2024-2025学年高二数学人教版A版选择性必修二4.3.6数列求和

数列求和 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的第100项为(　　) A．299－1 B．2100－1 C．299 D．2100 [解析]　设数列为{an}，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，∴a100＝2100－1. [答案]　B 2．(5分)求值：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2021－2023＝(　　) A．－2024 B．－1012 C．－506 D．1012 [解析]　1－3＋5－7＋9－11＋…＋2021－2023＝(1－3)＋(5－7)＋(9－11)＋…＋(2021－2023)＝－2×506＝－1012. [答案]　B 3．(5分)已知函数y＝loga(x－1)＋3(a>0且a≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10＝(　　) A. B. C．1 D. [解析]　对数函数y＝logax的图象过定点(1,0)，∴函数y＝loga(x－1)＋3的图象过定点(2,3)，则a2＝2，a3＝3，故an＝n，∴bn＝＝－，∴T10＝＋＋…＋＝1－＝，故选B. [答案]　B 4．(5分)垛积术源于北宋科学家沈括首创的隙积术，用来研究将某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题，后世数学家又丰富和发展了这一成果．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”，货物自上而下，第一层有1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层有n件，已知第一层货物的单价是1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物的总价是万元，则n的值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 [解析]　设这堆货物的总价为Sn万元，则Sn＝1＋2×＋3×2＋…＋nn－1　①，Sn＝＋2×2＋…＋(n－1)·n－1＋nn　②，①－②得Sn＝1＋＋2＋…＋n－1－nn＝－nn＝5－(n＋5)n，所以Sn＝25－5(n＋5)n＝25－65n，解得n＝8.故选B. [答案]　B 5．(6分)(多选)已知正项等差数列{an}，等比数列{bn}，满足a2＝4，b2＝9，b1－a1＝1，b3－a3＝21.记cn＝数列{cn}的前n项和为Sn，则(　　) A．an＝2n B．bn＝n－4 C．S6＋S7＝1688 D．S2n＝2n2＋－ [解析]　设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，因为a2＝4，b2＝9，b1－a1＝1，b3－a3＝21，所以解得或又因为数列{an}为正项数列，所以所以an＝2n，bn＝3n，故A正确，B错误；由题意cn＝所以S6＝2×1＋32＋2×3＋34＋2×5＋36＝837，S7＝2×1＋32＋2×3＋34＋2×5＋36＋2×7＝851，所以S6＋S7＝1688，故C正确；S2n＝2×1＋32＋2×3＋34＋2×5＋36＋…＋2(2n－1)＋32n＝2[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(32＋34＋…＋32n)＝2×＋＝2n2＋－，故D正确．故选ACD. [答案]　ACD 二、填空题 6．(5分)已知函数y＝f(x)满足f(x)＋f(1－x)＝2，若数列{an}满足an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是________． [解析]　an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)，an＝f(1)＋f＋…＋f＋f＋f(0)，两式相加可得2an＝[f(0)＋f(1)]＋＋…＋＋[f(1)＋f(0)]，所以2an＝2(n＋1)，所以an＝n＋1. [答案]　an＝n＋1 7．(5分)已知数列an＝则S21＝________. [解析]　数列an＝所以S21＝3×2＋3＋3×23＋7＋…＋39＋3×221＝3(2＋23＋…＋221)＋(3＋7＋11…＋39)＝3×＋＝223＋208. [答案]　223＋208 8．(5分)数列{an}的通项公式an＝，则该数列的前n项和Sn＝________. [解析]　an＝ ＝ ＝＝－， ∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－) ＝－. [答案]　－ 三、解答题 9．(10分)已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项．数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b3＝a1＋a2＋a3. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Sn. [解]　(1)设等比数列{an}首项为a1，公比为q. 由已知得2(a3＋2)＝a2＋a4， 代入a2＋a3＋a4＝28，可得a3＝8. 于是a2＋a4＝20. 故解得或 又数列{an}为递增数列，故所以an＝2n. 设等差数列{bn}首项为b1＝a1＝2，公差为d. 所以b3＝2＋4＋8＝14＝2＋2d，所以d＝6， 所以bn＝2＋(n－1)×6＝6n－4. 所以bn＝6n－4. (2)由题得cn＝an＋bn＝2n＋6n－4. 所以数列{cn}的前n项和Sn＝＋(2＋6n－4)＝2n＋1＋3n2－n－2. 10．(10分)已知数列{an}满足a1＝1，an－1－an＝2anan－1(n≥2且n∈N*)． (1)求证：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. [解]　(1)将an－1－an＝2anan－1两边除以anan－1，得－＝2，则数列为等差数列，其首项为＝1，公差为2，故＝2n－1，所以an＝. (2)由于bn＝(2n－1)·2n，所以Sn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n， 2Sn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－1)×2n＋1， 两式相减得－Sn＝1×2＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)×2n＋1， 化简得Sn＝(2n－3)·2n＋1＋6. 能力提升 11．(5分)数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则S10等于(　　) A.55 B．1－10 C．1－9 D.66 [解析]　因为数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝(n≥2)，两式相减得2n－1an＝－＝ ，则an＝(n≥2)，又a1＝满足an＝，所以an＝(n∈N*)，因此S10＝＝1－10. [答案]　B 12．(6分)(多选)在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45，…这些数叫做三角形数．设第n个三角形数为an，则下面结论正确的是(　　) A．an－an－1＝n(n>1) B．a20＝210 C．1024是三角形数 D.＋＋＋…＋＝ [解析]　∵a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，由此可归纳得an－an－1＝n(n>1)，故A正确；将前面的所有项累加可得an＝＋a1＝，∴a20＝210，故B正确；令＝1024，此方程没有正整数解，故C错误；＋＋…＋＝2＝2＝，故D正确． [答案]　ABD 13．(5分)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a3＝b1＝3，a15＝b7＝15，设cn＝(－1)n－1，则数列{cn}的前2024项和为________． [解析]　由条件易求得bn＝2n＋1，an＝n，则cn＝(－1)n－1·＝(－1)n－1.所以S2024＝－＋－…－＝1－＝. [答案]　 14．(10分)定义Gn＝为数列{an}的“匀称值”，若数列{an}的“匀称值”为2，设bn＝数列{bn}的前n项和为Sn，求S20. [解]　由题意可得Gn＝＝2，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n， 当n＝1时，则有a1＝2； 当n≥2时，由a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＋nan＝2n得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2(n－1)， 上述两个等式作差可得nan＝2， 则an＝，a1＝2也满足an＝， 故对任意的n∈N*，an＝，则bn＝ 所以S20＝(2＋6＋10＋…＋38)＋ ＝＋＝200＋－＝. 创新拓展 15．(13分)已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＋nan＝n2(n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式an； (2)数列{bn}满足bn＝n·n·an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式λ<Tn对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围． [解]　(1)当n＝1时，a1＝1， 当n≥2时，a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＋nan＝n2① a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)2② ①－②得nan＝n2－(n－1)2＝2n－1，则an＝， 因为当n＝1时，a1＝1符合上式，所以an＝. (2)bn＝nnan＝(2n－1)n， Tn＝1·＋3·＋5·＋…＋(2n－3)·＋(2n－1)③ Tn＝1·＋3·＋…＋(2n－3)·＋(2n－1)④ ③－④得Tn＝＋2－(2n－1) ＝＋2×－(2n－1) ＝－， 则Tn＝3－， 因为Tn＋1－Tn＝>0，所以数列{Tn}为递增数列， 则当n＝1时，Tn取最小值，所以λ<. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列求和 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的第100项为(　　) A．299－1 B．2100－1 C．299 D．2100 2．(5分)求值：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2021－2023＝(　　) A．－2024 B．－1012 C．－506 D．1012 3．(5分)已知函数y＝loga(x－1)＋3(a>0且a≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10＝(　　) A. B. C．1 D. 4．(5分)垛积术源于北宋科学家沈括首创的隙积术，用来研究将某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题，后世数学家又丰富和发展了这一成果．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”，货物自上而下，第一层有1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层有n件，已知第一层货物的单价是1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物的总价是万元，则n的值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 5．(6分)(多选)已知正项等差数列{an}，等比数列{bn}，满足a2＝4，b2＝9，b1－a1＝1，b3－a3＝21.记cn＝数列{cn}的前n项和为Sn，则(　　) A．an＝2n B．bn＝n－4 C．S6＋S7＝1688 D．S2n＝2n2＋－ 二、填空题 6．(5分)已知函数y＝f(x)满足f(x)＋f(1－x)＝2，若数列{an}满足an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是________． 7．(5分)已知数列an＝则S21＝________. 8．(5分)数列{an}的通项公式an＝，则该数列的前n项和Sn＝________. 三、解答题 9．(10分)已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项．数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b3＝a1＋a2＋a3. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Sn. 10．(10分)已知数列{an}满足a1＝1，an－1－an＝2anan－1(n≥2且n∈N*)． (1)求证：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 能力提升 11．(5分)数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则S10等于(　　) A.55 B．1－10 C．1－9 D.66 12．(6分)(多选)在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45，…这些数叫做三角形数．设第n个三角形数为an，则下面结论正确的是(　　) A．an－an－1＝n(n>1) B．a20＝210 C．1024是三角形数 D.＋＋＋…＋＝ 13．(5分)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a3＝b1＝3，a15＝b7＝15，设cn＝(－1)n－1，则数列{cn}的前2024项和为________． 14．(10分)定义Gn＝为数列{an}的“匀称值”，若数列{an}的“匀称值”为2，设bn＝数列{bn}的前n项和为Sn，求S20. 创新拓展 15．(13分)已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＋nan＝n2(n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式an； (2)数列{bn}满足bn＝n·n·an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式λ<Tn对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$