精品解析： 天津市和平区汉阳道中学2024-2025学年 八年级上学期数学期中试卷

2024-2025学年第一学期第二次成长记录八年级数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列生活中的一些事实运用了“三角形稳定性”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：C中图形下面叉开的两只脚与地面形成三角形，具有稳定性，结实，故C正确； A、B、D不是三角形，故选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 3. 一个不等边三角形的两边长分别为6和10，且第三边长为偶数，符合条件的三角形有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边的关系．设第三边长为，根据三角形三边的关系得，据此求解即可． 【详解】解：设第三边长为， 根据题意得，即， 又三角形为不等边三角形，且第三边长为偶数， 为8、12、14，符合条件的三角形有3个， 故选：B． 4. 如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，然后求周长即可． 【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC于D， ∴AD=BD， ∵AC=3，BC=4 ∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+BC=7． 故选A． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 5. 如图，已知于点，于点，，则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，先证明，可得，从而可得，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6. 如图，在中，，将沿直线l折叠，使点落在点的位置，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形外角的性质得知，，则，即可得出答案．此题考查了折叠的性质，三角形外角定理，解答关键在于熟练掌握相关知识点． 【详解】解：如图 将沿直线l折叠，使点落在点的位置 ， 故选：D． 7. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角度数是（　　） A. 65° B. 65°或25° C. 25° D. 50° 【答案】B 【解析】 【分析】分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况，结合条件可求得顶角或顶角的外角，再结合三角形内角和定理可求得其底角． 【详解】当该三角形为锐角三角形时，如图1， 可求得其顶角为50°， 则底角为×（180°﹣50°）＝65°， 当该三角形为钝角三角形时，如图2， 可求得顶角的外角为50°，则顶角为130°， 则底角为×（180°﹣130°）＝25°， 综上可知该三角形的底角为65°或25°， 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质. 8. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 故选：D. 【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 9. 如图，已知，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， A、添加，可以利用ASA判定，故本选项不符合题意； B、添加，无法判定，故本选项符合题意； C、添加，可以利用SAS判定，故本选项不符合题意； D、添加，可以利用AAS判定，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 10. 如图，坐标平面内一点，O为原点，P是坐标轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握运用等腰三角形的定义是解题关键．根据等腰三角形的定义及垂直平分线的判定作出相应图形，然后即可确定点的个数． 【详解】解：如图： ①当时，以为圆心，为半径画圆，与坐标轴有2个交点为（去除点）； ②当时，以为圆心，为半径画圆，与坐标轴有4个交点为， 当时，作出的垂直平分线，与坐标轴有2个交点为， 故有8个符合条件的动点P， 故选：B． 11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点P（－2，3）关于x轴对称的点的坐标是（－2，－3）． 故选A． 【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12. 如图，过边长为a的等边三角形的边AB上一点P，作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于D，则的长为（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．过P作交于点F，通过求证，推出，再通过证明是等边三角形和，推出，即可推出，可得，即可推出的长度． 【详解】解：过P作交于点F，如图所示 则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵于E，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13. 已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长度为_______cm． 【答案】4 【解析】 【分析】在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半，据此进一步求解即可. 【详解】∵在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半，且该直角边长为2cm， ∴该直角三角形斜边长度为4cm， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了直角三角形性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 14. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【详解】∵正多边形的一个内角是140°， ∴它的一个外角是：180°-140°=40°， ∵多边形的外角和为360°， ∴这个正多边形的边数是：360°÷40°=9． 故答案为：9． 15. 如图，在中，点D是延长线上一点，，，则的余角是_________． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质和余角的定义，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知，从而求出的度数，从而得解． 【详解】解：∵， ∴． ∴的余角是． 故答案为：． 16. 如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是（0，﹣4），AB的长是12，则△ABD的面积为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】作DE⊥AB于E，如图，利用角平分线的性质得DE=OD=5，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：作DE⊥AB于E，如图， ∵点D的坐标是（0，﹣4）， ∴OD＝4， ∵AD是Rt△OAB的角平分线， ∴DE＝OD＝5， ∴S△ABD＝×12×4＝24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 17. 如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点，，为格点，点为与网格线的交点，则__________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】连接，，设与交于点，根据勾股定理的逆定理先证明是等腰直角三角形，从而可得，再根据题意可得，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接，，设与交于点， 由题意得： ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， 是的一个外角， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、平行线的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线． 18. 如图BD为△ABC的角平分线，且BD=BC， E为BD延长线上一点，BE=BA， 过E作EF⊥AB于F，下列结论： ①△ABD≌△EBC ;②∠BCE+∠BDC=180°； ③AD=AE=EC；④AB//CE ； ⑤BA+BC=2BF.其中正确的是________________. 【答案】①②③⑤ 【解析】 【详解】①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD， ∴在△ABD和△EBC中，， ∴△ABD≌△EBC(SAS)，故①正确； ②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA， ∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA， ∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA， ∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正确； ③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA， ∴∠DCE=∠DAE， ∴△ACE为等腰三角形， ∴AE=EC， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD=EC， ∴AD=AE=EC，故③正确； ⑤过E作EG⊥BC于G点， ∵E是BD上的点，∴EF=EG， ∵在RT△BEG和RT△BEF中，， ∴RT△BEG≌RT△BEF(HL)， ∴BG=BF， ∵在RT△CEG和RT△AFE中，， ∴RT△CEG≌RT△AFE(HL)， ∴AF=CG， ∴BA+BC=BF+FA+BG−CG=BF+BG=2BF，故⑤正确； 无法证明④正确. 故答案为①②③⑤. 点睛：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形的性质是解题的关键. 三、解答题（本大题共7小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 已知：，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 本题根据即可证明． 【详解】略 20. 已知三角形的三边分别为4cm，9cm和x cm． （1）求x的取值范围； （2）若三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【答案】（1） （2）22cm 【解析】 【分析】本题考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义； （1）根据第三边大于已知两边的差，小于已知两边的和列不等式组求解即可； （2）根据第三边的取值范围确定等腰三角形的另一边，再求周长即可． 【小问1详解】 解：∵三角形任意两边的差都小于第三边，任意两边之和都要大于于第三边， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，已知两边为4和9， 时三角形为等腰三角形， ∴该三角形周长为：（cm）． 21. 在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线，直角三角形的两个锐角互余． 由三角形的内角和定理，结合已知可得的度数，从而可得和的度数，相减即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 22. 平面直角坐标系中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）在图中作出关于轴对称的 （2）写出关于轴对称的各顶点坐标：______；______；______； 【答案】（1） 即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查作图−−轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． （1）根据关于y轴对称的点横坐标变为相反数，纵坐标不变，描出各点，再顺次连接即可； （2）根据关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知， ∴关于轴对称的各顶点坐标， 故答案为：． 23. 如图，在中，，D为边上一点，过D作，分别与相交于点E和点F． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴； （2） 证明：由（1）知：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴. 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质： （1）根据三角形的内角和定理和平角的定义，即可得出结论； （2）证明，即可得证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． （1）如图（1），是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． （2）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：延长至，使，连接 是的中线， ，且， ， ，， ， ， ， ， ∵， 即，且，， . ， ， ． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，三角形的外角性质． （1）由证明三角形全等可得出答案； （2）延长至M，使，先证明，进而得出，，即可得出，再证明，即可得出答案． 【小问1详解】 解：是的中线 ， 在和中， ， ， ∴判断全等的依据为“”， 故答案为：； 【小问2详解】 略 25. 完成下列各题： （1）问题情境 如图1，和都是等边三角形，连接，，求证：． （2）迁移应用 如图2，和都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是的中点，N是的中点，P在上，是等边三角形，求证：P是的中点． （3）拓展创新 如图3，P是线段的中点，，在的下方作等边（P，F，H三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当EF+BH的值最小时，直接写出等边边长的最小值． 【答案】（1） 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴， ∴． 在和中， ∴ （2） 证明：在上截取点K，使得，连接， ∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即． 在和中， ∴， ∴， ∴． ∵M为中点，点N为中点， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴点P为中点． 另解思路1 在上截取点K，使得，在上截取点G，使得， 证， 则，， 所以，即，所以点P为中点． 另解2思路2 过点N作，，证， 设，， 则，，，． 易求，，，． 所以，所以点P为中点． （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质推得，再利用即可证明； （2）在上截取点K，使得，连接，先证明是等边三角形，得出，再利用证明，得出，再根据线段中点的关系求解； （3）作，使，连接，证明，可得，故，则当点H在线段上时，的值最小时，又当，的值最小即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作，使，连接． ， ， 在和中， ， ， ， 当点H在线段上时，的值最小， 此时若，的值最小， ， ， 又P是线段的中点， ， ， ， ， 在中，， 即当的值最小时，边长的最小值为． 【点睛】本题考查的是旋转问题，三角形全等的判定与性质，三点共线求最小值，以及垂线段最短的问题，解题的关键是能正确作出辅助线，证明三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期第二次成长记录八年级数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列生活中的一些事实运用了“三角形稳定性”的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个不等边三角形的两边长分别为6和10，且第三边长为偶数，符合条件的三角形有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 如图，已知于点，于点，，则的度数是( ) A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将沿直线l折叠，使点落在点的位置，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角度数是（　　） A. 65° B. 65°或25° C. 25° D. 50° 8. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，坐标平面内一点，O为原点，P是坐标轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　　　）． A. B. C. D. 12. 如图，过边长为a的等边三角形的边AB上一点P，作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于D，则的长为（　　） A. B. C. D. 不能确定 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13. 已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长度为_______cm． 14. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 15. 如图，在中，点D是延长线上一点，，，则的余角是_________． 16. 如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是（0，﹣4），AB的长是12，则△ABD的面积为_____． 17. 如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点，，为格点，点为与网格线的交点，则__________． 18. 如图BD为△ABC的角平分线，且BD=BC， E为BD延长线上一点，BE=BA， 过E作EF⊥AB于F，下列结论： ①△ABD≌△EBC ;②∠BCE+∠BDC=180°； ③AD=AE=EC；④AB//CE ； ⑤BA+BC=2BF.其中正确的是________________. 三、解答题（本大题共7小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 已知：，求证：． 20. 已知三角形的三边分别为4cm，9cm和x cm． （1）求x的取值范围； （2）若三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 21. 在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 22. 平面直角坐标系中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）在图中作出关于轴对称的 （2）写出关于轴对称的各顶点坐标：______；______；______； 23. 如图，在中，，D为边上一点，过D作，分别与相交于点E和点F． （1）求证：； （2）若，求证：． 24. 在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． （1）如图（1），是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． （2）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，求证：． 25. 完成下列各题： （1）问题情境 如图1，和都是等边三角形，连接，，求证：． （2）迁移应用 如图2，和都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是的中点，N是的中点，P在上，是等边三角形，求证：P是的中点． （3）拓展创新 如图3，P是线段的中点，，在的下方作等边（P，F，H三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当EF+BH的值最小时，直接写出等边边长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $