28.2.2 课时1 仰角和俯角问题课件 2024-2025学年人教版数学九年级下册

28.2.2 应用举例 课时1 仰角和俯角问题 22052 理解仰角和俯角的概念，能在实际情境中准确识别仰角与俯角. 掌握运用三角函数（如正弦、余弦、正切）知识解决与仰角、俯角相关的简单实际问题.学会构建直角三角形数学模型，并利用仰角俯角所对应的三角函数关系求解未知量. 在利用仰角俯角解决测量高度、距离等实际问题过程中，体会从实际情境中获取信息、建立数学模型、求解模型、检验结果并应用于实际的数学建模思想，逐步提升分析问题和解决问题的能力. 1 2 3 学习目标 22052 重点：能在实际情境中准确识别仰角与俯角，并能够运用三角函数知识解决与仰角、俯角相关的简单实际问题. 难点：准确构建直角三角形数学模型. 学习目标 22052 　　我们平时观察物体时，视线相对于水平线来说有哪几种情况？ 　　三种：重叠、向上和向下． 　　今天我们就来学习与圆和俯角、仰角有关的解直角三角形问题. 新知导入 22052 圆和解直角三角形的综合运用 例3 2022 年 11月 30 日，“神舟”十五号载人飞船与中国空间站成功实现交会对接. “神舟”十五号与中国空间站的组合体在离地球表面343 km 的圆形轨道上运行，如图. 知识点 1 新知讲解 22052 当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少(地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数)？ 思考 能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？ P 新知讲解 22052 从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点． 思考：在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图． 新知讲解 22052 如图，用⊙O 表示 ，点 F 是 的位置， FQ是⊙O 的 ， Q 为切点，则所求问题为 ． 的长 地球 组合体 切线 新知讲解 22052 　　解：在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形． 　　∵cosα =　　=　　　　　 　　　　 ≈ 0.9491， 　　∴α≈18.36°．　　　　 　　∴　 的长为 PQ 　　　×6400 ≈ 　　　　 　×6400≈2051(km)． 　　　 新知讲解 22052 · O C B A “欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，O为地球球心，C是地面上一点， =500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997)？ 基础练习 22052 解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是 看C点，AB就是“楼”的高度， ∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km). 即这层楼至少要高19km，即1900m. 这是不存在的. · O C B A 在Rt△OCB中，∠O 22052 俯角、仰角的解直角三角形问题 水平线 铅垂线 视点 视线 仰角 俯角 思考 你能概括出仰角、俯角的概念吗？ 知识点 2 新知讲解 22052 　　在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． 要点归纳 22052 例4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）. 分析：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，因此，α = 30°，β = 60°. 在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，α = 30°，β = 60°，AD = 120，求 BC 长. 典型例题 22052 解：如图，a = 30°，β = 60°， AD = 120. ∵tan α = ，tan β = , BD = AD · tan α = 120 × tan 30° = 120 ×= 40 CD = AD · tan β = 120 × tan 60° = 120 ×= 120 A B C D α β ∴BC = BD + CD = 40+ 120 = 160≈ 277 (m) 因此这栋高楼高约 277 m. 22052 1.如图，建筑物 BC 上有一旗杆 AB，从与 BC 相距 40m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 50°，观察旗杆底部 B 的仰角为 45°，求旗杆的高度（ 精确到 0.1m ）. 基础练习 22052 解：在等腰 Rt△BCD 中，∠ACD=90°，BC = DC = 40m. 在 Rt△ACD 中， tan ∠ADC = ， ∴AC = tan ∠ADC · DC = tan 50° × 40 ≈ 47.7 ∴AB = AC - BC = 47.7 - 40 = 7.7(m) 因此旗杆高度约为7.7m. 22052 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 水平线 铅垂线 视点 视线 仰角 俯角 课堂小结 22052 1. 如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米. 2. 如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米. 100 图1 B C A 图2 B C A D 30° 60° 查漏补缺 随堂小练 22052 3.某飞机在离地面 米的上空测得地面控制点的俯角为 ，那么此时飞机与地面控制点之间的距离是多少米？ 解：如图所示： 由题意得,∠CAB=60°, BC= 米 在Rt△ABC中,∵sin∠A= ∴AC= =6000米， 故此时飞机与地面控制点之间的距离是6000米 查漏补缺 随堂小练 22052 4．如图，从点 A看一山坡上的电线杆PQ,观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆的高度是多少米 图1 图2 解：如图2，延长PQ交直线AB于点E，设PE=x． 在直角△APE中，∠PAE=45°，则AE=PE=x； ∵∠PBE=60°∴∠BPE=30° 提升能力 随堂小练 22052 4．如图，从点 A看一山坡上的电线杆PQ,观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆的高度是多少米 提升能力 则 解得： ∴ 在直角△BPE中， ∵AB=AE-BE=6， 在直角△BEQ中， 故该电线杆的高度是多少 米. 图1 图2 随堂小练 22052 5.已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5 cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα= ． 求点M离地面AC的高度BM 解：如图，过点M作MD⊥OA于D. 则四边形ABMD是矩形. ∴BM=AD，AB=DM. 又MD=OM·sinα=5×5× =15. ∴AD=OA-OD=5,∴BM=5 cm. 提升能力 随堂小练 22052 $$