7.2.2 平行线的判定-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（人教版2024）

判定方法 文字语言 符号语言 基本图形 判定方法1 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等,两直线平行 ∵∠1＝∠2 ∴∥ 判定方法2 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等,两直线平行 ∵∠2＝∠3 ∴∥ 判定方法3 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成： 同旁内角互补,两直线平行 ∵∠2+∠4=180° ∴∥ 判定方法4 垂直于同一直线的两直线平行 ∵， ∴∥ 注意： （1）前面我们讲的平行线的画法，用的就是判定方法1. （2）上面的前三种判定方法都是建立在“三线八角”这个基本图形之上的,都是根据角的相等或互补推得两条直线平行，是利用数量关系判定两直线平行. （3）除上面的四种方法外，还有以下两种利用位置关系判定两直线平行的方法:1.平行线的定义;2平行线基本事实的推论(平行线的传递性) 符号语言：∵， ∴ 【基础练习】 【练习1-1】如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是结合图形准确分析平行线的判定方法．根据画图的方法，利用了同位角相等，两直线平行的方法作已知直线的平行线． 【详解】解：如图， 根据可知，其依据是同位角相等，两直线平行． 故选A． 【练习1-2】如图，木条a、b、c用螺丝固定在木板上且，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线、、，若使直线、直线达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（ ） A. 木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转 B. 木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转 C. 木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转 D. 木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转20°，∠DEM＝90°≠∠ABM，该选项不符合题意； B、木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°，∠DEM＝50°＝∠ABM，∴AC∥BD，该选项符合题意； C、木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转20°，∠ABM＝30°≠∠DEM，该选项不符合题意； D、木条b、c固定不动．木条a绕点B顺时针旋转50°，∠ABM＝100°≠∠DEM，该选项不符合题意； 故选：B． 【练习1-3】如图，下列条件能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的判定方法“内错角相等，两直线平行”得出B能判断，A、C、D不能判断；即可得出结论． 【详解】能判断直线AD∥CB的条件是∠1=∠4；理由如下： ∵∠1=∠4， ∴AD∥CB（内错角相等，两直线平行）； A、C、D不能判定AD∥CB； 故选：B． 【练习1-4】下列图形中，由能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能得到，不符合题意； B、，根据内错角相等，两直线平行，能得到，符合题意； C、，根据内错角相等，两直线平行，能得到，不能得到，不符合题意； D、不能得到，不符合题意； 故选：B． 【练习1-5】如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故选：B． 【练习1-6】如图，一个合格的变形管道ABCD需要AB边与CD边平行，若一个拐角∠ABC=72°，则另一个拐角∠BCD=_______时，这个管道符合要求. 【答案】108° 【解析】 【详解】∵当∠ABC+∠BCD=180°时，AB∥CD， ∴当∠BCD=180°-∠ABC=180°-72°-108°时，这个管道符合要求. 错误警示：因不能正确识别截线和被截线，而导致误判两直线平行 要识别一对角是由哪两条直线被第三条直线所截而成的角，要从组成角的两边入手:两个角共线的边所在的直线就是截线，即第三条直线，另外两边所在的直线就是两条被截线.确定了被截线，根据平行线的判定就可判断是哪两条直线平行。 【典例】如图，直线被直线所截，下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案． 【详解】A、当∠1=∠3时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意； B、当∠2+∠4=180°时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意； C、当∠4=∠5时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意； D、当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意； 故选：D 【变式1-1】斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出，这种验证方法的数学依据是 ．    【答案】同位角相等 ，两直线平行 【解析】 【分析】由图可得和是一对同位角，根据平行线的判定方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴斑马线互相平行． （同位角相等 ，两直线平行） 故答案为：同位角相等 ，两直线平行． 【变式1-2】如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当∠2＝　　时，a∥b． 【答案】40° 【解析】 【分析】由直角三角板的性质可知∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝40°，当∠2＝40°时，∠2＝∠3，得出a∥b即可． 【详解】解：当∠2＝40°时，a∥b；理由如下： 如图所示： ∵∠1＝50°， ∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°， 当∠2＝40°时，∠2＝∠3， ∴a∥b． 故答案为：40° 【典例】如图，要使直线l1与l2平行，则需直线l1绕点O至少旋转的度数是（　　） A. 38° B. 42° C. 80° D. 138° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定，可得要使直线l1与l2平行，则，再结合已知条件解题． 【详解】解：要使直线l1与l2平行，则， 要使直线l1与l2平行，直线l1绕点O至少旋转 故选：A． 【变式2-1】如图，能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过角相等判定两直线平行，则判断两角是否能推出同位角或内错角相等即可． 【详解】解：∵只有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补才能判断两直线平行， 选项D中是内错角相等，故能判定两直线平行，其他选项不符合判定定理，无法判断． 故选：D． 【变式2-2】如图，能判定的条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法及搞清楚同位角、内错角、同旁内角的概念是解题的关键．根据平行线的判定方法对各选项进行判断即可． 【详解】A．若，不能判定，故A选项不符题意； B．若，不能判定，故B选项不符题意； C．若，不能判定，故C选项不符题意； D．若，根据内错角相等，两直线平行能判定，故D选项符合题意． 故选：D． 【典例】如图，直线、被直线所截，，当______时，． 【答案】115 【解析】 【分析】若，则，由可得的度数，从而求得的度数． 【详解】解：如图，若要，则， ∵， ∴， ∴． 故答案：115． 【变式3-1】如图所示，一个弯形管道的拐角，，管道，的关系是 ，依据是 ．    【答案】 同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】根据题意推出，即可根据同旁内角互补，两直线平行得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：，同旁内角互补，两直线平行． 【变式3-2】如图，已知直线a、b被直线c所截，且∠1+∠2=180°，试判断直线a、b的位置关系，并说明理由． 【答案】a∥b. 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得∠1=∠3，再由已知条件∠1+∠2=180°可得∠3+∠2=180°；接下来根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出本题的结论. 【详解】a∥b.理由如下： ∵∠1+∠2=180°，∠1=∠3， ∴∠3+∠2=180°， ∴a∥b. 【典例】如图，已知，，，要使，则需添加__________（只填出一种即可）的条件． 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，涉及内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 若，则， ； ，， ，则， 若，则， ； 综上所述，添加或或，， 故答案为：或或（答案不唯一）． 【变式4-1】如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是　∠2＝∠4（答案不唯一）　． 【答案】∠2＝∠4 （答案不唯一）． 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可． 【详解】解：添加∠2＝∠4，根据“内错角相等，两直线平行”推知AB∥CD． 故答案为：∠2＝∠4 （答案不唯一）． 【变式4-2】如图，请添加一个条件，使AB//CD，那么添加的条件是_______．. 【答案】∠1=∠4（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据内错角相等两直线平行可以得出答案 【详解】解：根据内错角相等，两直线平行可知，∠1=∠4或∠2=∠3时AB//CD； 根据同旁内角互补，两直线平行可知，∠1+∠2=180°或∠3+∠4=180°时AB//CD． 【典例】一辆汽车在公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向平行行驶,那么这两个拐弯的角度可能是( ) A. 先向左转130°，再向左转50° B. 先向左转50°，再向右转50° C. 先向左转50°，再向右转40° D. 先向左转50°，再向左转40° 【答案】B 【解析】 【详解】根据同位角相等，两直线平行，可得B. 【变式5-1】如图，一块不规则木料，只有一边成直线，木工师傅想在这块木料上截出一块有一组对边平行木板，用“丁”字尺在处画了一条直线，然后又用“丁”字尺在处画了一条直线，画完后用锯沿锯开就截出了一块有一组对边平行的木料，请你用所学的几何知识说明这样做的道理． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查用平行线的判定解决实际问题的能力，比较简单．根据平行线的判定，同位角相等，两直线平行作答． 【详解】解：，， ， ， 沿，锯开就截出了一块有一组对边平行的木料． 1.如图，以下条件能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定； 利用平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，根据同位角相等，两直线平行可得，不符合题意； B、当时，不能判定两直线平行，不符合题意； C、当时，根据内错角相等，两直线平行可得，符合题意； D、当时，不能判定两直线平行，不符合题意； 故选：C． 2.如图，在三角形中，点E，D，F分别在上，连接，下列条件中，能推理出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“同位角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，内错角相等两直线平行”进行判断即可． 【详解】解：A、不能得到平行，不符合题意； B、由，得到，不符合题意； C、由，得到，符合题意； D、由，得到，不符合题意； 故选：C． 3. 一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，则这两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题意画出对应的示意图，结合平行线的判定条件进行求解即可． 【详解】解：A．如图所示， 由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来相同，故A符合题意； B．如图所示， 由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故B不符合题意； C．如图所示，    由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故C不符合题意； D．如图所示，    由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故D不符合题意． 故选A． 4.如图所示，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法对选项逐个判断即可． 详解】解：A，由能判定（内错角相等，两直线平行），选项不符合题意； B、由能判定（同位角相等，两直线平行），选项不符合题意； C、由不能判定，选项符合题意； D、由，结合，则能判定（同位角相等，两直线平行），选项不符合题意． 故选：C． 5.在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线，，贝贝、晶晶、欢欢三位同学的做法如图所示： 上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（　　） A. 仅贝贝同学 B. 贝贝和晶晶 C. 晶晶和欢欢 D. 贝贝和欢欢 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， 贝贝：利用内错角相等，两直线平行； 晶晶：利用同位角相等，两直线平行； 欢欢：利用内错角相等，两直线平行； 故选：D． 6.如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 ___°． 【答案】20 【解析】 【分析】根据同位角相等两直线平行，得出当∠EHD＝∠EGN=80°，MN//CD，再得出旋转角∠BGN的度数即可得出答案． 【详解】解：过点G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°， ∴MN//CD， ∵∠EGB＝100°， ∴∠BGN=∠EGB-∠EGN=100°-80°=20°， ∴至少要旋转20°． 7.在一次数学活动课上，老师让同学们借助一副三角板画平行线，如图是小曼的作法，则她作法的依据是___________________________________ ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据，可以由内错角相等，两直线平行可得，据此可得答案． 【详解】解；由三角板中角度的特点可知， ∴由内错角相等，两直线平行可得， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 8.如图，已知∠1=∠2，则图中互相平行的线段是_____． 【答案】AD∥BC 【解析】 【分析】根据内错角相等，两直线平行进行判断． 【详解】解：∵∠1=∠2 ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行） 故答案为：AD∥BC． 9.如图，不添加辅助线，请写出一个能判定ABCD的条件__ 【答案】∠1=∠4##∠B=∠5##∠B+∠BCD=180° 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理即可解答． 【详解】解：由“内错角相等，两直线平行”可以添加条件∠1=∠4． 由“同位角相等，两直线平行”可以添加条件∠B=∠5． 由“同旁内角互补，两直线平行”可以添加条件∠B+∠BCD=180°． 综上所述，满足条件的有：∠1=∠4或∠B=∠5或∠B+∠BCD=180°． 故答案是：∠1=∠4或∠B=∠5或∠B+∠BCD=180°． 10.如图，点E在BC的延长线上，要使AB∥CD，需要添加的一个条件是________． 【答案】 ∠1=∠2或∠B=∠DCE或∠B+∠BCD=180°(答案不唯一，写一个即可). 【解析】 【分析】内错角相等(∠1=∠2)，两直线AB∥CD；或同位角相等(∠B=∠DCE)，两直线AB∥CD；或同旁内角互补(∠B+∠BCD=180°)，两直线AB∥CD. 【详解】解：若内错角相等(∠1=∠2)，则两直线AB∥CD， 若同位角相等(∠B=∠DCE)，则两直线AB∥CD， 若同旁内角互补(∠B+∠BCD=180°)，则两直线AB∥CD. 故答案为：∠1=∠2或∠B=∠DCE或∠B+∠BCD=180° (答案不唯一，写一个即可). 11.如图，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判定∥的条件有_____________（填写所有正确的序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法对各小题判断即可解答． 【详解】① ∵， ∴∥（同旁内角互补，两直线平行），正确； ② ∵， ∴∥，错误； ③ ∵， ∴∥（内错角相等，两直线平行），正确； ④ ∵， ∴∥（同位角相等，两直线平行），正确； ⑤ 不能证明∥，错误， 故答案：①③④． 12.如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行． 【答案】2或14或50或110 【解析】 【分析】设t秒后木棒a，b平行，分四种情况讨论：当秒时，当时，当时，当时，即可求解． 【详解】解：设t秒后木棒a，b平行，根据题意得： 当秒时，， 解得：t=2； 当时，， 解得：t=14； 当时，木棒a停止运动， 当时，， 解得：t=-10；（不合题意，舍去） 当时，或， 解得：t=50或t=110； 综上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行． 故答案为：2或14或50或110 13.已知：，， 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，先根据同角的补角相等可得，从而由同位角相等两直线平行可得结论． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ 14.如图，，平分，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，由平分，得到，根据，即可得到，依据内错角相等，两直线平行即可证明结论． 【详解】证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 15.如图，已知平分，过点A作交于点C，点D为角平分线上的一点，连接．若，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用等角的余角相等得出，从而判断出； 【详解】 证明：∵， ∴即， ∵， ∴， ∴． 16.如图，已知．求证： 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据题意，由同旁内角互补两直线平行判定即可得到答案； 【详解】 证明：∵， ∴， ∴； 17.如图，已知直线被直线所截，平分，平分，，吗？为什么？ 因为平分，平分（已知）， 所以___________，___________， 所以___________（　　）， 因为（　　）， 所以___________， 所以（　　）． 【答案】平行，见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得． 【详解】解：因为平分，平分（已知）， 所以，， 所以（等量代换）， 因为（已知）， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 18.根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． （1）∵∠1＝∠3（已知）， ∴　 　∥　AB　（ 　 　）． （2）∵∠2＝∠3（已知）， ∴EF∥AD（ 　 　）． （3）∵∠DGA+∠BAC＝180°（已知）， ∴DG∥BA（ 　 　）． （4）∵∠B＝∠CDG（已知）， ∴　 　∥　 　（ 　 　）． 【答案】（1）AB，DG，内错角相等，两直线平行； （2）同位角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行； （4）AB，DG，同位角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法逐一进行作答即可． 【详解】解：（1）∵∠1＝∠3（已知）， ∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）； （2）∵∠2＝∠3（已知）， ∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）； （3）∵∠DGA+∠BAC＝180°（已知）， ∴DG∥BA（同旁内角互补，两直线平行）； （4）∵∠B＝∠CDG（已知）， ∴AB∥DG（同位角相等，两直线平行）； 故答案为：（1）AB，DG，内错角相等，两直线平行； （2）同位角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行； （4）AB，DG，同位角相等，两直线平行． 19. 如图，点B在AC上，BD⊥BE，∠1＋∠C＝90°，问射线CF与BD平行吗？试用两种方法说明理由． 【答案】平行，理由见解析. 【解析】 【分析】首先根据垂直定义可得∠DBE=90°，进而可得∠1+∠2=90°，再利用等量代换可得∠2=∠C，进而可证出DB∥CF． 【详解】CF∥BD. 方法一：∵BD⊥BE， ∴∠DBE＝90°， ∴∠1＋∠2＝90°， ∵∠1＋∠C＝90°， ∴∠2＝∠C， ∴CF∥BD(同位角相等，两直线平行)． 方法二：∵BD⊥BE， ∴∠DBE＝90°， ∵∠1＋∠C＝90°， ∴∠C＋∠DBC＝∠1＋∠DBE＋∠C＝90°＋90°＝180°， ∴CF∥BD(同旁内角互补，两直线平行)． 20.如图，已知点O在直线AB上，射线OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD，G是射线OB上一点，连接DG，满足∠ODG+∠DOG＝90°． （1）求证：∠AOE＝∠ODG； （2）若∠ODG＝∠C，求证：CD∥OE． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由垂线的定义得出∠DOE＝90°，结合平角的定义得出∠AOE+∠DOG＝90°，结合∠ODG+∠DOG＝90°即可得证； （2）由角平分线的定义得出∠DOG＝∠COD，由垂线的定义得出∠DOE＝90°即∠COE+∠COD＝90°，结合∠ODG+∠DOG＝90°得出∠ODG＝∠COE，从而得出∠C＝∠COE，即可得证． 【详解】证明：（1）∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∵∠DOE+∠AOE+∠DOG＝180°， ∴∠AOE+∠DOG＝90°， ∵DG⊥AB， ∴∠ODG+∠DOG＝90°， ∴∠AOE＝∠ODG； （2）∵OD平分∠BOC， ∴∠DOG＝∠COD＝∠BOC， ∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∴∠COE+∠COD＝90°， 由（1）知，∠ODG+∠DOG＝90°， ∴∠ODG＝∠COE， ∵∠ODG＝∠C， ∴∠C＝∠COE， ∴CD∥OE． 21.如图，直线，相交于点，平分，平分，，垂足为，那么，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到，，根据垂直的定义得到，根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1.（2022•湖南郴州•中考真题）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果． 【详解】解：A、当时，；故A不符合题意； B、当时，；故B不符合题意； C、当时，；故C符合题意； D、∵，则， ∵，则， ∴；故D不符合题意； 故选：C 2.（2022•吉林•中考真题）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据“同位角相等，两直线平行”即可得． 【详解】解：因为与是一对相等的同位角，得出结论是， 所以其依据可以简单说成同位角相等，两直线平行， 故选：D． 3.（2021•广西桂林•中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，当∠1 ___∠2时，a//b．（用“＞”，“＜”或“＝”填空） 【答案】=． 【解析】 【分析】由图形可知∠1 与∠2是同位角，利用直线平行判定定理可以确定∠1 =∠2，可判断a//b． 【详解】解：∵直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是同位角， ∴当∠1 =∠2，a//b． 故答案为=． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 判定方法 文字语言 符号语言 基本图形 判定方法1 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等,两直线平行 ∵∠1＝∠2 ∴∥ 判定方法2 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等,两直线平行 ∵∠2＝∠3 ∴∥ 判定方法3 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成： 同旁内角互补,两直线平行 ∵∠2+∠4=180° ∴∥ 判定方法4 垂直于同一直线的两直线平行 ∵， ∴∥ 注意： （1）前面我们讲的平行线的画法，用的就是判定方法1. （2）上面的前三种判定方法都是建立在“三线八角”这个基本图形之上的,都是根据角的相等或互补推得两条直线平行，是利用数量关系判定两直线平行. （3）除上面的四种方法外，还有以下两种利用位置关系判定两直线平行的方法:1.平行线的定义;2平行线基本事实的推论(平行线的传递性) 符号语言：∵， ∴ 【基础练习】 【练习1-1】如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行 【练习1-2】如图，木条a、b、c用螺丝固定在木板上且，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线、、，若使直线、直线达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（ ） A. 木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转 B. 木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转 C. 木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转 D. 木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转 【练习1-3】如图，下列条件能判断的是（ ） A. B. C. D. 【练习1-4】下列图形中，由能得到的是（ ） A. B. C. D. 【练习1-5】如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【练习1-6】如图，一个合格的变形管道ABCD需要AB边与CD边平行，若一个拐角∠ABC=72°，则另一个拐角∠BCD=_______时，这个管道符合要求. 错误警示：因不能正确识别截线和被截线，而导致误判两直线平行 要识别一对角是由哪两条直线被第三条直线所截而成的角，要从组成角的两边入手:两个角共线的边所在的直线就是截线，即第三条直线，另外两边所在的直线就是两条被截线.确定了被截线，根据平行线的判定就可判断是哪两条直线平行。 【典例】如图，直线被直线所截，下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 【变式1-1】斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出，这种验证方法的数学依据是 ．    【变式1-2】如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当∠2＝　　时，a∥b． 【典例】如图，要使直线l1与l2平行，则需直线l1绕点O至少旋转的度数是（　　） A. 38° B. 42° C. 80° D. 138° 【变式2-1】如图，能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 【变式2-2】如图，能判定的条件是（    ） A. B. C. D. 【典例】如图，直线、被直线所截，，当______时，． 【变式3-1】如图所示，一个弯形管道的拐角，，管道，的关系是 ，依据是 ．    【变式3-2】如图，已知直线a、b被直线c所截，且∠1+∠2=180°，试判断直线a、b的位置关系，并说明理由． 【典例】如图，已知，，，要使，则需添加__________（只填出一种即可）的条件． 【变式4-1】如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是　∠2＝∠4（答案不唯一）　． 【变式4-2】如图，请添加一个条件，使AB//CD，那么添加的条件是_______．. 【典例】一辆汽车在公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向平行行驶,那么这两个拐弯的角度可能是( ) A. 先向左转130°，再向左转50° B. 先向左转50°，再向右转50° C. 先向左转50°，再向右转40° D. 先向左转50°，再向左转40° 【变式5-1】如图，一块不规则木料，只有一边成直线，木工师傅想在这块木料上截出一块有一组对边平行木板，用“丁”字尺在处画了一条直线，然后又用“丁”字尺在处画了一条直线，画完后用锯沿锯开就截出了一块有一组对边平行的木料，请你用所学的几何知识说明这样做的道理． 1.如图，以下条件能判定的是（　　） A. B. C. D. 2.如图，在三角形中，点E，D，F分别在上，连接，下列条件中，能推理出的是（ ） A. B. C. D. 3.一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，则这两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 4.如图所示，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5.在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线，，贝贝、晶晶、欢欢三位同学的做法如图所示： 上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（　　） A. 仅贝贝同学 B. 贝贝和晶晶 C. 晶晶和欢欢 D. 贝贝和欢欢 6.如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 ___°． 7.在一次数学活动课上，老师让同学们借助一副三角板画平行线，如图是小曼的作法，则她作法的依据是___________________________________ ． 8.如图，已知∠1=∠2，则图中互相平行的线段是_____． 9.如图，不添加辅助线，请写出一个能判定ABCD的条件__ 10.如图，点E在BC的延长线上，要使AB∥CD，需要添加的一个条件是________． 11.如图，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判定∥的条件有_____________（填写所有正确的序号）． 12.如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行． 13.已知：，， 求证：． 14.如图，，平分，求证：． 15.如图，已知平分，过点A作交于点C，点D为角平分线上的一点，连接．若，求证：． 16.如图，已知．求证： 17.如图，已知直线被直线所截，平分，平分，，吗？为什么？ 因为平分，平分（已知）， 所以___________，___________， 所以___________（　　）， 因为（　　）， 所以___________， 所以（　　）． 18.根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． （1）∵∠1＝∠3（已知）， ∴　 　∥　 　（ 　 　）． （2）∵∠2＝∠3（已知）， ∴EF∥AD（ 　 　）． （3）∵∠DGA+∠BAC＝180°（已知）， ∴DG∥BA（ 　 　）． （4）∵∠B＝∠CDG（已知）， ∴　 　∥　 　（ 　 　）． 19.如图，点B在AC上，BD⊥BE，∠1＋∠C＝90°，问射线CF与BD平行吗？试用两种方法说明理由． 20.如图，已知点O在直线AB上，射线OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD，G是射线OB上一点，连接DG，满足∠ODG+∠DOG＝90°． （1）求证：∠AOE＝∠ODG； （2）若∠ODG＝∠C，求证：CD∥OE． 21.如图，直线，相交于点，平分，平分，，垂足为，那么，请说明理由． 1.（2022•湖南郴州•中考真题）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 2.（2022•吉林•中考真题）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 3.（2021•广西桂林•中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，当∠1 ___∠2时，a//b．（用“＞”，“＜”或“＝”填空） 学科网（北京）股份有限公司 $$