上海市宝山区上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

2024 学年第一学期上师宝分期末考试 一、填空题 (12 题共 54 分, 16̃ 题每题 4 分, 71̃2 题每题 5 分) 1. 函数 的定义域是_____. 2. 半径为 2 的扇形面积为 8 ,则其圆心角的弧度数是_____. 3 已知 ,则 _____. 4. 方程 的解为_____, 5. 若 ,且 ,则 的值为_____. 6. 函数 的单调递减区间为_____. 7. 关于 的不等式 的解集为 ,则实数 的取值范围是_____. 8 已知关于 的不等式 的解集为 ,则实数 的取值范围_____. 9. 设 均为正数,则函数 的零点的最小值为_____. 10. 设点 是以原点为圆心的单位圆上的一个动点,它从初始位置 出发,沿单位圆顺时针方向旋转角 后到达点 ,然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角 到达点 ,若点 的纵坐标是 ,则点 的坐标是_____ 11. 设 ,若函数 在定义域上满足: ① 是非奇非偶函数；②既不是增函数也不是减函数；③有最大值， 则实数 的取值范围是__ ___. 12. 已知函数 ,若函数 恰有三个不同的零点,则实数 的取值范围是_____. 二、选择题 (4 题共 18 分, 131̃4 每题 4 分, 151̃6 每题 5 分) 13. “α是锐角” 是 “α是第一象限角” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 14. 若 ,则下列各式正确的是 ( ) A. B. C. D. 15. 已知图 1 对应的函数为 ,则图 2 对应的函数是 ( ) 图1 图2 A. B. C. D. 16. 设函数 是 上的奇函数,当 时, ,则不等式 的解集为( ) A.(-2,4) B.(-3,4) C.(-2,3) D.(-3,3) 三、解答题 17. 已知 ,且 . (1)求实数 的值； (2)求 . 18. 已知实数 满足 . (1)求 的取值范围； (2)若函数 ,求 的最大值和最小值,并求此时 的值. 19. 第 19 届亚运会于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日在我国杭州举行, 本届亚运会的吉祥物是一套机器人,包括三个:“琮琮” 代表世界遗产良渚占城遗址,“莲莲” 代表世界遗产西湖, “宸宸” 代表世界遗产京杭大运河. 某公益团队计划举办杭州亚运会吉祥物的展销会,并将所获利润全部用于社区体育设施建设. 已知每套吉祥物的进价为 元, 其中 与进货量成反比,当进货 1 万套时, 为 9 元,据市场调查,当每套吉祥物的售价定为 元时 ,销售量可达到 万套 若 展销的其他费用为 1 万元,且所有进货都销售完. (1)每套吉祥物售价定为 70 元时,能获得的总利润是多少万元？ (2)当 为多少时,每套吉祥物的净利润最大？ 20. 已知函数 ,且不等式 的解集为 . (1)求实数 的值； (2)已知 ,若存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围. 21. 已知函数 (1)求不等式 的解集; (2)设 均为实数,当 时, 的最大值为 1,且满足此条件的任意实数 及 的值,使得关于 的不等式 恒成立,求 的取值范围; (3)设 为实数,若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根 、 且 ,试将 表示为关于 的函数,并写出此函数的定义域. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024 学年第一学期上师宝分期末考试 一、填空题 (12 题共 54 分, 1~6 题每题 4 分, 7~12题每题 5 分) 1. 函数 的定义域是_____. 【答案】 2. 半径为 2 的扇形面积为 8 ,则其圆心角的弧度数是_____. 【答案】 3. 已知 ,则 _____. 【答案】 4. 方程 的解为_____, 【答案】 5. 若 ,且 ,则 的值为_____. 【答案】 6. 函数 的单调递减区间为_____. 【答案】 7. 关于 的不等式 的解集为 ,则实数 的取值范围是_____. 【答案】 8.已知关于 的不等式 的解集为 ,则实数 的取值范围_____. 【答案】 9.设 均为正数,则函数 的零点的最小值为_____. 【答案】 10.设点 是以原点为圆心的单位圆上的一个动点,它从初始位置 出发,沿单位圆顺时针方向旋转角 后到达点 ,然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角 到达点 ,若点 的纵坐标是 ,则点 的坐标是_____ 【答案】 11.设 ,若函数 在定义域上满足: ①是非奇非偶函数；②既不是增函数也不是减函数；③有最大值， 则实数 的取值范围是__ ___. 【答案】 12.已知函数 ,若函数 恰有三个不同的零点,则实数 的取值范围是_____. 【答案】 二、选择题 (4 题共 18 分, 131̃4 每题 4 分, 151̃6 每题 5 分) 13. “α是锐角” 是 “α是第一象限角” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】 14. 若 ,则下列各式正确的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 15. 已知图 1 对应的函数为 ,则图 2 对应的函数是 ( ) 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】 16. 设函数 是 上的奇函数,当 时, ,则不等式 的解集为( ) A.(-2,4) B.(-3,4) C.(-2,3) D.(-3,3) 【答案】 三、解答题 17. 已知 ,且 . (1)求实数 的值； (2)求 . 【答案】 (1)由题意得: ,解得: 或 1, 因为 , 所以 , ,解得: ,综上: . (2)由(1)得: , 故 , 故 18. 已知实数 满足 . (1)求 的取值范围； (2)若函数 ,求 的最大值和最小值,并求此时 的值. 【答案】 (1)由 ,得 即 , 解得 的取值范围为: ; (2)因为 , , 当 ,即 时, , 当 或 ,即 或 2 时, . 19. 第 19 届亚运会于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日在我国杭州举行, 本届亚运会的吉祥物是一套机器人,包括三个:“琮琮” 代表世界遗产良渚占城遗址,“莲莲” 代表世界遗产西湖, “宸宸” 代表世界遗产京杭大运河. 某公益团队计划举办杭州亚运会吉祥物的展销会,并将所获利润全部用于社区体育设施建设. 已知每套吉祥物的进价为 元, 其中 与进货量成反比,当进货 1 万套时, 为 9 元,据市场调查,当每套吉祥物的售价定为 元时 ,销售量可达到 万套 若展销的其他费用为 1 万元,且所有进货都销售完. (1)每套吉祥物售价定为 70 元时,能获得的总利润是多少万元？ (2)当 为多少时,每套吉祥物的净利润最大？ 【答案】 (1)设共进货 万套,则 , 因为当 时, ,故 ,解得 ,即 每套吉祥物售价为70元时,销售量为 (万套), 此时进货单价为50 (元), 故总利润为 ； (2)根据题意得,进价为 元), 所以每套吉祥物的利润为 , 当且仅当 ,即 时取等号, 所以当 时,每套吉祥物的净利润最大. 20. 已知函数 ,且不等式 的解集为 . (1)求实数 的值； (2)已知 ,若存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围. 【答案】 (1)不等式 ,即 因为不等式 的解集为 , 即1, 是方程 的两根,将 代入方程得 ,解得 , 再由韦达定理得 ,故 ； (2)因为存在 , ,使得 成立, 设 的值域为 , 的值域为 , 则 , 的对称轴为 , 故 在 上单调递增,则 , 即 ,所以 , 当 时, , ,不满足题意； 当 时, 在 上单调递增,则 即 ,所以 , 由 ,则 或 , 解得 , 所以 时, ; 当 时, 在 上单调递减,则 ,即 所以 , 由 ,则 或 , 解得 , 所以 时, . 综上所述, . 21. 已知函数 (1)求不等式 的解集; (2)设 均为实数,当 时, 的最大值为 1,且满足此条件的任意实数 及 的值,使得关于 的不等式 恒成立,求 的取值范围; (3)设 为实数,若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根 、 且 ,试将 表示为关于 的函数,并写出此函数的定义域. 【答案】 等价为 或 , 即为 或 , 则原不等式的解集为 ； (2)当 时, 的最大值为1,故 . 要使不等式 3 恒成立, 需要 , 即 对任意 都成 立. , 即 的取值范围是 ； 3)由函数 ,得 ① 若 ,则方程 变为 ,即 ,且 4 ； ② 若 ,则方程 变为 ,即 ,且 . 于是 分别是方程 的两 个根且 , ,此函数的定义域为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$