2024-2025学年高二数学人教A版2019选择性必修二4.2.3等差数列的性质及应用

等差数列的性质及应用 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d＝(　　) A． B． C．2 D．－ [解析]　由a4＋a8＝2a6＝10，得a6＝5，所以4d＝a10－a6＝1，解得d＝. [答案]　A 2．(5分)数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是(　　) A．－2 B．－ C．2 D． [解析]　∵an＋1－an＝3，∴{an}为等差数列，且d＝3.a2＋a4＋a6＝9＝3a4，∴a4＝3，a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d)＝3(3＋3×3)＝36，∴log6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2.故选C． [答案]　C 3．(5分)已知数列是等差数列，且a3＝2，a15＝30，则a9等于(　　) A．12 B．24 C．16 D．32 [解析]　令bn＝，由题意可知b3＝＝，b15＝＝2，则等差数列{bn}的公差d＝＝，则b9＝b3＋(9－3)d＝，所以a9＝9b9＝12，故选A． [答案]　A 4．(5分)将2至2024这2023个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是(　　) A．132 B．133 C．134 D．135 [解析]　设所求数列为{an}，该数列为11,26,41,56，…，所以数列{an}为等差数列，且首项为a1＝11，公差为d＝26－11＝15，所以an＝a1＋(n－1)d＝11＋15(n－1)＝15n－4，则2≤an≤2024，即2≤15n－4≤2024，解得≤n≤135，则满足≤n≤135的正整数n的个数为135，因此该数列共有135项． [答案]　D 5．(6分)(多选)已知等差数列{an}满足a1>0，且a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则(　　) A．a1＋a101>0 B．a1＋a101<0 C．a3＋a99＝0 D．a51<a50 [解析]　根据等差数列的性质，得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，因为a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以101a51＝0，所以a1＋a101＝a3＋a99＝2a51＝0.又a1>0，所以d<0，a51＝a50＋d<a50，故选CD． [答案]　CD 二、填空题 6．(5分)各项都为正数的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，则a5＋a9＝________. [解析]　因为{an}为各项都为正数的等差数列，又2a3－a＋2a11＝0，所以4a7－a＝0，即a7＝4，所以a5＋a9＝2a7＝8. [答案]　8 7．(5分)在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，m，n∈N*，则am＋n的值为________． [解析]　设等差数列的公差为d，则d＝＝＝－1，从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0. [答案]　0 8．(5分)将数列{2n＋4}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的通项公式为an＝________. [解析]　由题意知，数列{2n＋4}为6,8,10,12,14,16,18,20,22，…，数列{3n－2}为1,4,7,10,13,16,19,22，…，则它们的公共项构成的数列{an}为10,16,22,28，…，该数列显然是首项a1＝10，公差d＝6的等差数列，∴an＝10＋6(n－1)＝6n＋4. [答案]　6n＋4 三、解答题 9．(10分)(1)已知等差数列{an}中，a5＝10，a15＝25，求a25的值； (2)已知等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值； (3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值． [解]　(1)解法一：设{an}的公差为d， 则解得 故a25＝a1＋24d＝4＋24×＝40. 解法二：因为5＋25＝2×15， 在等差数列{an}中，有a5＋a25＝2a15， 所以a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40. (2)由等差数列的性质，得 a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9， 所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70， 解得a5＝14，故a1＋a9＝2a5＝28. (3)令cn＝an－bn， 因为{an}，{bn}都是等差数列， 所以{cn}也是等差数列． 设其公差为d， 由已知得c1＝a1－b1＝5，c7＝17， 则5＋6d＝17，解得d＝2， 故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41. 10．(10分)已知等差数列{an}中，a5＝4，公差d＝4.若在每相邻两项中各插入两个数，使之成等差数列{bn}，求新数列的第50项，a50是新数列的第几项？ [解]　an＝a5＋(n－5)d＝4n－16. 在新数列{bn}中，b1＝a1＝－12， 公差d′＝d＝， ∴bn＝－12＋(n－1)＝n－， ∴b50＝. 由a50＝184＝n－，得n＝148. ∴a50是新数列的第148项． 能力提升 11．(5分)已知两个等差数列{an}：5,8,11，…；{bn}：3,7,11，…，都有100项，则它们的公共项的个数为(　　) A．20 B．23 C．25 D．27 [解析]　在数列{an}中，a1＝5，公差d1＝8－5＝3，所以an＝a1＋(n－1)d1＝3n＋2.在数列{bn}中，b1＝3，公差d2＝7－3＝4，所以bn＝b1＋(n－1)d2＝4n－1.令an＝bm，则3n＋2＝4m－1，所以n＝－1.因为m，n∈N*，所以m＝3k(k∈N*)．又所以0<m≤75，所以0<3k≤75，所以0<k≤25，所以k＝1,2,3，…，25，所以这两个数列共有25个公共项．故选C． [答案]　C 12．(6分)(多选)已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则m－n的值等于(　　) A．－ B．－ C． D． [解析]　设方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四根分别为a1、a2、a3、a4，则a1，a2，a3，a4，组成首项为的等差数列，设其公差为d，由等差数列的性质可得a1＋a4＝a2＋a3， ①若a1、a4为方程x2－2x＋m＝0的两根，则a2、a3为方程x2－2x＋n＝0的两根，由韦达定理可得a1＋a4＝＋a4＝2，可得a4＝，d＝＝，则a2＝，a3＝，此时m＝a1a4＝，n＝a2a3＝，则m－n＝－； ②若a1、a4为x2－2x＋n＝0的两根，a2、a3为方程x2－2x＋m＝0的两根，同理可得m＝，n＝，则m－n＝.综上所述，m－n＝±.故选BD． [答案]　BD 13．(5分)已知数列{an}满足①∀k∈N*，ak＋1>ak，②∀k∈N*，|ak＋1－ak|≤2，请写出一个满足条件的数列的通项公式________． [解析]　∀k∈N*，ak＋1>ak，说明数列是递增数列；由∀k∈N*，|ak＋1－ak|≤2，不妨设该数列为等差数列，公差为1，首项为1，所以an＝n. [答案]　an＝n(答案不唯一) 14．(10分)已知首项为4的数列{an}满足an＋1＝. (1)证明：数列是等差数列． (2)求数列{an}的通项公式，并求数列{an}的最小项． [解]　(1)证明：因为数列{an}满足an＋1＝， 即(n＋1)an＋1－2nan＝2n＋1， 可得－＝－＝1， 又因为a1＝4，可得＝2， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列． (2)由(1)知，数列是首项为2，公差为1的等差数列， 可得＝2＋(n－1)×1＝n＋1，所以an＝， 由an＋1－an＝－ ＝ ＝＝， 当n∈N*时，可得>0，即an＋1>an，所以数列{an}为递增数列， 所以当n＝1时，数列{an}的最小项为a1＝4，即数列{an}的最小项为4. 创新拓展 15．(13分)已知正项数列{an}满足a1＝1，a＋a＝2a，且a4－a2＝. (1)求数列{a}的通项公式； (2)求满足不等式an＋5＋1<2an的正整数n的最小值． [解]　(1)由已知得a－a＝a－a， 所以数列{a}是等差数列，设其公差为d. 由a4－a2＝，得a－a＝2. 所以2d＝2，即d＝1， 所以a＝a＋(n－1)d＝n. (2)由an>0，得an＝， 所以原不等式可化为＋1<2， 两边平方可得n＋6＋2<4n， 即2<3n－6， 所以4(n＋5)<(3n－6)2， 整理得(n－4)(9n－4)>0， 解得n>4或n<. 因为n∈N*，故n的最小值为5. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等差数列的性质及应用 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d＝(　　) A． B． C．2 D．－ 2．(5分)数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是(　　) A．－2 B．－ C．2 D． 3．(5分)已知数列是等差数列，且a3＝2，a15＝30，则a9等于(　　) A．12 B．24 C．16 D．32 4．(5分)将2至2024这2023个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是(　　) A．132 B．133 C．134 D．135 5．(6分)(多选)已知等差数列{an}满足a1>0，且a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则(　　) A．a1＋a101>0 B．a1＋a101<0 C．a3＋a99＝0 D．a51<a50 二、填空题 6．(5分)各项都为正数的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，则a5＋a9＝________. 7．(5分)在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，m，n∈N*，则am＋n的值为________． 8．(5分)将数列{2n＋4}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的通项公式为an＝________. 三、解答题 9．(10分)(1)已知等差数列{an}中，a5＝10，a15＝25，求a25的值； (2)已知等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值； (3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值． 10．(10分)已知等差数列{an}中，a5＝4，公差d＝4.若在每相邻两项中各插入两个数，使之成等差数列{bn}，求新数列的第50项，a50是新数列的第几项？ 能力提升 11．(5分)已知两个等差数列{an}：5,8,11，…；{bn}：3,7,11，…，都有100项，则它们的公共项的个数为(　　) A．20 B．23 C．25 D．27 12．(6分)(多选)已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则m－n的值等于(　　) A．－ B．－ C． D． 13．(5分)已知数列{an}满足①∀k∈N*，ak＋1>ak，②∀k∈N*，|ak＋1－ak|≤2，请写出一个满足条件的数列的通项公式________． 14．(10分)已知首项为4的数列{an}满足an＋1＝. (1)证明：数列是等差数列． (2)求数列{an}的通项公式，并求数列{an}的最小项． 创新拓展 15．(13分)已知正项数列{an}满足a1＝1，a＋a＝2a，且a4－a2＝. (1)求数列{a}的通项公式； (2)求满足不等式an＋5＋1<2an的正整数n的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$