精品解析：天津市第五十五中学2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年第一学期期末考试 数学学科 一. 选择题 1. 的值是（ ） A. 5 B. C. D. 1 2. “厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合为粮食大约是2.1亿人一年的口粮，将2.1亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的四棱台，它的俯视图是下面所示的图形的(　　) A. B. C. D. 4. 下列图形中能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 是单项式 B. 的系数是 C. 是二次二项式 D. 与是同类项 6. 下列变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，结论正确是（ ） ①射线的方向是北偏西； ②射线的方向是东南方向；③射线的方向是北偏东；④和互为补角． A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，已知线段a，b．按如下步骤完成尺规作图，则的长是（ ） ①作射线； ②在射线上截取； ③在线段上截取． A. B. C. D. 10. 已知： ，则代数式 的值为（ ） A. 6 B. C. 18 D. 11. 如果和互补，且，那么下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的有（　　） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 现定义对于一个数a， 我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如，．下列说法， 其中正确结论有（ ）个 ①若，则； ②当时，，则值为4 ③方程的解为或 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二. 填空题 13. 如图，从学校A到书店B有两条路线，①号路线是，②号路线是.小明认为学校到书店最近的路线是①号路线，得出这个结论的数学原理是_______． 14 比较大小：_________；若，， 则____________；若 ，，则 _____________（填“”、“”或“”号）． 15. 若关于x的多项式的次数与单项式 的次数相同， 则______________； _________________． 16. 已知线段，点C是线段的中点， 点D 是线段的中点， 点E在线段上， 且 ，则的长是_______________． 17. 综合与实践 【主题】展开与折叠 【素材】无盖的长方体盒子、剪刀 【实践操作】沿着图1中边沿线剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记好四个面； （1）写出盒子底面相邻两边的长分别为______________、________________；（用含a的式子表示） （2）请在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖______________（画出一种情况即可）． 18. 规定：logab（a>0，a≠1，b>0）表示a，b之间的一种运算． 现有如下的运算法则：=a，logNM=（n>0，n≠1，N>0，N≠1，M>0）． 例如：log223=3，log25=，则=_________． 三. 解答题 19. 计算 （1） （2） 20. 解方程 （1） （2） 21. 已知： （1）计算： ； （2）若的值与y的取值无关，求x的值． 22. 李先生购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地板砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： （1）用含x的式子表示客厅的面积； （2）用含x的式子表示地面总面积： （3）若铺地板砖的平均费用为100元，求当时，铺地板砖的总费用为多少元？ 23. 如图，直线相交于点O，平分，． （1）图中的余角是 （把符合条件的角都填上）； （2）如果， 求和的度数． 解： ∵平分， （ ）， =（ ）． 又∵， ∴， ∴ = °． 24. 平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50％；乙种商品每件进价50元，售价80元. （1）甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品利润率为_____； （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 25. （1）如图1， 点B， D在线段上． ①填空：． ②若D是线段中点， 则 ． （2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． ①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示） ②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成线段的中点时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末考试 数学学科 一. 选择题 1. 的值是（ ） A. 5 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的减法，先算绝对值，再根据加法法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 2. “厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合为粮食大约是2.1亿人一年的口粮，将2.1亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于2.1亿=210000000有9位，所以可以确定n=9-1=8． 【详解】解：2.1亿=210000000=2.1×108． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键． 3. 如图所示的四棱台，它的俯视图是下面所示的图形的(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于俯视图是从物体的上面看得到的视图，所以先得出四个选项中各几何体的俯视图，再与题目图形进行比较即可． 【详解】四棱台的俯视图是两个大小相套的正方形，全部为实线． 故选B． 【点睛】考查由三视图判断几何体，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认知能力,解题关键抓住俯视图是从物体的上面看得到的视图． 4. 下列图形中能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用角的定义及表示方法，进行判断即可得出结果． 【详解】解：A、图中角只能表示为：∠1，∠AOB，故错误； B、图中角可表示为：∠1，∠AOB，∠O，故正确； C、图中角可表示为：∠1，∠AOB，故错误； D、图中角可表示：∠1，∠AOB，故错误． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查的是角的表示方法，确定顶点即角的两边是解题的关键． 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 是单项式 B. 的系数是 C. 是二次二项式 D. 与是同类项 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式、多项式、同类项的定义．根据单项式和多项式、同类项的定义进行判断． 【详解】解：A．是多项式，原说法错误，不符合题意； B．的系数是，原说法错误，不符合题意； C．是二次三项式，原说法错误，不符合题意； D．与是同类项，原说法正确，符合题意． 故选：D． 6. 下列变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等式的基本性质，需注意变形时隐含的条件，尤其是分母不能为零的情况．根据等式的性质判断即可． 【详解】A. 若，两边同时加3，等式仍成立，故本选项不符合题意； B. 若，两边同时除以（非零数），得，故本选项不符合题意； C. 若，隐含，两边乘得，故本选项不符合题意； D. 若，当时，与无意义，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设绳索为尺，杆子为()尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于一元一次方程． 【详解】设绳索为尺，杆子为()尺， 根据题意得：()． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 8. 如图，结论正确的是（ ） ①射线的方向是北偏西； ②射线的方向是东南方向；③射线的方向是北偏东；④和互为补角． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了方位角的表示方法，以正南（或正北）为基准线，其夹角的度数即为某条射线的方位角． 根据方位角的确定方法依次判断． 【详解】解：①射线的方向是北偏西40°，故错误； ②射线的方向是东南方向，故正确； ③射线的方向是北偏东，故正确； ④，故错误； 正确的有2个， 故选：B． 9. 如图，已知线段a，b．按如下步骤完成尺规作图，则的长是（ ） ①作射线； ②在射线上截取； ③在线段上截取． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出图形，根据线段的和差进行求解即可 【详解】解：如图， 根据作图可知， 故选D 【点睛】本题考查了尺规作图作线段，线段和差的计算，数形结合是解题的关键． 10. 已知： ，则代数式 的值为（ ） A. 6 B. C. 18 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选B． 11. 如果和互补，且，那么下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对余角和补角的理解和运用，注意：与互补，得出，；的余角是．根据余角和补角的定义即可得到结论． 【详解】解：， 表示的余角，故①正确； 与互补， ， ，， ， ， 表示的余角，故②正确； ， ，故③错误； ，故④正确； 故选：C． 12. 现定义对于一个数a， 我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如，．下列说法， 其中正确结论有（ ）个 ①若，则； ②当时，，则值为4 ③方程的解为或 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，理解新定义是解答本题的关键．直接根据新定义可判断①；由新定义得出，然后代入所给代数式计算可判断②；分类讨论可判断③． 【详解】解：①当时，，故不正确； ②当时，， ∴， ∴， ∴，故正确； ③当，即时，， 解得（舍去）； 当，即时，， ∴方程的解为，故错误； 故选B． 二. 填空题 13. 如图，从学校A到书店B有两条路线，①号路线是，②号路线是.小明认为学校到书店最近的路线是①号路线，得出这个结论的数学原理是_______． 【答案】两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题考查了线段的性质，属于基础题，注意两点之间，线段最短这一知识点的灵活运用． 【详解】解：小明认为学校到书店最近的路线是①号路线，得出这个结论的数学原理是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 14. 比较大小：_________；若，， 则____________；若 ，，则 _____________（填“”、“”或“”号）． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，角的度数大小比较，整式的加减运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据“两个负数，绝对值大的反而小”可比较与的大小；统一单位后可比较与的大小；利用作差法可比较与的大小． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴ ， ∴； 故答案为：，，． 15. 若关于x的多项式的次数与单项式 的次数相同， 则______________； _________________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查了多项式，根据多项式的次数、单项式的次数得出方程组是解题关键．根据多项式的次数，单项式的次数求解即可． 【详解】解：∵多项式的次数与单项式 的次数相同， ∴，， ∴． 故答案为：3，． 16. 已知线段，点C是线段的中点， 点D 是线段的中点， 点E在线段上， 且 ，则的长是_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查线段和差，利用中点求线段长．根据题意求出的长，再分情况讨论点E的位置列式求解即可得到本题答案． 【详解】解：如图所示： ∵线段，点C为中点， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴当点E在点C左边时，； 当点E在点C右边时，． 故的长是或． 故答案为：或． 17. 综合与实践 【主题】展开与折叠 【素材】无盖的长方体盒子、剪刀 【实践操作】沿着图1中边沿线剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记好四个面； （1）写出盒子底面相邻两边长分别为______________、________________；（用含a的式子表示） （2）请在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖______________（画出一种情况即可）． 【答案】 ①. ②. ③. 见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了长方体相的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征得出底面的边长与长、宽、高的关系即可； （2）根据正方体表面展开图的特征进行解答即可． 【详解】解：（1）这个盒子底面相邻两边的长分别为， 故答案为：； （2）在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖，如图所示． 18. 规定：logab（a>0，a≠1，b>0）表示a，b之间的一种运算． 现有如下的运算法则：=a，logNM=（n>0，n≠1，N>0，N≠1，M>0）． 例如：log223=3，log25=，则=_________． 【答案】 【解析】 【详解】===， 故答案为：． 三. 解答题 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2）26 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算括号，再算乘法，或算加法即可； （2）先算乘方、绝对值，再算乘法，后算加减． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． （1）先去括号、再移项、合并同类项、化系数为即可； （2）先去分母、再去括号、移项、合并同类项、化系数为即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 21 已知： （1）计算： ； （2）若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先把化简，再把代入后去括号合并同类项； （2）由的值与y的取值无关，则把x当作已知数，合并关于y的同类项令其系数等于0即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 【小问2详解】 解： =， ∵值与y的取值无关， ∴， ∴． 22. 李先生购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地板砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： （1）用含x的式子表示客厅的面积； （2）用含x的式子表示地面总面积： （3）若铺地板砖的平均费用为100元，求当时，铺地板砖的总费用为多少元？ 【答案】（1）平方米 （2）平方米 （3）3900元 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，列代数式，解决本题的关键是熟练运用长方形的面积公式． （1）客厅地面面积是长方形，长方形的面积=长×宽，代入数据、字母解答即可； （2）地面的总面积=客厅的总面积+卧室的面积+厨房的面积+卫生间的面积，每个房间的地面面积是长方形，长方形的面积=长×宽，代入数据、字母解答即可； （3）将代入到，求出面积，再乘以单价即可． 【小问1详解】 客厅的面积平方米； 【小问2详解】 地面总面积 （平方米）； 【小问3详解】 当时， ； （元）； 答：铺地板砖的总费用是3900元． 23. 如图，直线相交于点O，平分，． （1）图中的余角是 （把符合条件的角都填上）； （2）如果， 求和的度数． 解： ∵平分， （ ）， =（ ）． 又∵， ∴， ∴ = °． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由垂线的定义得，从而，结合对顶角的性质得，可得结论； （2）由角平分线的定义得，由补角的性质得，然后结合可求出． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的余角是，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ∵平分， （角平分线的定义）， （同角的补角相等）． 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂线，对顶角，角平分线的定义，余角的定义，补角的性质，数形结合是解答本题的关键． 24. 平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50％；乙种商品每件进价50元，售价80元. （1）甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品利润率为_____； （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】（1）40，60%；（2）40件；（3）13或14件 【解析】 【分析】（1）根据等量关系：利润率=利润÷成本，即可求得结果； （2）设能购进甲种商品x件，根据甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元即可列方程求解； （3）先求得第一天只购乙种商品的数量，再设第二天只购甲种商品x件，根据第二天只购买甲种商品实际付款432元即可列方程求解. 【详解】（1）甲种商品每件进价为60÷1.5=40元，每件乙种商品利润率为（80-50）÷50=60%； （2）设能购进甲种商品x件 依题意得40x+50(50-x)=2100，解得x=40 答：能购进甲种商品40件； （3）第一天只购乙种商品，则：360÷80=4.5 件（不合题意，舍去）或360÷（80×0.9）=5件 设第二天只购甲种商品x件 依题意有：0.9×60x=432或0.8×60x=432 解得x=8或x=9 答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共13或14件. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程，再求解 25. （1）如图1， 点B， D在线段上． ①填空：． ②若D是线段中点， 则 ． （2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周． ①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示） ②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值． 【答案】（1）①，；②；（2）①；②1或4 【解析】 【分析】此题考查解一元一次方程的应用、线段的中点、两点间的距离等知识与方法，解题的关键是理解和把握线段中点的定义． （1）①根据线段的和差解答即可； ② 设为，表示出长，再列出方程，计算即可； （2）①由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为，时间为3秒，则； ②由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为6秒，当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点，①当为中点，，即，计算求解即可；②当为中点，，即，计算求解即可；当绕点顺时针旋转时，时间为秒，为中点，，即，计算求解即可． 【详解】解：（1）①， 故答案为：，． ②设， ， ， 是线段中点， ， ， ， ． （2）①由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为， ∴时间为（秒）， ∴， 故答案为：； ②由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点， 当为中点，，即， 解得； 当为中点，，即， 解得，； 当绕点顺时针旋转时，时间为（秒）， 为中点，，即， 解得． 综上，的值为1或4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $