2024-2025学年高二数学人教版A版选择性必修二4.2.5等差数列前n项和的性质及应用

等差数列前n项和的性质及应用 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝(　　) A．138 B．135 C．95 D．23 2．(5分)等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12等于(　　) A．12 B．18 C．24 D．30 3．(5分)在等差数列{an}中，前m项(m为偶数)和为77，其中偶数项之和为44，且am－a1＝18，则数列{an}的公差为(　　) A．－4 B．4 C．6 D．－6 4．(5分)设数列{an}的前n项和Sn，且an＝－2n＋1，则数列的前11项和为(　　) A．－45 B．－50 C．－55 D．－66 5．(6分)(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5<S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　　) A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值 二、填空题 6．(5分)当且仅当n＝8时，等差数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则数列{an}的通项公式可以是________________．(写出满足题意的一个通项公式即可) 7．(5分)若数列{an}的前n项和Sn＝log(n＋1)，则a10＋a11＋a12＋…＋a99＝________. 8．(5分)若数列{an}是等差数列，首项a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，则使前n项和Sn<0的最大自然数n是________． 三、解答题 9．(10分)等差数列{an}满足a5＝8，a7＝2，其前n项和为Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求|a1|＋|a2|＋…＋|a15|的值． 10．(10分)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a3＝7，________. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn的最值． 从①S6＝51；②an＝an－1－3；③S5＝a3a5中任选一个，补充在上面的问题中并作答． 能力提升 11．(5分)已知等差数列{an}，满足a2022＋a2023<0，a2022·a2023<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n等于(　　) A．4043 B．4042 C．4041 D．4040 12．(6分)(多选)已知数列{an}是公差不为0的无穷等差数列，Sn是其前n项和，若Sn存在最大值，则下列说法不正确的是(　　) A．在S1，，，…，中最大的数是S1 B．在S1，，，…，中最大的数是 C．在S1，S2，S3，…，S2023中最大的数是S1 D．在S1，S2，S3，…，S2023中最大的数是S2023 13．(5分)已知前n项和为Sn的等差数列{an}(公差不为0)满足a1＝1，仍是等差数列，则通项公式an＝________. 14．(10分)已知Sn、Tn是等差数列{an}、{bn}的前n项和，且＝，求. 创新拓展 15．(13分)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对任意正整数n，an＋2－an＝2＋cosnπ，Sn为{an}的前n项和，求S100的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等差数列前n项和的性质及应用 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝(　　) A．138 B．135 C．95 D．23 [解析]　由a2＋a4＝2a3＝4，得a3＝2，由a3＋a5＝2a4＝10，得a4＝5，故公差d＝3，所以a1＝－4，则S10＝10×(－4)＋×10×9×3＝95. [答案]　C 2．(5分)等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12等于(　　) A．12 B．18 C．24 D．30 [解析]　根据题意，得在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…，也成等差数列，又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，则S9－S6＝9，S12－S9＝12，则S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝3＋6＋9＋12＝30. [答案]　D 3．(5分)在等差数列{an}中，前m项(m为偶数)和为77，其中偶数项之和为44，且am－a1＝18，则数列{an}的公差为(　　) A．－4 B．4 C．6 D．－6 [解析]　设数列{an}公差为d，由题意得等差数列{an}前m项中，奇数项之和为33，偶数项之和与奇数项之和的差为11，所以d＝11，即md＝22.又am－a1＝(m－1)d＝18，所以d＝md－18＝22－18＝4. [答案]　B 4．(5分)设数列{an}的前n项和Sn，且an＝－2n＋1，则数列的前11项和为(　　) A．－45 B．－50 C．－55 D．－66 [解析]　∵an＝－2n＋1，∴数列{an}是首项为－1，公差为－2的等差数列，∴Sn＝＝－n2，∴＝＝－n，∴数列是以－1为首项和公差的等差数列，∴数列前11项和为11×(－1)＋×(－1)＝－66，故选D. [答案]　D 5．(6分)(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5<S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　　) A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值 [解析]　∵S5<S6＝S7>S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6与S7均为Sn的最大值．∵S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.∴S9<S5，故C错误． [答案]　ABD 二、填空题 6．(5分)当且仅当n＝8时，等差数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则数列{an}的通项公式可以是________________．(写出满足题意的一个通项公式即可) [解析]　当且仅当n＝8时，等差数列{an}的前n项和Sn取得最大值，由此可知该数列满足：a8>0，a9<0，而an＝17－2n满足此条件．(答案不唯一) [答案]　an＝17－2n 7．(5分)若数列{an}的前n项和Sn＝log(n＋1)，则a10＋a11＋a12＋…＋a99＝________. [解析]　a10＋a11＋a12＋…＋a99＝S99－S9＝log100－log10＝(－2)－(－1)＝－1. [答案]　－1 8．(5分)若数列{an}是等差数列，首项a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，则使前n项和Sn<0的最大自然数n是________． [解析]　由a203＋a204＝a1＋a406>0，知a1＋a406>0，因为a1<0，所以a406>0，又由a1<0且a203·a204<0，知a203<0，a204>0，所以公差d>0，则数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405<0，所以S405<0，所以使前n项和Sn<0的最大自然数n＝405. [答案]　405 三、解答题 9．(10分)等差数列{an}满足a5＝8，a7＝2，其前n项和为Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求|a1|＋|a2|＋…＋|a15|的值． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则由题意可知解得所以an＝23－3n. (2)令an≥0，则n≤7，所以数列{an}前7项为正，其余项为负， 当n≤7时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝20n－＝－n2＋n. 当n≥8时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a6＋a7－a8－…－an＝2(a1＋a2＋…＋a7)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S7－Sn＝n2－n＋154. 故Sn＝ 所以S15＝|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝×152－×15＋154＝169. 10．(10分)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a3＝7，________. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn的最值． 从①S6＝51；②an＝an－1－3；③S5＝a3a5中任选一个，补充在上面的问题中并作答． [解]　选①：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题设知解得a1＝1，d＝3， ∴an＝1＋3(n－1)＝3n－2. (2)由(1)知an＝3n－2，数列{an}是递增数列，且a1＝1>0，∴当n＝1时，Sn有最小值S1＝1，Sn无最大值． 选②：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题设知d＝an－an－1＝－3，∵a3＝a1＋2×(－3)＝7，∴a1＝13， ∴an＝13－3(n－1)＝16－3n. (2)由(1)知an＝16－3n，数列{an}是递减数列，令an>0，得n<，故当n＝5时，Sn有最大值S5＝＝35，Sn无最小值． 选③：(1)设等差数列{an}的公差为d，由得a5＝5，∴d＝＝－1.∴an＝a3＋(n－3)d＝10－n. (2)由(1)知an＝10－n，数列{an}是递减数列，令an＝0，得n＝10.故当n＝9或n＝10时，Sn有最大值S9＝S10＝45，Sn无最小值． 能力提升 11．(5分)已知等差数列{an}，满足a2022＋a2023<0，a2022·a2023<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n等于(　　) A．4043 B．4042 C．4041 D．4040 [解析]　因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以数列{an}是递减的等差数列．又a2022＋a2023<0，a2022·a2023<0，所以a2022>0>a2023，即数列的前2022项为正数，从第2023项开始为负数，由等差数列求和公式和性质可知，S4043＝·(a1＋a4043)＝4043a2022>0，S4044＝(a1＋a4044)＝2022(a2022＋a2023)<0，所以当Sn取最小正值时，n＝4043. [答案]　A 12．(6分)(多选)已知数列{an}是公差不为0的无穷等差数列，Sn是其前n项和，若Sn存在最大值，则下列说法不正确的是(　　) A．在S1，，，…，中最大的数是S1 B．在S1，，，…，中最大的数是 C．在S1，S2，S3，…，S2023中最大的数是S1 D．在S1，S2，S3，…，S2023中最大的数是S2023 [解析]　设等差数列{an}的公差为d，则d≠0，由Sn存在最大值可知，d<0，因为Sn＝na1＋＝n2＋n，则＝n＋，所以数列是以S1为首项，为公差的等差数列，且d<0，则是递减数列，所以在S1，，，…，中最大的数是S1，故A正确，B错误；在S1，S2，S3，…，S2023中最大的数是不确定的，比如an＝－n＋，由可得≤n≤，所以n＝4，即S4为最大值，故C、D错误．故选BCD. [答案]　BCD 13．(5分)已知前n项和为Sn的等差数列{an}(公差不为0)满足a1＝1，仍是等差数列，则通项公式an＝________. [解析]　设{an}公差为d，则a1＝1，a2＝1＋d，a3＝1＋2d，＝1，＝，＝，∴1＋＝2·，解得d＝0或d＝1，而d＝0不合题意，故d＝1，∴an＝n. [答案]　n 14．(10分)已知Sn、Tn是等差数列{an}、{bn}的前n项和，且＝，求. [解]　若等差数列的公差为零，不符合题意； 所以等差数列{an}、{bn}的公差均不为0， 由等差数列的前n项和公式知Sn＝na1＋d＝n2＋n， 即等差数列的前n项和公式Sn是关于n的二次函数， 因为＝，可设Sn＝kn(3n＋5)，Tn＝kn(2n＋4)(其中k≠0)， 可得a7＝S7－S6＝7k·(3×7＋5)－6k·(3×6＋5)＝44k， b9＝T9－T8＝9k·(2×9＋4)－8k·(2×8＋4)＝38k， 所以＝＝＝. 创新拓展 15．(13分)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，对任意正整数n，an＋2－an＝2＋cosnπ，Sn为{an}的前n项和，求S100的值． [解]　当n为奇数时，an＋2－an＝1，即数列{an}的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列；当n为偶数时，an＋2－an＝3，即数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列，所以S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝＋＝5050. 学科网（北京）股份有限公司 $$