第十六章 二次根式单元检测卷-（寒假期衔接课堂）2025年暑假八年级数学寒假衔接讲义（人教版）

第十六章 二次根式单元检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级下册第十六章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（湖南省长沙市雅礼教育集团联考2024-2025学年八年级下学期1月期末数学试题）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆·期末）估计的值应在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 3．（24-25八年级下·吉林长春·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·山东枣庄·期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D．b 5．（2024·浙江嘉兴·一模）二次根式中字母的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·河南周口·期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 （     ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2024八年级下·全国·专题练习）若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）在，，，，，…（每两个6之间多一个0），，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）已知关于的代数式，判断下列说法正确的有（    ） ①存在实数，使得； ②若，则； ③已知代数式、、满足，，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（24-25八年级下·重庆·期中）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②比较大小：； ③变形：； ④计算； ⑤已知，，且，则所有可能的整数m的和为． 以上结论正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2024·广东东莞·一模）式子成立的条件是 12．（24-25八年级下·四川成都·期中）化简： ． 13．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）与 同类二次根式（填“是”或“不是”）． 14．（24-25八年级下·福建三明·期中）比较大小： （填“”，“”或“”）． 15．（23-24八年级下·河南漯河·期末）如果数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧，且在的左侧，则的值为 ． 16．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）如最简二次根式与能进行合并，且，化简： ． 17．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 18．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）实数a在数轴上对应点A的位置如图所示，若．则：    （1）b的值是 ． （2）的平方根是 ． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 20．（24-25八年级下·全国·期末）计算： (1) (2) 21．（23-24八年级下·全国·单元测试）如果最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 22．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 23．（24-25八年级下·北京通州·期末）我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当，时： ∵ 又∵ ∴ ∴ 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ，此时 ； (2)若（），求y的最小值． 24．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 25．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 26．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ， …… 请解答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出 ； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律； (3)利用上面的规律，请化简：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式单元检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级下册第十六章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（湖南省长沙市雅礼教育集团联考2024-2025学年八年级下学期1月期末数学试题）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，分母中含有二次根式的也不是最简二次根式，由此判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、分母中含有二次根式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·重庆·期末）估计的值应在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】A 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．先计算二次根式的乘法运算，再进行估算即可． 【详解】解： ， ， ， 故选：A． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据在实数范围内有意义，得到，解不等式即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：在实数范围内有意义， ，解得， 故选：B． 4．（23-24八年级下·山东枣庄·期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D．b 【答案】C 【分析】此题考查了利用数轴比较数的大小，化简算术平方根，化简绝对值，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键．由数轴知，，得到，化简即可． 【详解】解：由数轴知，， ∴， ∴ ， 故选：C． 5．（2024·浙江嘉兴·一模）二次根式中字母的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据二次根式的意义：被开方数大于等于，列不等式求解． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故选：B． 6．（24-25八年级下·河南周口·期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 （     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先变形得到，根据题意必须是的正奇数次方，所以满足条件的最小正整数n为． 【详解】解：，而是整数， 最小正整数n为， 故选：． 7．（2024八年级下·全国·专题练习）若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握：在二次根式中，要求字母必须满足条件，即被开方数是非负的，则当时，二次根式有意义，当时，二次根式无意义．据此得到关于的不等式组，继而得到、的值，再代入计算即可．也考查了负整数指数幂． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故选：A． 8．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）在，，，，，…（每两个6之间多一个0），，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了无理数的定义和二次根式的化简．无限不循环小数是无理数，化简后进行判断即可． 【详解】解：在，，，，，…（每两个6之间多一个0），，中，无理数有，…（每两个6之间多一个0），，共3个， 故选：C 9．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）已知关于的代数式，判断下列说法正确的有（    ） ①存在实数，使得； ②若，则； ③已知代数式、、满足，，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用、二次根式的混合运算等知识，掌握完全平方公式及整体代入法是解题的关键．． ①先把左边配方，再根据非负数的性质判断； ②根据的值得到，再将化为，最后整体代入求值即可； ③先把左边分解因式，再整体代入求值； 【详解】解：①∵， ∴不存在实数，使得， 故说法①不正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∴， 故说法②不正确； ③∵，， ∴， ∴ ， 故说法③不正确； ∴说法正确的有个， 故选：A． 10．（24-25八年级下·重庆·期中）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②比较大小：； ③变形：； ④计算； ⑤已知，，且，则所有可能的整数m的和为． 以上结论正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化，解决二次根式的化简、比较大小和运算的问题，熟练掌握知识点是解题的关键． ①估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ②通过分母有理化，比较两个二次根式的倒数大小，即可解答； ③先分子分母同时乘以，减少分母的根式个数后再次有理化分母即可； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值； ⑤与b可以利用分母有理化化简，可得出，然后观察方程特点，求得m的值． 【详解】解：①∵a是的小数部分， ∴， ∴，故①错误； ②∵， ， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ③ ，故③正确； ④∵ ∴ ，故④正确； ⑤∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， 即， ， 解得，故⑤错误． 综上所述：②③④正确， 故选：B． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2024·广东东莞·一模）式子成立的条件是 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”，列不等式求解即可． 【详解】解：要使有意义，必须， 解得，， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·四川成都·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化最简二次根式的方法是解题关键．由即可化简． 【详解】解：． 故答案为：． 13．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）与 同类二次根式（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义判断． 【详解】解：， 与是同类二次根式． 故答案为：是． 14．（24-25八年级下·福建三明·期中）比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是两个无理数的大小比较，二次根式的性质；比较两个无理数的大小，进行恰当的转化可以较直观的比较． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·河南漯河·期末）如果数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧，且在的左侧，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简与性质，以及绝对值的性质，关键是掌握性质：． 首先根据、在数轴上的位置确定、得到小关系，再根据绝对值得性质去绝对值，合并同类项即可． 【详解】解：数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧， ，， 在的左侧， ， ， 故答案为． 16．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）如最简二次根式与能进行合并，且，化简： ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，二次根式的性质化简，整式的加减运算，掌握同类二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键． 同类二次根式指的是根指数相同，被开方数相同，由此可得，解出的值，可确定，再根据绝对值的性质，二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算即可求解． 【详解】解：由题意可知：， 解得，， ， ， ， ． 17．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【答案】 【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． 18．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）实数a在数轴上对应点A的位置如图所示，若．则：    （1）b的值是 ． （2）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴、平方根及实数的性质，熟知数轴上的点所表示数的特征及平方根的定义是解题的关键． （1）根据数轴上点A的位置，得出数a的取值范围，再结合绝对值的性质即可解决问题． （2）根据（1）中求出的b的值，结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】解：（1）由所给数轴可知，， 所以，， 则． （2）由（1）知， ， 所以的平方根是． 故答案为：（1）；（2）． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的除法，乘法，以及平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 20．（24-25八年级下·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据完全平方公式，平方差公式，化简绝对值进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法以及二次根式的性质化简，进而即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．（23-24八年级下·全国·单元测试）如果最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查同类二次根式，根据两个最简二次根式的被开方数相同，则这两个最简二次根式为同类二次根式，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：． 22．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 【答案】x=4，y=3． 【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可． 【详解】∵最简二次根式与同类二次根式， ∴3a+4=19-2a， 解得，a=3， ∴，即 ∵≥0，≥0， ∴12-3x=0，y-3=0， 解得，x=4，y=3． 【点睛】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键． 23．（24-25八年级下·北京通州·期末）我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当，时： ∵ 又∵ ∴ ∴ 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ，此时 ； (2)若（），求y的最小值． 【答案】(1)4， (2)y的最小值为 【分析】本题主要考查了二次根式和完全平方公式的应用， 对于（1），根据题意可得，再根据题意求出x的值即可； 对于（2），将原式整理为，再结合已知条件可得，接下来可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可知， 即． 当时，， 解得时，的最小值是4； 故答案为：4，； （2）解：∵ ， ∴． ∵， ∴． ∵当，时：， ∴， ∴， 即． 所以y的最小值为． 24．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 【答案】(1)； (2)她站在山巅能看到大海，理由见解析． 【分析】本题考查了代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以她站在山巅能看到大海． 25．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长计算即可； （2）用长方形的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可． 【详解】（1）解：． 长方形的周长是． （2）解： 元． 答：购买地砖需要花费元． 26．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ， …… 请解答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出 ； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律； (3)利用上面的规律，请化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，解题的关键是根据题目中给出的数字表达式，找出规律，准确计算． （1）根据题目中给出的方法进行计算即可； （2）根据（1）中找出的规律，写出用含n（n 为正整数）的关系式表示的规律即可； （3）根据解析（2）找出的一般规律进行化简计算即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：． （2）解：观察前面例子的过程和结果得： ． （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$