐藏其中的通项公式．这种方法适用于那些不是等差或等比的数列，但可以通过构造法转化为易于求解的形式的数列． 类型一 形如an＋1＝pan＋q(p，q≠0且p≠1) 【典例1】　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，求{an}的通项公式． [解]　∵an＋1＝2an＋1， 令an＋1＋t＝2(an＋t)， 即an＋1＝2an＋t，∴t＝1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴an＋1＝2×2n－1＝2n， ∴an＝2n－1. 形如an＋1＝pan＋q(p，q≠0且p≠1)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下 (1)假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)． (2)由待定系数法，解得t＝. (3)写出数列的通项公式． (4)写出数列{an}的通项公式. 类型二 形如an＋1＝(p，q，r≠0) 【典例2】　在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，求{bn}的通项公式． [解]　对递推式bn＋1＝的两边同时取倒数，得＝，即＝2·＋3， 因此＋3＝2·，＋3＝2， 故是以2为首项，2为公比的等比数列， 于是＋3＝2·2n－1，可得bn＝，n∈N*. 一般地，形如an＋1＝(p，q，r≠0)结构的递推式往往可以通过等式两边同时取倒数变形得＝·＋，再应用类型一的方法解决. 类型三 形如an＝pan－1＋pn(p≠0且p≠1) 【典例3】　已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． [解]　因为an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n，得＝＋1，即－＝1，所以是以为首项，以1为公差的等差数列， 即＝＋(n－1)×1＝n－， 所以an＝×2n. [拓展探究] 将本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n＋1”，其余不变，求数列{an}的通项公式． [解]　等式两边同时除以2n，得＝＋2，即－＝2，所以是以为首项，以2为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)×2＝2n－，即an＝×2n. 形如an＝pan－1＋pn(p≠1且p≠0)的递推关系求通项公式的一般步骤 (1)等式两边同除以pn，不管这一项是pn－1或pn＋1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来． (2)写出数列的通项公式． (3)写出数列{an}的通项公式. 类型四 形如an＝pan－1＋qn－1(p，q≠0且p≠1) 【典例4】　在数列{an}中，a1＝，且an＋1＝－2an＋3n＋1(n∈N*)，求{an}的通项公式． [解]　已知递推式的两边同时除以3n＋1， 得到＝－·＋1. 令bn＝，则bn＋1＝－bn＋1. 显然有bn＋1－＝－，b1－＝－， 故是以－为首项，－为公比的等比数列． 因此bn－＝－·n－1，可得an＝－·(－2)n－1＋·3n＋1. 形如an＝pan－1＋qn－1(p，q≠0且p≠1)的递推公式求通项公式的方法 方法一：一般要先在原递推公式两边同除以qn，得＝·＋，引入辅助数列{bn}，得bn＝bn－1＋，再应用类型一的方法解决． 方法二：直接构造．设an＋A·qn＝p(an－1＋A·qn－1)，由待定系数法求得A. 感悟体验 1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第n项an为(　　) A．2n－1 B．2n＋1 C. D. [解析]　数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，两边同时取倒数，得＝＋2，所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以an＝，故选C. [答案]　C 2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则a10＝(　　) A．2045 B．1021 C．1027 D．2051 [解析]　∵an＋1＝2an＋3，可变形为an＋1＋3＝2(an＋3)，故数列{an＋3}为等比数列，首项为4，公比为2，∴an＋3＝4·2n－1.∴an＝4·2n－1－3＝2n＋1－3，∴a10＝2045.故选A. [答案]　A 3．已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，则数列{an}的通项公式an等于(　　) A．an＝2n－1＋5n B．an＝2n－1－5n C．an＝2n－1 D．an＝21n－15 [解析]　设an＋1＋x·5n＋1＝2(an＋x·5n)，① 将an＋1＝2an＋3·5n代入①式，得2an＋3·5n＋x·5n＋1＝2an＋2x·5n，等式两边消去2an，得3·5n＋x·5n＋1＝2x·5n，两边除以5n，得3＋5x＝2x，则x＝－1， 代入①式得an＋1－5n＋1＝2(an－5n)，② 由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0，则＝2，则数列{an－5n}是以a1－51＝1为首项，以2为公比的等比数列，所以an－5n＝2n－1，所以an＝2n－1＋5n. [答案]　A 4．已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1且a1＝1，求数列{an}的通项公式． [解]　令an＋1＋A·2n＋1＝3(an＋A·2n)， 即an＋1＝3an＋A·2n，故A＝2， 所以an＋1＋2n＋2＝3(an＋2n＋1)， 又a1＋22＝5≠0， 所以{an＋2n＋1}是以5为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋2n＋1＝5×3n－1，即an＝5×3n－1－2n＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $$