9.1～ 9.2平移、轴对称 学案 2024--2025学年苏科版七年级数学下册

编号： 5 学生姓名： 年 级： 七年级 辅导科目：数学 课题 平移、轴对称 教学内容 【知识过关】 知识点1 平移的定义 一般地，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向 移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移. 平移的两要素是移动的 和 . 如图，△ABC沿射线BC的方向移动BD长可得到△FDE，△ABC的这个位置变换就是平移. 知识点2 平移的性质 1.平移前后的两个图形可以 ，对应线段 ，对应角也 . 2.平移前后的两个图形中，两组对应点的连线段 （或在同一条直线上）且 。 如图，△ABC经过平移得到△A′B′C′，其中A′与A、 B′与B、C′与C都是对应点,AB与A′B′、AC与A′C′、BC与B′C′都是对应线段，而AA′，BB′，CC′是连接各组对应点得到的线段，∠A与∠A′、∠B与∠B′、∠C与∠C′都是对应角.根据平移的性质，得AB与A′B′平行且相等，AC与A′C′平行且相等， BC与B′C′在同一直线上且相等.AA′与BB′平行且相等，AA′与CC′平行且相等， BB′与CC′在同一直线上且相等，另外，还有∠B＝∠B′等. 知识点3 平移作图 平移作图的四个步骤 一“定”:确定平移的方向和距离; 二“找”:找出原图形中的关键点; 三“移”:过关键点作平行且相等的线段，得到平移后关键点的对应点; 四“连”:按原图形顺序依次连接各个对应点，所得到的图形即为平移后的图形. 如图（1），将四边形ABCD平移，使A点移到A′点，作出四边形ABCD平移后得到的四边形A′B′C′D′，图（2）中四边形A′B′C′D′即为所求作的图形. 知识点4 轴对称的定义 一般地，将一个平面图形沿某条直线_________后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称，这条直线叫作_________，此时称这两个图形_________。 知识点5 轴对称图形与对称轴 1.如果一个图形关于某条直线成4的图形是其本身，那么称这个图形是 _______________，这条直线就是__________. 2.成轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 成轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 最少有一条 联系 ①如果把成轴对称的两个图形看成一个整体, 那么它就是一个轴对称图形; ②如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图 形,那么这两个图形成轴对称 知识点6 线段和角的对称性 1.垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的 ，简称中垂线. 2.线段是轴对称图形，它的垂直平分线是它的一条对称轴. 3.角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 如图所示,若AC＝BC,PC⊥AB,则点P在线段AB的垂直平分线上. 知识点7 轴对称的性质 1.成轴对称的两个图形可以重合.对应线段 ____________，对应角也________. 2.成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴________. 3.成轴对称的两个图形中，对称轴是任意两个对称点连线段的________. 知识点8 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴 步骤 理论依据 ①找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点 对称轴是任意两 个对称点连线段 的垂直平分线 ②连接这对对应点 ③作对应点所连线段的垂直平分线 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴. 知识点9 画轴对称图形 1.作某些图形关于某直线对称的图形，只要作出原图形中的一些特殊点的 ，再连接这些 ，就可以得到原图形关于这条直线对称的图形. 2.作轴对称图形的方法 （1）找：在原图形上找特殊点（如线段的端点） （2）画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点 （3）连：依次连接各对称点 知识点10 利用轴对称解决最短路径问题 如图（1）所示，点A，B是直线l同侧的两点，在直线上确定点P，使PA+PB的值最小. 方法如下:利用轴对称找出点A（或点B）关于直线l的对称点A′（或B′），连接该点和点B（或点A），连线与直线l的交点为点P，依据“两点之间线段最短”可知此时PA+PB的值最小，因此点P是所求作的点.其中一种作法如图（2）所示. 【重点题型讲解】 知识点1 平移的定义 1.[2024江苏常州质检]下列四幅图案中，能由其中的一部分平移得到的是（ ） 2.[2024浙江绍兴期末]下列物体的运动属于平移的是（ ） A.汽车方向盘的转动 B.小红荡秋千 C.电梯的升降 D.火车在弯曲的铁轨上行驶 知识点2 平移的基本性质 1.[2023江苏南京建邺区期中]如图，三角形ABC沿着直线BC向右平移得到三角形DEF，则① BE＝CF;② AB∥DE;③ AG＝DG;④ ∠ACB＝∠DFE,其中结论正确的是（ ） A.① ② B.① ② ④ C.② ④ D.① ③ ④ 2.[2024江苏南通期末]如图，△ABC的边BC的长为5cm.将△ABC向上平移2cm得到△A′B′C′,点A在B′C′上，连接BB′，CC′，BB′⊥BC，则阴影部分的面积为（ ） A.50cm2 B.25cm2 C.20cm2 D.10cm2 3.[2024江苏无锡期末]如图，把△ABC沿着射线AC的方向平移得到△DEF，BE＝2，DC＝1.5，则 AF＝_____. 4.[2023江苏扬州广陵区期中]如图，将三角形ABC沿射线AB的方向平移2个单位得到三角形DEF，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F. （1）若AB＝3，则AE＝. （2）若∠ABC＝75°，求∠CFE的度数. 知识点3 平移作图 1.[2024福建泉州期末]在如图所示的网格图中，每个小正方形的顶点称为“格点”，△ABC的三个顶点均在“格点”上，每个小正方形的边长均为1. （1）在网格图中，将△ABC沿着射线BB′的方向平移，使点B与点B′对应，请画出平移得到的△A′B′C′; （2）请直接写出直线BB′与线段A′C′的位置关系，不必说明理由; （3）试求出在平移过程中，线段BC所扫过部分的面积. 知识点4 利用平移的性质解决实际问题 图形的操作过程如下（下图中四个长方形水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）. 在图（1）中，将线段A1A2向右平移1个单位长度到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（阴影部分）; 在图（2）中，将折线A1A2A3（其中A2叫作折线A1A2A3的一个折点）向右平移1个单位长度到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（阴影部分）. （1）在图（3）中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分. （2）分别求出图（1）、图（2）、图（3）三个图形除去阴影部分后剩下部分的面积（分别记为S1，S2，S3）: S1＝_________，S2＝________，S3＝________. （3）联想与探索:如图（4）所示，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的水平宽度是1个单位长度），请你猜想空白部分的草地面积是多少，并说明你的猜想是正确的. 知识点5 轴对称的定义 1.[2024湖北武汉黄陂区模拟]下列每个正方形网格中均有两个图形，其中一个图形可以由另一个进行轴对称变换得到的是（ ） 2.[2024江苏南京调研]如图，若将四边形ABCD沿直线BD对折后,△ABD和△CBD重合，则AB的对应边是_____，BD的对应边是_____，∠ADB的对应角是_____. 知识点6 画对称图形 1.[2024江苏泰州期末]在如图所示的正方形网格中画出所给图形关于直线BE对称的图形，点A，D的对应点分别为点A1，D1. 2.[2024浙江杭州拱墅区期末]如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点. （1）如图（1），作出△ABC关于直线MN对称的图形; （2）如图（2），在直线MN上求作点P，使得∠APM＝∠BPN. 知识点7 垂直平分线的定义及相关作图 1.下列说法错误的是（ ） A.过线段的中点且垂直于该条线段的直线是线段的垂直平分线 B.线段的垂直平分线垂直于该线段 C.过线段上的一点且垂直于线段的直线是线段的垂直平分线 D.线段的垂直平分线平分该线段 2.[2024陕西西安期末改编]如图，P是∠AOB的边OB上一点. （1）在图（1）中用直尺和圆规过点P作OA的垂线，垂足为 H; （2）在图（2）中用直尺和圆规过点P作OB的垂线,交OA于点C. 3.[2024江苏南京校级期末]如图，已知射线AD平分∠BAC. （1）请用尺规作出BC的垂直平分线，交AD于点P，交BC于点Q，交AB于点R，不写作法，保留作图痕迹; （2）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DPQ的度数. 知识点8 轴对称的基本性质 1.[2024浙江绍兴期末]如图，直线l，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且OP＝0.6.若点P关于直线l，m的对称点分别是点P，P2，则P1， P2之间的距离可能是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 2.[2024江苏南通崇川区期末]如图，△ABC的周长为20cm，把△ABC沿DE翻折，使点C和点A重合，若AE＝3cm，则△ABD的周长是 . 3.[2024江苏连云港期末]如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝45°， BC＝3，S△，P为BC上一动点，将△ABP，△ACP分别沿AB，AC向外翻折,得到△ABD,△ACE,连接DE,则△ADE面积的最小值为______. 知识点9 用尺规作已知图形的对称图形 1.[2024江苏盐城期末]如图，已知长方形ABCD，点E是AD中点,连接CE. 尺规作图:求作与△CDE关于直线CE对称的△CFE，点D，F是对应点.（不写作法，保留作图痕迹） 知识点10 轴对称图形及其对称轴 1.[2024陕西西安期末]第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办，在下列巴黎奥运会项目图标中，属于轴对称图形的是（　　） 2.[2024江苏宿迁期中]由三个一样的圆组成的图形如图所示，它有_____条对称轴. 3.[2024江苏镇江扬中质检]如图均是由三个相同的小正方形组成的图形，请你在每个图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，并画出相应的对称轴. 知识点11 角平分线的尺规作图 1.[2024四川达州通川区期末]如图，在四边形ABCD中，用直尺和圆规作射线AF，使得∠DAF＝∠BAF,分别交BD,BC于点E,F.（保留作图痕迹，不写作法） 知识点12 利用轴对称求角度 如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°,AD⊥BC,垂足为D,△ADB与△ADB′关于AD所在的直线对称，点B的对称点是点B′，则∠CAB′的度数为___________. 知识点13 利用轴对称证明线段之间的关系 如图所示,∠BAD＝∠CAD,且AB＞AC,点P是AD上一点.试说明PB-PC＜AB-AC. 【综合练习1】 1.[中]学校一长方形草地中需修建一条等宽的小路，为了达到“曲径通幽”的效果，有下列四种设计方案，其中有一种方案修建小路后剩余草坪面积与其他三种方案不等，它是（ ） 2.[2024江苏江阴期末，中]如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF,DF交BC于点H,CH＝2cm,EF＝5cm,则阴影部分的面积为（ ） A.6cm2 B.8cm2 C.12cm2 D.16cm2 3. [2024重庆期中，中]如图，梯形ABCD沿AB方向平移2个单位长度得到梯形A1B1C1D1，连接A1B.若AB＝1，CD＝5，AD＝BC＝3，则图中阴影部分的周长为_____. 4.[2024浙江杭州期末，中]如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，将三角形ABC沿直线BC向右平移2个单位得到三角形DEF,连接AD,则下列结论:① AC∥DF,AC＝DF;② ED⊥AC;③ 四边形ABFD的周长是16;④ AD:EC＝2:3，其中正确结论有（填序号） . 5.[2024江苏泰州期末，较难]如图，在锐角△ABC中,∠BAC＝60°,将△ABC沿着射线BC方向平移得到△A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B′的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′的度数为______. 6.[较难]已知∠AOB＝90°，点C在射线OA上,CD∥OE. （1）如图（1），若∠OCD＝120°，求∠BOE的度数; （2）把“∠AOB＝90°”改为“∠AOB＝120°”，将射线OE沿射线OB平移得到O′E，其他条件不变，如图（2）所示，探究∠OCD与∠BO′E之间的数量关系; （3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB，垂足为O′，与∠OCD的平分线CP交于点P，如图（3）所示，若∠BO′E＝α，请用含α的式子表示∠CPO′ （请直接写出答案）. 【综合练习2】 1.[2024江苏宿迁调研]如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反弹），则该球最后落入的球袋是（ ） A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋 2.[2024江苏扬州江都区期末，中]如图，将△ABC沿DE折叠,得到△A′DE,A′E,A′D与边BC分别相交于点M，N，若∠1+∠2＝150°，则∠3+∠4的度数为（ ） A.250° B.255° C.260° D.265° 3.[中]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6， AC＝8，AB＝10，动点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC，BC对称的点分别为 P1， P2，则在点P的运动过程中，线段P1P2的长的最小值是_____. 4.[2023湖北广水校级期中，中]（1）如图（1），P， Q分别是△ABC的边AB，AC上的两个定点，在边BC上找一点R，使△PQR的周长最小. （2）如图（2），已知P是∠AOB内任意一点，分别在OA,OB上找点M,N,使△PMN的周长最小. 5.[2024浙江绍兴嵊州期末，较难]如果两角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“等差角”，即若|∠α-∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为“等差角”.（本题中所有角都是指大于0°，且小于180°的角） （1）已知∠1和∠2互为“等差角”，若∠1＝ 40°，则∠2＝_____;若∠1＝90°，则∠2＝_____. （2）如图（1），将一长方形纸片沿着EP翻折（点P在线段BC上，点E在线段AB上），点B落在点B′处.若∠EPB′与∠B′PC互为“等差角“，求∠BPE的度数. （3）再将纸片沿着FP翻折（点F在线段CD或AD上），点C落在点C′处.如图（2），若点E， C′，P在同一直线上，且∠B′PC′与∠EPF互为“等差角”，求∠EPF的度数（翻折后，线段PB′在∠EPF内部）. 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$