第十七章 勾股定理单元检测卷-（寒假期衔接课堂）2025年暑假八年级数学寒假衔接讲义（人教版）

第十七章 勾股定理单元检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级下册第十六章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25八年级下·全国·期末）下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（   ） A．4，6，8 B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级下·山东济宁·期中）下列数组中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．9，12，15 C．7，24，25 D．1，2.2，2.5 3．（23-24八年级下·河南漯河·期中）三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山东泰安·期中）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端A到左墙的距离为，梯子顶端D到地面的距离为，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端C到地面的距离为，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽为（   ）    A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为：，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．12 C．10 D．8 7．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，将折叠，使A与的中点D重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（24-25八年级下·山西太原·期中）如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为的正方形，且深为，两个格子之间的隔断厚．图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点B处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在C处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若，，则该长方形的面积为（   ） A．20 B．18 C． D． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在中，，，，则边上的高为 ． 12．（24-25八年级下·山西晋中·期中）一把的三角尺如图所示放置，三角尺开始无滑动地向右滚动，当点第一次回到数轴上时所对应的数是 ． 13．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，A，B，C是三个正方形，当的面积为14，的面积为19时，则的面积为 ． 14．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）若以点A，B为圆心、1个单位长度为半径的两个圆的位置如图所示，则A，B两点的距离为 个单位长度． 15．（24-25八年级下·浙江·期中）如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为13和1，且直角三角形的两直角边分别为a，b，则的值为 ． 16．（24-25八年级下·四川雅安·期末）如图所示，有一圆柱，其高为，它的底面半径是， 在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想得到上面处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 （取）． 17．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，．点D是边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处．当为直角三角形时，的长为 ． 18．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律则点的坐标是 ． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25八年级下·福建宁德·期中）某滑雪台的截面示意图如图所示，已知滑雪台的高度为7米，滑雪台的长度为25米，则滑雪台水平距离长为多少米？ 20．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，求边上的高．    21．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，如图，树顶落在离树干底部处，求这棵树在折断前（不包括树根）的高度？ 22．（23-24八年级下·广东茂名·期中）如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上．请判断是不是直角三角形，并说明理由．    23．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，一架梯子长米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角的距离为米，梯子滑动后停在的位置上，如图，测得梯子底端外移的长度为米，则梯子顶端下滑的长度也是米吗？用你所学的知识解释你的结论． 24．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等． 小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题：    (1)求三边之间的关系； (2)已知，． ①与相交于M，求的长； ②求． 25．（2024·广东清远·模拟预测）三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图 ”．中，， ，， ，大正方形的面积小正方形的面积 个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：． (1)若 ，则 ； (2)如果大正方形的面积是 13， ，求小正方形的面积． 26．（24-25八年级下·广东深圳·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理单元检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级下册第十六章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25八年级下·全国·期末）下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（   ） A．4，6，8 B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 用勾股定理的逆定理进行判断，看较短两边的平方和是否等于长边的平方即可． 【详解】解：A．，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形； B．，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形； C．，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形； D．，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形； 故选B． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期中）下列数组中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．9，12，15 C．7，24，25 D．1，2.2，2.5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此即可求解． 【详解】解：， ∴A、B、C均为勾股数，不符合题意； D选项中各数不全是整数，故不是勾股数，符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·河南漯河·期中）三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：， ∴ 即， 所以此三角形是直角三角形， 故选：C． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴与实数及勾股定理．根据图示，可得：点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴， ∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧， ∴． 故选：B． 5．（24-25八年级下·山东泰安·期中）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端A到左墙的距离为，梯子顶端D到地面的距离为，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端C到地面的距离为，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 故选：A． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为：，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出，即，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：，即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 故选：A． 7．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，将折叠，使A与的中点D重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合运用以上知识是解题的关键． 设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点， ， 在中，， 解得． 故线段的长为4， ∴． 故选：B． 8．（24-25八年级下·山西太原·期中）如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为的正方形，且深为，两个格子之间的隔断厚．图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的应用．先根据题意展开得到平面图形，利用根据两点之间线段最短和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：把托盘的隔断和托盘底层展开得到如下图形： 则，，， ∴， 即蚂蚁爬行的最短距离为， 故选：D 9．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点B处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在C处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，由题意可知，，再由勾股定理得，则，然后证明，得，则，即可得出结论．本题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即小丽在C处时距离地面的高度是， 故选：A． 10．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若，，则该长方形的面积为（   ） A．20 B．18 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，设小正方形的边长为x，在直角三角形中，利用勾股定理建立关于x的方程，利用整体代入思想解决问题，从而求出长方形的面积． 【详解】解：如图， 设小正方形的边长为x， 则，， ∵，， ∴， 在中，， 即， 整理得， 长方形的面积为： ． 故选：A． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在中，，，，则边上的高为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，即可得出边上的高． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∵， ， 是直角三角形， ， ∴边上的高为8． 故答案为：8． 12．（24-25八年级下·山西晋中·期中）一把的三角尺如图所示放置，三角尺开始无滑动地向右滚动，当点第一次回到数轴上时所对应的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，根据题意得出点第一次回到数轴上时所对应点，即可求解． 【详解】解：依题意，， 如图所示，点第一次回到数轴上时所对应点为点， ∴点对应的位置为， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，A，B，C是三个正方形，当的面积为14，的面积为19时，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理， 由正方形面积公式得到，，由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：正方形的面积为14，正方形的面积为19， ，. ， ， 的面积． 故答案为：5． 14．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）若以点A，B为圆心、1个单位长度为半径的两个圆的位置如图所示，则A，B两点的距离为 个单位长度． 【答案】5 【分析】本题考查了两坐标间的距离，由图得，，利用两坐标间的距离公式列式计算即可得解． 【详解】解：由图可得，， ∴A，B两点的距离为， 故答案为：5． 15．（24-25八年级下·浙江·期中）如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为13和1，且直角三角形的两直角边分别为a，b，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，即两条直角边的平方和等于斜边的平方， 根据题意可知斜边的平方即为大正方形的面积13，即四个直角三角形的面积和，从而不难求得答案． 【详解】解： 大正方形的面积四个直角三角形的面积和 ． 故答案为：25． 16．（24-25八年级下·四川雅安·期末）如图所示，有一圆柱，其高为，它的底面半径是， 在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想得到上面处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 （取）． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开图－最短路径问题，勾股定理； 先把圆柱的横切面及侧面展开图分别求出点A到点B最短距离，并进行比较即可求解； 【详解】解：如图所示； 圆柱横切面为长方形，则，所在的长方形的宽为圆柱的高，的长为圆的直径，蚂蚁经过的最短距离，线段长， 根据题意可得：； 当蚂蚁沿着侧面展开图的对角线爬行时，路程最短为：， ， 故答案为： 17．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，．点D是边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】1或2 【分析】此题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握折叠性质，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 由折叠性质得到，，，由三角形外角性质得到，分和，两种情况，进行求解即可． 【详解】解：由折叠知，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， 如图1，若， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵； 如图2，若， 则， ∴， ∴ ∴为直角三角形时，的长为：1或2． 故答案为：1或2． 18．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，勾股定理，通过计算发现规律，然后根据规律求解． 【详解】解：由已知，点M每次旋转转动，则转动一周需转动8次， ∵， ∴点的在第一象限的角平分线上， ∵是等腰直角三角形， ∴， 同理可求：，，…， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25八年级下·福建宁德·期中）某滑雪台的截面示意图如图所示，已知滑雪台的高度为7米，滑雪台的长度为25米，则滑雪台水平距离长为多少米？ 【答案】24米 【分析】本题考查勾股定理，直接运用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：． 答：滑雪台整体的水平距离为24米 20．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，求边上的高．    【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理可证明是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式即可．关键是掌握“如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形”． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ， 即， ． 21．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，如图，树顶落在离树干底部处，求这棵树在折断前（不包括树根）的高度？ 【答案】这棵树在折断前（不包括树根）的高度 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得，， 在中，根据勾股定理得：． 所以大树的高度是． 答：这棵树在折断前（不包括树根）的高度． 22．（23-24八年级下·广东茂名·期中）如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上．请判断是不是直角三角形，并说明理由．    【答案】不是直角三角形，理由见详解 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理．先根据勾股定理求出的三条边长，再根据勾股定理的逆定理判定即可，灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：不是直角三角形，理由如下： 根据勾股定理，得，，， ， 不是直角三角形． 23．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，一架梯子长米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角的距离为米，梯子滑动后停在的位置上，如图，测得梯子底端外移的长度为米，则梯子顶端下滑的长度也是米吗？用你所学的知识解释你的结论． 【答案】梯子顶端下滑的长度也是米，过程见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用．在中，根据勾股定理得米，由于梯子的长度不变，在中，根据勾股定理得，所以米，即梯子的顶端下滑了米． 【详解】解：在中，， ∴由勾股定理得，． ∴． 在中，，， ∴， ∴． ∴． 答：梯子顶端下滑的长度也是米． 24．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等． 小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题：    (1)求三边之间的关系； (2)已知，． ①与相交于M，求的长； ②求． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】此题重点考查长方形的性质、轴对称的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识与方法． （1）由翻折得，，求得，证明是直角三角形，据此可得； （2）①由矩形的性质以及等角对等边证得，再根据折叠的性质即可求解；②根据（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵由翻折得，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将翻折至与重合，折痕是， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．（2024·广东清远·模拟预测）三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图 ”．中，， ，， ，大正方形的面积小正方形的面积 个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：． (1)若 ，则 ； (2)如果大正方形的面积是 13， ，求小正方形的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了勾股定理的证明，和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）根据题意得大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，然后根据，，即可解决问题； （2）根据大正方形的面积，，得，求出，进而可得小正方形的面积． 【详解】（1）∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∵，， ∴ ∴， 故答案为：； （2）∵大正方形的面积，， ∴， ∴（负值已经舍去）， ∴小正方形的面积． 26．（24-25八年级下·广东深圳·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 【答案】(1) (2)着火点C能被扑灭，理由见解析． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键． （1）过点作于点，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用直角三角形的面积计算出的长，与500比较即可得出结论； （2）当时求出的长，进而得出的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 因为飞机中心周围以内可以受到洒水影响，， 所以着火点受洒水影响； （2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点， ， 在中，， 所以． 因为飞机的速度为， 所以， 20秒秒， 答：着火点能被扑灭． 学科网（北京）股份有限公司 $$