广西南宁市2024-2025学年高二上学期期末教学调研数学试卷

南宁市2024~2025学年度秋季学期期末教学质量调研 高二年级数学试卷 (考试形式:闭卷 考试时间:120分钟 分值150分) 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求, 1.若一条直线的斜率等于3,则该直线的倾斜角是 B.7 D2 2.已知a.是等比数列,若a.=-2,a.=128,则公比9为 B.-2 A. 2 C.4 D. -4 3.若直线(a+2)x-y+1=0和直线ax-y-1=0垂直,则a的值是 A.-1 B.1 D. 2 -416 若MFl-3,则MF= C. 9 A.5 B. 7 D. 11 5.在等差数列fa.)中,S.为其前n项的和,若S.=6,S.-20,则S.为 A.42 B. 48 C. 60 D. 72 6. 在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=2,AA'=2, BAA'=DAA'=45 , BAD-60*,则AC的长为 C. 22 A.10 B.12 D.26 7. 直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+4-x2有两个不同交点,则k的取值范围是 A.(6)B.(]C.(0 D.} 8.已知双曲线E: B在y轴上,1,4--2-B,则E的离心率为 C.6 D. $6 高二年级数学试卷 第1页(共4页) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每个小题给出的四个选项中,有多项符合题目 要求,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有错选的得0分 9. 下列命题中,正确的是 A. 如果AB>0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过第三象限 C. 圆C:(x+1)+(y-12}=4关于直线x-y-1=0对称的圆方程为(x-2){+(y+2)-4 D. 点A(x,y)为圆(x-3)}+(v-4)=1上任意一点,则x2}+y}的最大值为6$ B两点,其中A是圆的上顶点,AFAF。是面积为、3的正三角形,则下列说法正确的是 A. AABE,的周长为8 11.已知点P是校长为2的正方体ABCD-A.B.CD的表面上的一个动点,则下列结论正确的是 A. 当点P在平面BCCB.上运动时,四梭锥P-AA.D.D的体积不变 C. 使直线AP与平面ABCD所成角为45o的动点P的轨迹长度为死+42 D. 若F是A.B.的中点,当点P在底面ABCD上运动,且满足PF//平面B.CD.时,PF长度 的最小值为5 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知抛物线y2-4x上一点M与焦点间的距离是3,则点M的横坐标是△ 13.已知数列(a.)的前n项和公式为S.=-3n},则fa.)的通项公式a.=△. 14. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家,对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆就是他的研 lMO!-2(2>0,a*1),那么点M的 究成果之一,指的是:已知动点M与两定点O.P的距离之比 |MP 轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为x2土v②}=1,定点O为x轴 高二年级数学试卷第2页(共4页) 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)已知线段PQ的端点P的坐标是(4.3),端点0在圆(x+1)2+y{-4上运 动,线段PO的中点为M. (1)求点M的轨迹方程 (2)若点M的轨迹为曲线C,已知直线/的方程为2x-v+1-0.请判断直线/与曲线C的位置关系 并说明理由. 16.(本小题满分15分)已知等差数列{a.)的前n项和为S,若a.+a。+a4=15且S.=4S (1)求数列(a.)的通项公式 (2)若b.=3-,令c.=a.b.,求数列(c.)的前n项和T. 17.(本小题满分15分)如图,在四校锥S-ABCD中,底面ABCD满足AB1AD,AB1.BC, SA1底面ABCD,且 SA=AB=BC-1,AD-1. 2 (1)求证:BC1.平面SAB: (2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值 18.(本小题满分17分)已知双曲线C的中心为坐标原点,右焦点为(7,0),且过点(-4,3) (1)求双曲线C的标准方程 (2)已知点A(4.1),过点(1.0)的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点M、N,直线AV与 双曲线C交于另一点P:设直线AM,AN的斜率分别为k,k. ①求证:+为定值: ②求证:直线MP经过定点,并求出该定点的坐标 高二年级数学试卷第3页(共4页) 在圆I.上,点N为圆C.上的动点,且ANFE面积的最大值为2 (1)求圆,的方程; (2)过F.作斜率为1的直线与圆C.交于P.O两点,求AMPO的面积 (3)黄金分割的比例5-1 -被认为是最能引起美感的比例,在艺术和设计中广泛应用,若圆上一 2 2 的圆.另一方面,若在圆I.: ,_* 高二年级数学试卷第4页(共4页)南宁市2024~2025学年度秋季学期期末教学质量调研 高二年级数学试卷参考答案 题号 10 8 11 D B 答案。 C B B ABC 0AD A ABC 1.C 解:因为tana=3.且0sa<n.所以a-.故选:C. 3 2. D解:q3--64.则q-4 3.A解:由题意得(a+2)xa+1=0,解得a=-1,故选:A. 4.B 解:由双曲线的定义可知, I|MFl-MF.ll4,故选:B. 5. A解:等差数列{a)中,S.,S-S,S-S也成等差数列,又由S=6,S-S=14,则其公 差为8,故S-$=22.,所以S=(S-S)+(S-$)+S=22+14+6=42 6.C解:AC}=(AB+AD+AA)}=AB{}+AD}+AA+2(AB·AD+AB·AA+AD·AA) 2 7. B 解:曲线y=1+4-x2是半圆,圆心C(0.1),半径为2,直线y=k(x-2)+4 .-2-1+4-2 过定点P(2.4),作出半圆和过点P的直线,当直线与半圆相切时, 2+1 #,:(21)0 故选: 8. B 解:设#4=2m,m0. FA=-2B,则FB=FB=3m, ## 根据双曲线定义可知F4-F-4=2a,所以 F4=2a+2m, AB=FA+F-B=5m,又因FA1FB,所以AABF为直角三角形,可得 174{},B{A{ 所以可得(2a+2m){+(3m){}-(5m){},解之可得a=m或a=-3m(舍),可 4+4- 2174.74 高二年级数学参考答案第1页(共8页) 335 $6 ^}+4^^{}-4^}4 635 解之可得c= $a,所以e-c3 一m=- 故选:B. 16m{} 5 ### B 该直线不过第三象限,A正确: 2+4 B正确: 对于C,令圆C:(x+1+(y-1)}=4的圆心C(-1,1)关于直线x-y-1=0的对称点为(m.n [m-1n1-1=0 _11 ,解得n=2.n=-2,所求圆的方程为(x-2)+(v+2)=4,C正确$ m+1 对于D,圆(x-3)}+(v-4)=1的圆心M(3,4),半径1,令原点为。 则$x+v2}OA}<(OM|+1)}=36,当且仅当O,M,A三点共线时取等号,D错误.故选:AB$C. 2r _. 6 ,故C错误: ,故D正确. 11. ABC.解:选项A:侧面正方形AA.DD的面积不变,点 到平面AA.DD的距离为正方体校 长,所以四校锥P-AAD.D的体积不变,正确;选项B:以为原点, DA.DC,D.D所在的直线 分别为x轴、轴、2轴,建立空间直角坐标系,可得A(2.0,2),D(0,0,2).C(0.2.2). 设P(x.2-x0).0<x<2,则DP=(x.2-x.-2)A.C=(-2.2.0) DPllA.C|(x-1)2+3 因为0<x<2,则0x-11 高二年级数学参考答案第2页(共8页) 当0x-11时,cos-x-11 V(x-1)+3 正确; 对于C:因为直线AP与平面ABCD所成的角为45^*, D 若点 在平面DCCD.和平面BCCB.内, 因为 BAB=45 D.AD=45*最大,不成立 在平面AA.DD内,点的轨迹是AD-22; .....i. 在平面A4.BB内,点 的轨迹是AB=2②; 在平面A.B.C.D.内时,作PM1平面ABCD,如图所示, 因为 PAM=45$,所以PM=AM,又因为PM=AB,所以AM=AB,所以A.P=A B, 所以点的轨迹是以A.点为圆心,以2为半径的四分之一圆 所以点 4 对于D,由B.(2.2.2).D(0.0.2)C(0.2.0).F(2.1.2) 设P(m.n.0),0<m<2.0 n<2,则CB =(2.0.2)CD=(0.-2.2),FP=(m-2.n-1-2 i.CD--2b+2c=0 取a=1,可得b=-1.c=-1,所以n=(1.-1.-1) 因为PF//平面BCD,所以FP·n=(m-2)-(n-1)+2=0,可得n=m+1 所以 FPl=(m-2)^+(n-1)}+2=2m}-4m+8=$(m-1)}+6,当$ m=1时,等号成立,故D错误 高二年级数学参考答案第3页(共8页) 12. 2 解:由抛物线的定义可知,点M的横坐标是2. 3. =-6n+3 解:当n→2时,a=S-S =-3n}+3(n-1)}=-6n+3;当n=1时$, a.=S.=-3,满足a.=-6n+3,故数列{a.的通项公式为a.=-6n+3. (r-a)2}+{} 14.解:设Q(a,0),M(x,y),则{Mol=(x-a)+y{,又 |MP [4+2a=0 整理可得:x2+24+2a-1. 3 -x三 ,又动点M的轨迹为x{②}+v2}=1,所以 -11 3 3 3 解得a=-2,所以O(-2.0).又 MO=2|MP|,则2|MP|+MBMO +MB ,因为B(1.1),所以 2|MP|+MB|的最小值为 BO(1+2)+(1-0){-0. 15.解:(1)设点M(x.y),点O(xo,y) .............................. ·点P(4.3)且M是线段PQ中点,.x-o+4 2 2y_#+3 “.......................分 于是有x=2x-4y=2y-3 又Q(xr,y)在(x+1)}+y?-4上运动,则(x。+1)}+y?-4②....1分 把①代入②,得(2x-4+1){+(2y-3){=4. .........................................分. (#3}#-3)}1 整理得点M轨迹方程 .................... (2)由(1)可04是以为四心 半径.为.的...........分. Ax。+By。+C 因为圆心到直线的距离d= ............................. A+B2} 5 ........................................................分. 故直线与圆相离 ..........分). 高二年级数学参考答案第4页(共8页) 16.解:(.... .. 4.,.5.得 .,....................1分 [a.+2d=5 设等差数列a.的公差为d, 则 4x3 3d-4(2a.+d) 4a.+- ......................分. 2 解得: a=1.d-2 ............................................分.. '.a.=2n-1 ..........................................分..分) (2)c.=a.b.=(2n-1)3"-1 .......................分.... T.=1x3*+3x3{+5x3^{}+....+(2n-1)3-1 ①........ 37=1x3+3x3{}+5x3+.....+(2n-1)3” ②.......1..分.. ①-②得。:-.-2-2.-1小.3..3. ...-分1-.2.8.-8人............2分 1-3 .7 三..........分.1.分) 17.解:(1)::SA1.底面ABCD,BCC底面ABCE .SA 1. .........分.. 由AB1BC,且. ABOSA=A.且AB、SAC平面SAB..2分 .BC. .........................5分)分. (2)由SA1底面ABCD,AB1.AD,如图建立空间直角坐标系, ......................分. 显然,平面SAB的一个法向量是m=(1.0.0). ...............................分). 设n=(x.y,2)是面sCD的一个法向量, nCS-0 [-x-y+z=0 令x-.....,.-.1.............1.1分).. 则cos<mn>=_ .............分. mllnl 高二年级数学参考答案第5页(共8页) 2 1x6 ) 3 .......................分(15分) [a+62-7. 因为双曲线C右焦点为(7.o)且过点(-4.3),所以 169 [a-4. 其中0<a<7,解得 2}=3. 43 (2)①设直线MN的方程为y=k(x-1),M(x,y),N(x,y). .......................分 ##### [y=k(x-1). 得(3-42})x2+8$-4k-12=0, 43 -82} -42-12 x十x,= 3-4= 因为直线MN与双曲线C的左、右支分别交于点M.N. [3-420. 所以-42-12 得3 # 2 <0. 2 -...................................分). (3-42 由#+--1-1 x-4x-4 ................分. #(-1)-1k(x-1)-12kx-(5k+1)(x+x)+8(k+1)-24^+242 x-4(x+x)+16 r-4 x2-4 -36+363. 所以k+k,为定值. ..............1..分) ②设直线MP的方程为y=tx+m,P(x,) ......................分.. 由进得 [y=tr+m. 得(3-4r2)x2-8tmx-4m}-12=0, 高二年级数学参考答案第6页(共8页) 8tm -4m-12 +x= 3-4,1= 3-42 .................................分 由k=k,结合①可知k+k 2 ........................................1.分) $+ -1-1(t+m-1)(,4)+(t, +m-1)(x,-4) x-4x.-4 (x-4)(x-4) ..............................分 2-4n}-12 +(n-1-4r) 8tm $x+(m-1-4r)(x.+x)-8(m-1) 3-42 x-4(x+x)+16 -4n-12 2-4 8tn 3-42} 3-+16 32r+8m+24(t+m)-24 64r2}+32tm+4m^}-36 由+k- ...........分(15分). 当m=....线MP过点.1.).题意..去...............1分.. 当n=-41+9时,直线MP的方程为y=1(x-4)+9,故所求过定点为(4.9).........1分(17分) ......................... 因为Svr 最大值为2,所以SANr)。 2 (2)设直线PQ:y=x-1,P(x,y), O(2,y2) 10 X十x= , ...................分.4分) 2二- 2 所以Po=1+^(x+x)-4xx= 16V5 9 ....................... 332 又点M(0.2)到直线PQ:y=x-1的距离d-- ............................ ### 所以Suo=2×2 .1321654V10 9 3 ..................................分)... 4 +C .......................... 2 高二年级数学参考答案第7页(共8页) 设A坐标为(X.V)联立 2} b 整理得y{-2yy+y}=0所以有△=0, .......................分 将#=1与 :x- # C C. C V 又因为以A.B.为直径作圆,设此圆恒过圆I.的右顶点(a,0). #1-)## .-1 C C C C 因为上式对任意的x.恒成立,所以 # C C -.....................1.4分) 所以c.是以c.=1为首项, 为公比的....列..................分. 5+5 所以c.+c+....+C.= __ x .........................1.”分) 1、#5 1、5 5 5 高二年级数学参考答案第 8页(共8页)