第十八章 平行四边形单元检测卷-（寒假期衔接课堂）2025年暑假八年级数学寒假衔接讲义（人教版）

第十八章 平行四边形单元检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级下册第十六章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当，是矩形 B．当，是菱形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，下列判断正确的是（　　） A．若，且，则四边形是平行四边形 B．若，且，则四边形是平行四边形 C．若，且，则四边形是平行四边形 D．以上判断都对 4．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，在菱形中，．已知的周长是12，则菱形的周长是（　　） A．20 B．16 C．15 D．12 5．（24-25八年级下·广东河源·期中）将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形中，为上一点，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长等于（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，正方形的周长为16，是等边三角形，点E在正方形内部，点P是对角线上的动点，连接、，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 8．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线前去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中是折痕．若正方形与五边形的面积相等，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，D是的中点，把沿着翻折得到，连接，若，则为（     ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点，三角尺的两条直角边分别与、交于点、．下列结论：①；②；③；④四边形的面积是一个定值．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）在正方形中，，则正方形的周长为 ． 12．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，中，，，D是的中点，则的长为 ． 13．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）锐角为的两个平行四边形的位置如图所示，若，则 （用含的式子表示） 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线与交于点，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是： ．（写出一个即可） 15．（2024·湖南长沙·模拟预测）某次研学过程中，老师让同学们利用所学知识测量被池塘隔开的、两点之间的距离．小明同学想到可以在不远处选择C点，测量、的中点、的距离．如图所示，若米，则AB的距离为 ． 16．（2024八年级下·上海·专题练习）动手操作：在矩形纸片中，，．如图所示，折叠纸片，使点落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动．若限定点、分别在、边上移动，则点在边上可移动的最大距离为 ． 17．（24-25八年级下·北京·阶段练习）如图，点为正方形对角线的中点，将以点为直角顶点的直角绕点旋转（的边始终在正方形外），若正方形边长为2，则在旋转过程中与正方形重叠部分的面积为 ． 18．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点处．与x轴相交于点D，，，点F是y轴负半轴上一个动点，点P在坐标平面内，使以点A，D，P，F为顶点的四边形是菱形的点P的坐标为 ．    三、解答题（8小题，共64分） 19．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 20．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，平行四边形的边长10厘米，直角三角形的直角边长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形的面积大10平方厘米，求平行四边形的面积． 21．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）今年我县提倡六城建设，某社区有一个正方形空地，准备把此正方形空地分成面积相等的四部分，分别种植四种不同的花草，请你运用所学的知识，设计三种不同的方案．（画出即可）      22．（23-24八年级下·全国·课后作业）若D，E分别是，的中点，则只需测量出的长，就可以求出池塘的宽．你知道为什么吗？ 23．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在梯形中，，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (2)经过多长时间，四边形是矩形？ 24．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点A作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 25．（24-25八年级下·福建漳州·期中）亲爱的同学，你能利用一张矩形纸片折出大小不一的菱形吗？请你动手试一试！然后按要求完成下面问题： 已知某矩形长为4，宽为3，请你用虚线在如图中分别画出两种不同折法的菱形的示意图并在下方横线上直接写出菱形的面积（画图特别说明：①示意图中体现所有折痕；②菱形的顶点必须都在矩形的边上；③所画菱形是能仅用已知数据便可求出面积的图形） 图1菱形的面积为： ；图2菱形的面积为： ．图3菱形的面积为： ． 26．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点，连接交于点已知，． (1)求证：； (2)求； (3)求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形单元检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级下册第十六章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的对角相等，邻角互补，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当，是矩形 B．当，是菱形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了对矩形、菱形和正方形的判定，根据矩形、菱形和正方形的判定即可选出答案. 【详解】解：A选项：根据矩形的判定“一个角是直角的平行四边形是矩形”，故选项A正确，不符合题意； B选项：根据菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，故B选项正确，不符合题意； C选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意； D选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故D选项不正确，符合题意. 故选D. 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，下列判断正确的是（　　） A．若，且，则四边形是平行四边形 B．若，且，则四边形是平行四边形 C．若，且，则四边形是平行四边形 D．以上判断都对 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的判定方法．根据平行四边形的判定方法逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A.若，且，无法判定四边形是平行四边形，故选项A错误，不符合题意； B.若，且，无法判定四边形是平行四边形，故选项B错误，不符合题意； C.若，且，则四边形是平行四边形，故选项C正确，符合题意； D.综上所述，选项D错误，不符合题意； 故选：C ． 4．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，在菱形中，．已知的周长是12，则菱形的周长是（　　） A．20 B．16 C．15 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质；根据菱形的对角线平分一组对角和菱形的四边相等可证是等边三角形，即可求出菱形的边长，即可求出周长． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， 的周长是12， ， 菱形的周长是， 故选：． 5．（24-25八年级下·广东河源·期中）将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积． 根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和． 【详解】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是， 5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为， n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为． 故选：A． 6．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形中，为上一点，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定以及性质，平行四边形的判定和性质，先证明，且，再证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：B． 7．（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，正方形的周长为16，是等边三角形，点E在正方形内部，点P是对角线上的动点，连接、，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称--最短路线问题，由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为P点．此时最小，而是等边的边，，由正方形的周长为16，可求出的长，从而得出结果． 【详解】解：连接，与交于点F． ∵点B与D关于对称， ∴， ∴， ∴最小， ∵正方形的周长为16， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 故的最小值为4． 故选：C． 8．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线前去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中是折痕．若正方形与五边形的面积相等，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质以及折叠的性质，连接，设直线与边的交点为P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得且正方形的面积正方形的面积，从而用a分别表示出线段和线段的长即可求解． 【详解】解：连接，设直线与边的交点为P，如图： 由折叠可知点四点共线，且， 设正方形的边长为， 则正方形的面积为， ∵若正方形与五边形的面积相等 ∴由折叠可知正方形的面积正方形的面积， ∴正方形的边长， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，D是的中点，把沿着翻折得到，连接，若，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质得，得，由翻折的性质可得，推出，根据，由三角形外角性质得，得，得． 【详解】解：∵在中，，，D是的中点， ∴， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形翻折．熟练掌握翻折的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，平行线的判定和性质，是解题关键． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点，三角尺的两条直角边分别与、交于点、．下列结论：①；②；③；④四边形的面积是一个定值．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①根据四边形的内角和等于可得出，由此可对结论①进行判断； ②过点作于，于，先证明，再根据角平分线的性质得，进而可判定和全等，然后根据全等三角形的性质可对结论②进行判断； ③根据和全等可设，证明四边形是正方形，设，则，在中，由勾股定理得，由此可对结论③进行判断； ④根据和全等得，则，然后根据点是上的任意一点，的大小随点位置的变化而变化即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①在四边形中，， 又，， ， 故结论①正确； ②过点作于，于，如图所示： 则， ，， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， 故结论②正确； ③， 设， ，，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， 设， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故结论③正确； ④， ， ， 点是上的任意一点， 的大小随点位置的变化而变化， 正方形的面积随点位置的变化而变化， 四边形的面积随点位置的变化而变化，不是一个定值， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）在正方形中，，则正方形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，根据正方形四边都相等得到正方形的周长即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴， ∴正方形的周长为， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，中，，，D是的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出的长． 【详解】解：∵，，是的中点， ∴， 故答案为： ． 13．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）锐角为的两个平行四边形的位置如图所示，若，则 （用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，解题关键是利用平行线的性质，得出角的相等． 根据平行四边形的性质，利用平行得出角的关系，根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长， 由平行四边形的性质可得， ∴， 由平行四边形的性质可得， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线与交于点，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是： ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的判定，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可添加条件． 【详解】解：添加条件，则可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得到四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 15．（2024·湖南长沙·模拟预测）某次研学过程中，老师让同学们利用所学知识测量被池塘隔开的、两点之间的距离．小明同学想到可以在不远处选择C点，测量、的中点、的距离．如图所示，若米，则AB的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵米， ∴， 故答案为：． 16．（2024八年级下·上海·专题练习）动手操作：在矩形纸片中，，．如图所示，折叠纸片，使点落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动．若限定点、分别在、边上移动，则点在边上可移动的最大距离为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，关键在于找到两个极端，即取最大或最小值时，点或的位置．经实验不难发现，分别求出点与重合时，取最大值和当点与重合时，的最小值．所以可求点在边上移动的最大距离为． 【详解】 解：当点与重合时，取最大值是， 当点与重合时（如图）， 由勾股定理得，此时取最小值为． 则点在边上移动的最大距离为． 故答案为：． 17．（24-25八年级下·北京·阶段练习）如图，点为正方形对角线的中点，将以点为直角顶点的直角绕点旋转（的边始终在正方形外），若正方形边长为2，则在旋转过程中与正方形重叠部分的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是连接构造全等三角形． 如图，连接，由点是的中点，然后结合正方形的性质得到、、，进而结合得到，从而得证，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形的面积与的面积相等，最后由正方形的边长求得结果． 【详解】解：如图，连接， 点是的中点，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 正方形的边长为2， ， ， ， 重叠部分四边形的面积为1． 故答案为：1． 18．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点处．与x轴相交于点D，，，点F是y轴负半轴上一个动点，点P在坐标平面内，使以点A，D，P，F为顶点的四边形是菱形的点P的坐标为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查矩形与折叠，菱形的判定与性质；先根据题意得，设，根据勾股定理得到，即，再分不同情况进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵为直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当运动到，作边，为对角线时， ∵A，D，P，F为顶点的四边形是菱形， ∵， ∴， 当运动到，作边时，    ∴ 当运动到时    ∵点F是y轴负半轴上一个动点 ∴不符合题意； 故答案为：或． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形的对应边相等及对角线相等，找出等量关系求解即可． 主要考查了矩形的性质．要掌握矩形的性质：对角线相等，对应边平行且相等． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， 又∵， 四边形是平行四边形， ， ． 20．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，平行四边形的边长10厘米，直角三角形的直角边长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形的面积大10平方厘米，求平行四边形的面积． 【答案】50平方厘米． 【分析】本题是一道有关三角形的面积和平行四边形的面积的题目，要注意面积公式以及面积转化． 因为阴影部分比三角形的面积大10平方厘米，都加上梯形后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行比直角三角形的面积大10平方厘米． 【详解】解：三角形的面积为：（平方厘米）． 平行四边形的面积为：（平方厘米）． 答：平行四边形的面积为50平方厘米． 21．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）今年我县提倡六城建设，某社区有一个正方形空地，准备把此正方形空地分成面积相等的四部分，分别种植四种不同的花草，请你运用所学的知识，设计三种不同的方案．（画出即可）    【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分．根据正方形的性质，即可解答． 【详解】解：如图①，连接该正方形的两条对角线，则正方形被分为4个全等的等腰直角三角形； 如图②，连接该正方形对边中点，则正方形被分为4个全等小正方形； 如图③，连接该正方形一组对边的4等分点，则正方形被分为4个全等矩形．    22．（23-24八年级下·全国·课后作业）若D，E分别是，的中点，则只需测量出的长，就可以求出池塘的宽．你知道为什么吗？ 【答案】三角形的中位线等于第三边的一半 【分析】根据条件是的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵D、E分别是、中点， ∴． ∴理由是“三角形的中位线等于第三边的一半”． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，是一个基础题．掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”是解本题的关键． 23．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在梯形中，，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (2)经过多长时间，四边形是矩形？ 【答案】(1)经过时，四边形是平行四边形 (2)经过时，四边形是矩形 【分析】本题主要考查了平行四边形的想在，矩形的性质： （1）设经过时，四边形是平行四边形，则，根据即可求解； （2）设经过时，四边形是矩形，则，根据，即可求解． 【详解】（1）解：设经过时，四边形是平行四边形，则， 由题意得，， ∴ ∵， ∴， 解得，    即经过时，四边形是平行四边形； （2）解：设经过时，四边形是矩形，则， 由题意得，， ∴， ∵， ， 解得， 即经过时，四边形是矩形． 24．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点A作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形，， ， ， ， 在中，， 在中，， 四边形是菱形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． 25．（24-25八年级下·福建漳州·期中）亲爱的同学，你能利用一张矩形纸片折出大小不一的菱形吗？请你动手试一试！然后按要求完成下面问题： 已知某矩形长为4，宽为3，请你用虚线在如图中分别画出两种不同折法的菱形的示意图并在下方横线上直接写出菱形的面积（画图特别说明：①示意图中体现所有折痕；②菱形的顶点必须都在矩形的边上；③所画菱形是能仅用已知数据便可求出面积的图形） 图1菱形的面积为： ；图2菱形的面积为： ．图3菱形的面积为： ． 【答案】图见解析；6，9， 【分析】本题考查了菱形的判定和性质以及求其面积．根据菱形的判定画图即可，结合矩形和菱形的性质求面积． 【详解】解：如图、即为所求， ； 如图、即为所求， ； 如图、即为所求， 设，则， 在中， 由勾股定理可得， 即， 解得， ． 26．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点，连接交于点已知，． (1)求证：； (2)求； (3)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质和矩形的性质就可以得出，就可以得出， （2）设，就有，，在中，由勾股定理就可以求出，根据三角形的面积公式就可以求出结论； （3）由翻折可得垂直平分，，根据三角形的面积公式求出，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，，， ， 与关于成轴对称， ， ， ， ； （2）解：，， ，， 设，则， ， 在中，由勾股定理，得： ， 解得：， ， ， ； （3）解：由翻折可知：垂直平分， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，平行线的性质的运用，解答时运用勾股定理求出的值是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$