(新课预习衔接)第五单元 数学广角鸽巢问题重难点易错考点 (讲义)-2024-2025学年六年级下册数学人教版

数学广角—鸽巢问题 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 典型例题 例题1：（2022春•元氏县期中）一个鱼缸里有4种花色的金鱼，每种花色各有10条，从中任意捞鱼． （1）至少捞出多少条鱼，才能保证有3条花色相同的金鱼？ （2）至少捞出多少条鱼，才能保证有3种花色不同的金鱼？ 【考点】抽屉原理． 【专题】压轴题；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把4种花色看做4个抽屉，考虑最差情况：每个抽屉都有2条，捞出2×4＝8条，那么再任意捞出1条无论放到哪个抽屉都会出现一个抽屉里有3条相同花色的金鱼，据此解答． （2）利用抽屉原理最差情况：把其中的两种花色全部捞出，即10+10＝20条，那么再任意捞出1条，才能保证有3种花色不同的金鱼；即可解答． 【解答】解：（1）2×4+1＝9（条） 答：至少捞出9条鱼，才能保证有3条花色相同的金鱼． （2）10+10+1＝21（条） 答：至少捞出21条鱼，才能保证有3种花色不同的金鱼． 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑． 例题2：（2022•济南）“六一”儿童节，李老师拿133个小礼物发给班里的所有学生，如果至少有一名学生拿到了4个小礼物，那么，李老师班里最多有多少名学生？ 【考点】抽屉原理． 【答案】44。 【分析】原题可理解为；133个物体放在多少个抽屉里，至少有一个抽屉里放4个。那么其余抽屉里平均放3个物体时，抽屉才能最多。 【解答】解：（133﹣1）÷（4﹣1） ＝132÷3 ＝44（名） 答：李老师班里最多有44名学生。 【点评】找到代表物体和抽屉对应的量是解决本题的关键。 例题3：一个鱼缸中有4种花色的金鱼，每种花色各10条，从中任意捉金鱼，至少要捉多少条金鱼才能保证有2条金鱼的颜色是相同的？ 【考点】抽屉原理． 【专题】压轴题；模型思想；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】把4种花色看作4个抽屉，考虑最差情况：捉出4条，每个抽屉都有1条，那么再任意捉1条无论放到哪个抽屉都会出现一个抽屉里有2条相同花色的金鱼，据此解答． 【解答】解：建立抽屉：4种花色看作4个抽屉， 4+1＝5（条） 答：至少要捉5条金鱼才能保证有2条金鱼的颜色是相同的． 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑． 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【知识点归纳】 鸽巢原理又称为抽屉原则： 如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体． 例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： ①4＝4+0+0 ②4＝3+1+0 ③4＝2+2+0 ④4＝2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体． 抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： ①k＝[]+1个物体：当n不能被m整除时． ②k个物体：当n能被m整除时． 理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数． 例：[4.351]＝4；[0.321]＝0；[2.9999]＝2； 关键问题：构造物体和抽屉．也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算． 第四部分 高频真题 一．选择题（共5小题） 1．（2024•双流区）一个盒子里有5个红球，3个白球和4个蓝球，至少需要摸（　　）个球才能保证有2个不同颜色的球。 A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2024•余干县）德文小学六年级有386名学生。六年级学生中至少有（　　）人在同一天过生日。 A．2 B．3 C．4 3．（2024•诸城市）将5本数学绘本分给3名学生，下面说法错误的是（　　） A．可能有1名学生有3本数学绘本。 B．可能会有2名学生各有1本数学绘本。 C．总有1名学生至少有3本数学绘本。 D．存在1名学生至少有2本数学绘本。 4．（2024•黔西南州）把红、黄、蓝、白4种颜色的球各20个放到1个袋子里。至少取____个球，可以保证取到两个颜色相同的球。（　　） A．21 B．5 C．24 D．4 5．（2024•滨海新区）将13本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里，至少放进（　　） A．3本书 B．4本书 C．5本书 D．11本书 二．填空题（共5小题） 6．（2024•江北区）一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红桃、梅花和方块4种花色的牌各13张，从中抽出一些牌，要保证取出的牌中至少包含两种花色，并且这两种花色的牌至少都各有6张，那么最少要抽出 　 　张牌。 7．（2024•西藏）盒子里有10个红球，8个白球和5个黄球。从中至少摸出 　 　个球，才能保证每种颜色的球至少有一个。 8．（2024•北碚区）1，2，……，20中，最多可以取出 　 　个数，使得取出来的数中任意两个数的和都不是平方数。 9．（2024•北碚区）49名老人在广场上跳舞，他们中至少有　 　个人是同一个月出生的． 10．（2024•沧州）有大小相同的红、黄、白三种颜色的小球若干个，如果每次任取两个，至少取 　 　次，才能保证有两次取出的小球颜色完全相同。 三．判断题（共7小题） 11．（2024•余干县）把9本书放进5个抽屉，不管怎样放，总有1个抽屉里至少放进2本书。 　 　 12．（2024•合阳县）将11个橙子放进3个盘子里，总有1个盘子里至少放进了4个橙子。 　 　 13．（2024•崆峒区）任意3个不同的自然数，其中一定有两个数的差是偶数。 　 　 14．（2024•曲阜市）22名同学中至少有6人是在同一个季节出生的。 　 　 15．（2024•冷水滩区）某班有49名同学，该班至少有5人在同一个月出生。 　 　 16．（2024春•嘉定区期末）有5本不同的故事书分给4个小朋友，至少有一位小朋友分到2本书．　 　． 17．（2024•兰山区）5只小鸡装入4个笼子，至少有一个笼子装入2只小鸡． 　 　 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．（2024•双流区）一个盒子里有5个红球，3个白球和4个蓝球，至少需要摸（　　）个球才能保证有2个不同颜色的球。 A．4 B．5 C．6 D．8 【考点】抽屉原理． 【专题】推理能力． 【答案】C 【分析】从最不利情况考虑，红色的5个球取尽，然后再取其它颜色，所以再取1个，就能保证有两种颜色不相同的球，因此至少要摸出：5+1＝6（个），据此解答。 【解答】解：5+1＝6（个） 答：至少需要摸6个球才能保证有2个不同颜色的球。 故选：C。 【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，本题的难点是理解要求“至少数”必须先取尽同色的一种5个。 2．（2024•余干县）德文小学六年级有386名学生。六年级学生中至少有（　　）人在同一天过生日。 A．2 B．3 C．4 【考点】抽屉原理． 【专题】应用意识． 【答案】A 【分析】一年最多有366天，用总人数除以366，商再加1，即可求出六年级学生中至少有多少人在同一天过生日。 【解答】解：386÷366＝1（人）……20（人） 1+1＝2（人） 答：六年级学生中至少有2人在同一天过生日。 故选：A。 【点评】本题考查抽屉原理的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 3．（2024•诸城市）将5本数学绘本分给3名学生，下面说法错误的是（　　） A．可能有1名学生有3本数学绘本。 B．可能会有2名学生各有1本数学绘本。 C．总有1名学生至少有3本数学绘本。 D．存在1名学生至少有2本数学绘本。 【考点】抽屉原理． 【专题】推理能力． 【答案】C 【分析】将5本数学绘本分给3名学生，1名学生分1本，分掉了3本，还剩2本，可以分给1名学生，也可以分给2名学生，总有1名学生至少有2本数学绘本，据此解答即可。 【解答】解：将5本数学绘本分给3名学生，1名学生分1本，分掉了3本，还剩2本，可以分给1名学生，也可以分给2名学生，所以可能有1名学生有3本数学绘本，可能会有2名学生各有1本数学绘本，存在1名学生至少有2本数学绘本，总有1名学生至少有3本数学绘本是错误的。 故选：C。 【点评】本题主要考查了抽屉原理，关键是仔细分析。 4．（2024•黔西南州）把红、黄、蓝、白4种颜色的球各20个放到1个袋子里。至少取____个球，可以保证取到两个颜色相同的球。（　　） A．21 B．5 C．24 D．4 【考点】抽屉原理． 【专题】推理能力． 【答案】B 【分析】把4种不同颜色看作4个抽屉，把不同颜色的球看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉需要先放1个球，共需要4个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的球和它同色，所以至少要取出：4+1＝5（个），据此解答。 【解答】解：根据分析可得， 4+1＝5（个） 答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 故选：B。 【点评】本题考查了抽屉原理问题，它的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝抽屉的个数+1”解答。 5．（2024•滨海新区）将13本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里，至少放进（　　） A．3本书 B．4本书 C．5本书 D．11本书 【考点】抽屉原理． 【专题】推理能力． 【答案】C 【分析】把13本书放进3个抽屉中，13÷3＝4（本）……1（本），即平均每个抽屉放入4本后，还余一本书没有放入，即至少有一个抽屉里要放进（4+1）本书。 【解答】解：13÷3＝4（本）……1（本） 4+1＝5（本） 所以将13本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里，至少放进5本书。 故选：C。 【点评】此题主要考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用。 二．填空题（共5小题） 6．（2024•江北区）一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红桃、梅花和方块4种花色的牌各13张，从中抽出一些牌，要保证取出的牌中至少包含两种花色，并且这两种花色的牌至少都各有6张，那么最少要抽出 　31　张牌。 【考点】抽屉原理． 【专题】推理能力． 【答案】31。 【分析】考虑最差情况，王牌和其中一种花色的牌全部抽完，然后剩下三种颜色的牌各抽了5张，此时再任意抽一张，就满足至少包含两种花色，且这两种花色的牌至少都各有6张，据此解答。 【解答】解：2+13+3×5+1 ＝15+15+1 ＝31（张） 答：最少要取出31张。 故答案为：31。 【点评】本题主要考查了抽屉原理，正确的构造抽屉是本题解题的关键。 7．（2024•西藏）盒子里有10个红球，8个白球和5个黄球。从中至少摸出 　19　个球，才能保证每种颜色的球至少有一个。 【考点】抽屉原理． 【专题】计算题；运算能力． 【答案】19。 【分析】考虑最不利原则，把红球和白球都摸完，然后再摸一个，则一定能保证每种颜色的球至少一个。 【解答】解：10+8+1＝19（个） 答：从中至少摸出19个球，才能保证每种颜色的球至少有一个。 故答案为：19。 【点评】本题考查了抽屉原理的应用。 8．（2024•北碚区）1，2，……，20中，最多可以取出 　10　个数，使得取出来的数中任意两个数的和都不是平方数。 【考点】抽屉原理． 【专题】计算题；运算能力． 【答案】10。 【分析】1～20中，两数之和最大的完全平方数是36，即列举出36以内的完全平方数，然后找出两数之和等于这些完全平方数的可能，即可解答本题。 【解答】解：19+20＝39，即39以内最大的完全平方数是36。 即36以内的完全平方数有1、4、9、16、25、36。 两数之和为4：有1+3，所以1和3不能同时取。 两数之和为9：有1+8，2+7，3+6，4+5，那么这些组合中的数不能同时取； 两数之和为16：有1+15，2+14，3+13，4+12，5+11，6+10，7+9，这些组合中的数不能同时取； 两数之和为25：有5+20，6+19，7+18，8+17，9+16，10+15，11+14，12+13，这些组合中的数不能同时取； 两数之和为36：有16+20，17+19，这些组合中的数不能同时取。 即可以取1、2、4、6、9、11、13、17、18、20，或2、3、8、9、10、11、12、18、19、20。 不管哪种取法，最多可以取10个数。 答：1，2，……，20中，最多可以取出10个数，使得取出来的数中任意两个数的和都不是平方数。 故答案为：10。 【点评】本题考查了完全平方数问题的应用。 9．（2024•北碚区）49名老人在广场上跳舞，他们中至少有　5　个人是同一个月出生的． 【考点】抽屉原理． 【专题】传统应用题专题． 【答案】见试题解答内容 【分析】一年有12个月，把这12个月看做12个抽屉，把49名老人看做49个元素，由此利用抽屉原理即可解答． 【解答】解：49÷12＝4…1， 4+1＝5（人）， 答：至少有5人是同一个月出生的． 故答案为：5． 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，这里要注意考虑最差情况． 10．（2024•沧州）有大小相同的红、黄、白三种颜色的小球若干个，如果每次任取两个，至少取 　7　次，才能保证有两次取出的小球颜色完全相同。 【考点】抽屉原理． 【专题】推理能力；模型思想． 【答案】7。 【分析】任意摸两个，可能出现的情况有（红，红），（黄，黄），（白，白），（红，黄），（红，白），（白，黄）共6种情况；把这6种情况看作6个“抽屉”，根据抽屉原理，当最次的情况是6种都摸到了，之后再摸一次，一定是6种情况中的一个，得出所以至少摸6+1＝7次。据此解答。 【解答】解：由分析可知： 可能出现的情况有（红，红），（黄，黄），（白，白），（红，黄），（红，白），（白，黄）共6种情况 6+1＝7（次） 答：至少取7次，才能保证有两次取出的小球颜色完全相同。 故答案为：7。 【点评】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。 三．判断题（共7小题） 11．（2024•余干县）把9本书放进5个抽屉，不管怎样放，总有1个抽屉里至少放进2本书。 　√　 【考点】抽屉原理． 【专题】运算能力． 【答案】√ 【分析】把9本书放进5个抽屉，9÷5＝1（本）……4（本），即平均每个抽屉放1本后，还余4本，所以至少有一个抽屉至少要放：1+1＝2（本）；据此即可解答。 【解答】解：9÷5＝1（本）……4（本） 1+1＝2（本） 所以把9本书放进5个抽屉里，总有一个抽屉至少要放2本，原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 12．（2024•合阳县）将11个橙子放进3个盘子里，总有1个盘子里至少放进了4个橙子。 　√　 【考点】抽屉原理． 【专题】运算能力． 【答案】√ 【分析】把3个盘子看作3个抽屉，把11个橙子看作11个元素，那么每个抽屉需要放11÷3＝3（个）……2（个），所以每个抽屉需要放3个，剩下的2个不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：3+1＝4（个），据此解答。 【解答】解：11÷3＝3（个）……2（个） 3+1＝4（个） 答：总有1个盘子里至少放进了4个橙子，原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答。 13．（2024•崆峒区）任意3个不同的自然数，其中一定有两个数的差是偶数。 　√　 【考点】抽屉原理． 【专题】应用意识． 【答案】√ 【分析】任意三个不同的自然数，其中必有2个数不是偶数，就是奇数；进而根据两种数的差进行分析，得出结论。 【解答】解：任意三个不同的自然数，其中必有2个数不是偶数，就是奇数；偶数﹣偶数＝偶数；奇数﹣奇数＝偶数； 所以，任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的差是偶数。 故原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】此题解答时应结合题意，根据“偶数+偶数＝偶数，奇数+奇数＝偶数”进行分析，得出结论。 14．（2024•曲阜市）22名同学中至少有6人是在同一个季节出生的。 　√　 【考点】抽屉原理． 【专题】应用意识． 【答案】√ 【分析】一年有4个季节，用22除以4，根据商的情况确定22名同学中至少有几人是在同一个季节出生的即可。 【解答】解：22÷4＝5（个）……2（个） 5+1＝6（个） 答：22名同学中至少有6人是在同一个季节出生的。 原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】解答本题需熟练掌握抽屉原理问题的解答方法，灵活解答。 15．（2024•冷水滩区）某班有49名同学，该班至少有5人在同一个月出生。 　√　 【考点】抽屉原理． 【专题】应用题；应用意识． 【答案】√ 【分析】一年有12个月，将12个月看作12个抽屉，49名同学看作49个元素，利用抽屉原理最差情况：要使每个月的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均分，再根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数+1（有余数的情况下）”，代入数据即可求解。 【解答】解：49÷12＝4（名）......1（名） 4+1＝5（名） 所以原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】掌握抽屉原理是解题的关键。 16．（2024春•嘉定区期末）有5本不同的故事书分给4个小朋友，至少有一位小朋友分到2本书．　√　． 【考点】抽屉原理． 【专题】传统应用题专题． 【答案】见试题解答内容 【分析】把4个小朋友看作4个抽屉，把5本不同的故事书看作5个元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个，共需要4本，余这一本故事书无论放在那个抽屉里，总有一个抽屉里的有1+1＝2（个），据此解答． 【解答】解：5÷4＝1（本）…1（本）， 1+1＝2（本）； 答：至少有一位小朋友分到2本书． 故答案为：√． 【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答． 17．（2024•兰山区）5只小鸡装入4个笼子，至少有一个笼子装入2只小鸡． 　√　 【考点】抽屉原理． 【专题】压轴题；模型思想；应用意识． 【答案】√ 【分析】把4个笼子看作4个抽屉，把5只小鸡看作5个元素，那么每个抽屉需要放5÷4＝1（个）…1（个），所以每个抽屉需要放1个，剩下的1个不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：1+1＝2（个），所以，至少有2只小鸡装入同一个笼子． 【解答】解：5÷4＝1（个）…1（只） 1+1＝2（只） 即至少有一个笼子装入2只小鸡；所以原题说法正确． 故答案为：√． 【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答． 学科网（北京）股份有限公司 $$