28.2.1 解直角三角形课件 2024-2025学年人教版数学九年级下册

28.2.1 解直角三角形 22052 知道解直角三角形的概念，理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系. 能综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 经历从直角三角形的基本元素出发，探索边角关系，构建三角函数体系的过程，培养逻辑推理与抽象思维能力，体会数学知识的系统性与连贯性. 1 2 3 学习目标 22052 重点：了解解直角三角形的意义和条件. 难点：熟练掌握解直角三角形的方法：依据已知条件，灵活选用合适的三角函数关系求解直角三角形的其余未知边和角. 学习目标 22052 A C B 直角三角形中，除直角外，共有5个元素， 即三条边和两个锐角. 直角三角形由哪些元素组成？ 【问题1】能否通过直角三角形中的已知元素求出未知元素？ 【问题2】需要几个已知元素才能求出其余的所有未知元素？ 下面我们带着问题开始本节课的学习探究 新知导入 22052 意大利比萨斜塔在 1350 年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线 2.1 m. 1972年比萨地区发生地震，这座高 54.5 m 的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至 5.2m，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险，当地从 1990 年起对斜塔维修纠偏，纠偏后塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了 43. 8 cm. 新知讲解 22052 根据上述信息，你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角 ( 如图 )”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗? 新知讲解 22052 1972 年的情形：设塔顶中心点为 B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为 ∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点 C，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5.2m，AB = 54.5m，求∠A 的度数. A B C 由计算器可得 ∠A ≈ 5°28′. ∟ 新知讲解 22052 思考：在上面的Rt△ABC中，除了能求出∠A 的度数，你能求出其他角或者边吗？ 请说出你的思路和依据，不用解答 【总结】一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 新知讲解 22052 1.sinA=（ ）= （ ） 【思考】在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？ A B C b a 2.cosA=（ ）= （ ） c 3.tanA=（ ）= （ ） （1）三边之间的关系 a2 + b2 = c2（勾股定理） （2）两锐角之间的关系 ∠A + ∠B = 90° （3）边角之间的关系 新知讲解 22052 【思考】知道五个元素中的几个，就可以求出其余未知元素？ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90° （1）根据∠A=60°，你能求出这个三角形的其他元素吗？ （2）根据∠A=60°，∠B=30°，你能求出这个三角形的其他元素吗？ （3）根据∠A=60°，斜边AB = 4，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 不能 不能 能 A B C 新知讲解 22052 A B C 例1.如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = ， ， 解这个直角三角形. 解： 【总结】已知两直角边，可以解这个直角三角形. 典型例题 22052 【总结】已知一直角边和一锐角，可以解这个直角三角形. 例2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位). 解： A B C b c a 35° 典型例题 22052 1.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 60°，斜边AB = 6，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 60° A B C 已知∠B=60°，因此可以得到 【总结】已知一斜边和一锐角，可以解这个直角三角形. 基础练习 22052 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，解这个直角三角形． A B C 【总结】已知一直角边和一斜边，可以解这个直角三角形. 基础练习 22052 在Rt△ABC中，已知一角或两角，不能求其它元素；已知一角一边或两边，能求其他元素 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一个是边），可求出其余的未知元素（知二求三） 解直角三角形的两种基本类型： ①已知一角一边，解直角三角形； ②已知两边，解直角三角形． 锐角 邻边、对边或斜边 两条直角边，或斜边和一条直角边 要点归纳 22052 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线AD,解这个直角三角形. 解析：∵cos∠CAD, ∴∠CAD ∵ AD平分∠BAC， ∴∠CAB ∴AB. D A B C 6 基础练习 22052 解直角三角形 解题依据 除直角外五个元素中，知二（至少一边）求三 勾股定理 两锐角互余 锐角三角函数 已知两边 已知一边 一角 课堂小结 22052 1.如图，在 中， ， ， ，则 的值为( @2@ ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C 2.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，AB =10，则 BC和 AC的长分别是( ) B A C B  查漏补缺 随堂小练 22052 3.如图1，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，AC=，则AB的长为多少？ 图1 图2 查漏补缺 随堂小练 22052 4.如图在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB =10，AC =8,E是AC上一点 垂足为D,若AD=4,则DE的长为多少？ 提升能力 随堂小练 22052 $$