精品解析：甘肃省白银市靖远县第四中学2024-2025学年高三上学期1月模拟测试数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，若互相垂直且至少有一个为单位向量，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 或1 4. 如图，这是某城市在2023年12月－2024年2月的二手房销量数据折线图．下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的极差为470 B. 这组数据的众数为365 C. 这组数据的中位数为387 D. 这组数据的平均数约为360 5. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线，点，从上任取一点，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式对恒成立，则实数的取值不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是一个五面体均垂直于底面，且是边长为1的等边三角形.已知.若平面平面，且与平面之间的距离为，与五面体相交，则平面切割五面体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 函数有两个零点 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的极小值为 D. 函数是奇函数 10. 如图，是直线与曲线在其半个周期内的两个不同的交点．下列说法正确的是（ ） A. 的最大取值为1 B. 若是三角形的内角，则是钝角 C. 当时，若为的导数，则函数的最大值为 D. 若，则 11. 已知抛物线的焦点为为抛物线上的两点，且线段的中点为，则（ ） A. 点的坐标为 B. 直线的斜率为2 C. 线段的长度为 D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等差数列的前项和．若，，则______． 13. 已知，则______． 14. 甲、乙两人的口袋中均装有3个球，甲的3个球为2个黑球和1个白球．乙的3个球均为黑球（黑球和白球的大小，材质一样）．两人决定玩一场游戏：两人各从口袋中任取1个球与对方交换，重复进行这样的操作．第1次交换后，甲的口袋中黑球的个数为3的概率为______；第3次交换后，甲的口袋中依然只有1个白球的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知分别为的角所对的边，且满足，． （1）求； （2）若外接圆的半径为，求. 16. 如图（1），在直角梯形中，，现沿着折起，使得平面平面，如图（2）． （1）求证：平面． （2）求二面角的大小． 17. 已知函数，曲线在点处的切线的斜率为2． （1）求实数的值； （2）求证：当时，恒成立． 18. 某公司在内部员工团建时，设置了一个抽奖环节，已知奖券藏在如图所示的袋子里面，标号为①②③④⑤的袋子中分别装有价值为（单位：元）的奖券．抽奖规则：每个人只能从其中一串的最下端取一个袋子，得到其中的奖券，若两串都有礼物袋，则每个人等可能选择一串抽取，直到礼物袋取完为止．现甲、乙、丙、丁、戊五人获得抽奖资格，并依次抽奖． （1）求丙取得的奖券为50元的概率； （2）在甲获得的奖券为50元的前提下，求丁获得的奖券为100元的概率； （3）试预测乙、丙两人谁获得的奖券金额更大些，并说明理由. 19. 已知为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量，点A绕着点逆时针旋转角后得到点，则，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”． （1）证明曲线是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式． （2）证明：“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． （3）若存在双曲线是“反比例曲线”，过原点的直线交该双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足，以此类推，过点作斜率为的直线交双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足．在中，设底边上的高为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集来求解即可. 【详解】， ， 所以 而 ， 故选：B. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再计算其模即可. 【详解】因为， 所以． 故选：C． 3. 已知平面向量，若互相垂直且至少有一个为单位向量，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示以及向量的模长的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，，，，，满足题意； 当时，，， ，，不合题意， 所以. 故选：B. 4. 如图，这是某城市在2023年12月－2024年2月的二手房销量数据折线图．下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的极差为470 B. 这组数据的众数为365 C. 这组数据的中位数为387 D. 这组数据的平均数约为360 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差，众数，中位数以及平均数的计算即可求解. 【详解】将这13个数据从小到大排列：． 这组数据的极差为，众数为420，第7个数387为中位数， 平均数为． 故选:C． 5. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，将所求式子转化为三角函数的最值求解即可. 【详解】因为， 设，，， 则 ，其中， 当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 6. 已知曲线，点，从上任取一点，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设，则根据中点坐标公式计算得出则，最后代入化简得出轨迹方程. 【详解】设，则， 因为点在曲线上，所以， 即，故点的轨迹方程为． 故选:D． 7. 若不等式对恒成立，则实数的取值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对进行讨论，当时，求导可得函数的最值，进而得，当时，代入验证即可求解. 【详解】若，则显然不能恒成立； 若，则，所以，即， 对于，则，故时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 因此的最大值为，所以；BD可以； 当时，， 可知当时，，此时单调递增，故， 故， 当时，，此时单调递增，故， 故，故时，满足题意，C正确， 当时，，不符合题意，故A错误 故选：A． 8. 如图，这是一个五面体均垂直于底面，且是边长为1的等边三角形.已知.若平面平面，且与平面之间的距离为，与五面体相交，则平面切割五面体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作平面平面，分别交于点.由点到平面的距离分别为，可知.设平面与的交点分别为，由平面到平面的距离为及平面平面，可得.通过平移截面至平面，可求截面的面积. 【详解】易知，通过等体积法可知点到平面的距离分别为. 过点作平面平面，分别交于点，则. 因为平面到平面的距离为， 所以平面与直线的交点为线段的中点，记该点为， 记平面与的交点分别为， 则平面切割五面体所得截面为. 根据平面平面可得， 由三角形相似易知. 通过平移截面至平面，可知截面的面积为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 函数有两个零点 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的极小值为 D. 函数是奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数的解析式，可求出函数的零点，可判断A选项；利用导数分析函数的单调性，可判断B选项；利用函数的极值与导数的关系可判断C选项；计算出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 所以，令，可得， 可知函数有两个零点，A对； 对于BC选项，因为，由可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 故在区间上不单调，函数的极小值为，B错C对； 对于D选项，设，若为奇函数，则， 即，但， 所以函数不是奇函数． 故选：AC． 10. 如图，是直线与曲线在其半个周期内的两个不同的交点．下列说法正确的是（ ） A. 的最大取值为1 B. 若是三角形的内角，则是钝角 C. 当时，若为的导数，则函数的最大值为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据的最大值为可判断A；根据、是三角形的内角可判断B；求出的最大值可判断C；当时，根据求出可判断D． 【详解】对于A，因为的最大值为，又是两个不同的交点， 说明的最大取值不可能为1，故A错误； 对于B，根据函数的图象可知，若是三角形的内角， 则是钝角，故B正确； 对于C，当时，函数 ,其最大值为，故C正确； 对于D，当时， ，故D正确． 故选：BCD. 11. 已知抛物线的焦点为为抛物线上的两点，且线段的中点为，则（ ） A. 点的坐标为 B. 直线的斜率为2 C. 线段的长度为 D. 的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据抛物线方程易知焦点坐标，选项A即可判断；设点，利用点差法及中点坐标公式可求出直线的斜率，选项B即可判断；将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式即可求判断选项C；利用点到直线的距离公式求出焦点到直线的距离，结合面积公式即可判断选项D. 【详解】易知点的坐标为，故选项A错误； 设，则的中点的坐标为. ∵点在曲线上，，两式相减得， . ∵线段的中点为，，， ∴直线的方程为.故选项B正确； 联立方程组消去，得， .故选项C正确； ∴点到直线的距离为的面积为.故选项D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等差数列的前项和．若，，则______． 【答案】66 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据下标和性质求出，从而求出，即可求出，再根据等差数列求和公式计算可得. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，又，所以， 所以，于是， 所以． 故答案为： 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式求出，判断再根据同角三角函数的平方关系与商的关系求解即可. 【详解】， ， ， ， 故答案为：. 14. 甲、乙两人的口袋中均装有3个球，甲的3个球为2个黑球和1个白球．乙的3个球均为黑球（黑球和白球的大小，材质一样）．两人决定玩一场游戏：两人各从口袋中任取1个球与对方交换，重复进行这样的操作．第1次交换后，甲的口袋中黑球的个数为3的概率为______；第3次交换后，甲的口袋中依然只有1个白球的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据全概率公式可得递推关系，即可代入求解. 【详解】次交换后，记甲的口袋中恰有1个白球的概率为，没有白球的概率为，． 当时，， ． 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知分别为的角所对的边，且满足，． （1）求； （2）若外接圆的半径为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解； （2）先利用三角形内角和定理和两角差的正弦公式求得的值，再根据正弦定理求解即可. 【小问1详解】 ，由正弦定理可得， ，. ，. 【小问2详解】 由（1）知，. ，，. 由正弦定理可知，. 16. 如图（1），在直角梯形中，，现沿着折起，使得平面平面，如图（2）． （1）求证：平面． （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合面面垂直的性质分析证明； （2）建立空间直角坐标系，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 由题可求得，且， 则，可知， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，平行于的直线为y轴，建立空间直角坐标系， 则． 可得， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 则， 所以二面角的大小为． 17. 已知函数，曲线在点处的切线的斜率为2． （1）求实数的值； （2）求证：当时，恒成立． 【答案】（1） （2） 要证当时，，即证， 令，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ． ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，，，即恒成立. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义，得到，求解，即可得出结果； （2）先整理不等式，令，，对函数求导，分别求其在时的单调性，求出和，根据题意证明即可. 【小问1详解】 ，，； 【小问2详解】 略 18. 某公司在内部员工团建时，设置了一个抽奖环节，已知奖券藏在如图所示的袋子里面，标号为①②③④⑤的袋子中分别装有价值为（单位：元）的奖券．抽奖规则：每个人只能从其中一串的最下端取一个袋子，得到其中的奖券，若两串都有礼物袋，则每个人等可能选择一串抽取，直到礼物袋取完为止．现甲、乙、丙、丁、戊五人获得抽奖资格，并依次抽奖． （1）求丙取得的奖券为50元的概率； （2）在甲获得的奖券为50元的前提下，求丁获得的奖券为100元的概率； （3）试预测乙、丙两人谁获得的奖券金额更大些，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）预测丙获得的奖券金额可能更大些，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分析出丙要取得50元的奖券，甲、乙、丙抽取的奖券袋子顺序依次只能为①②③，再根据独立事件的概率乘法公式即可求解； （2）分析出在甲获得的奖券为50元的前提下，丁要取得100元的奖券，则乙，丙只能取①号或④号奖券，再根据独立事件的概率乘法公式即可求解； （3）列出甲、乙、丙三人的摸奖的所有可能情况，根据独立事件的概率乘法公式分别计算出乙、丙获得的奖券值的分布列，再计算对应的数学期望，比较大小即可求解. 【小问1详解】 由题意知，丙要取得50元的奖券，甲，乙，丙抽取的奖券袋子依次只能为①②③， ∴丙取得的奖券为50元的概率为. 【小问2详解】 丁要想获得100元奖券，则乙，丙只能取①号或④号奖券， ∴丁取得的奖券为100元的概率为. 【小问3详解】 甲，乙，丙三人的摸奖情况如图所示， ∴乙获得的奖券值可能为， 且， 元. 丙获得的奖券值可能为，其中 ，， ，， ， 元. ，∴预测丙获得的奖券金额可能更大些. 19. 已知为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量，点A绕着点逆时针旋转角后得到点，则，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”． （1）证明曲线是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式． （2）证明：“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． （3）若存在双曲线是“反比例曲线”，过原点的直线交该双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足，以此类推，过点作斜率为的直线交双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足．在中，设底边上的高为，求． 【答案】（1）证明见解析，（或）． （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）取或，设旋转变换后的坐标，结合，得到曲线是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为或； （2）根据旋转的坐标变换公式和等轴双曲线概念证明必要性和充分性，得到结论； （3）由（2）可知，双曲线的方程可表示为，取，且旋转变换后得到表达式为，设经过旋转变换后，故，根据反比例函数定义可得且．作出辅助线，矩形的面积为，因为，求出，所以，可得． 【小问1详解】 由题，在旋转变换公式中取，旋转变换后的坐标为． 得 则，将其代入，得， 化简得， 故曲线是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为； 或在旋转变换公式中取，旋转变换后的坐标为． 得 则，将其代入，得， 化简得， 故曲线是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为， 综上，反比例函数图象的表达式为或. 【小问2详解】 必要性：根据旋转的坐标变换公式，得，所以， 代入得， 化简得， “双曲线是‘反比例曲线’”， 所以，解得，故该双曲线是等轴双曲线，必要性成立； 充分性：由等轴双曲线定义可知，即， 代入（1）中的旋转变换公式，得，化简得， 故该双曲线是“反比例曲线”． 综上所述，“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． 【小问3详解】 由（2）可知，双曲线的方程可进一步表示为， 因为旋转变换的角度不影响最终的结果，故本题取， 且旋转变换后得到的反比例函数图象的表达式为，即． 设经过旋转变换后， 因为是等腰三角形，所以， 根据反比例函数定义可得． 故且． 从点向轴作垂线交于点，向轴作垂线交于点， 设矩形的面积为，因为， 当时，． 由于，，故当时， ， 因为，所以，从而． 以此类推， ， 因为， 所以，可得． 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $