28.1 课时2 余弦和正切 课件 2024-2025学年人教版九年级数学下册

28.1 锐角三角函数 课时2 余弦和正切 22052 深入理解余弦与正切的定义：在直角三角形情境下，精准掌握角的余弦是邻边与斜边之比，正切是对边与邻边之比. 能依据给定直角三角形的边长，精确计算出相应角的余弦值与正切值. 培养学生良好的数形结合的能力，激发学生的求知欲和学习的自信心. 1 2 3 学习目标 22052 重点：理解并掌握余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念. 难点：能够灵活运用锐角三角函数进行相关运算. 学习目标 22052 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的 （sine），记作 . A B C 邻边b 对边a 斜边c sin A=（ ） 正弦 sin A 即，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，当锐角 A 确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定. 此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ 复习导入 22052 【探究一】如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形，其中 ∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ A B C D E F 新知讲解 22052 A B C D E F 解：∵ ∠A =∠D，∠C =∠F = 90° ∴△ABC∽△DEF，∠B =∠E 从而 sinB = sinE， 因此 【总结】在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 新知讲解 22052 A B C 斜边 c 对边 a 邻边 b ∟ 上述所示的可类似正弦的情况，利用相似三角形的知识可以证明，在三角形中，∠A 确定时，∠A 的邻边与斜边的比都是确定的. 我们把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cos A，即 cos A = = . 与正弦的区别 要点归纳 22052 1. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， sin A ＝ ，那么 cos A 的值是(　B　) A. B. C. D. B 2.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，cosB 则AC的长为 ． 12 基础练习 22052 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，AC = 12， 则sinA = ，cosA = ； sinB = ，cosB = . 2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 3BC， 则 sin A = ，cos A = ； sin B = ，cos B = . A B C 你能得出什么结论？ 新知讲解 22052 A B C 邻边b 对边a 斜边c 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 90°-∠B 则 sin A = cos B，即 sin A = cos ( 90°-∠A ) cosB = sin ( 90°-∠B )两角互余，余弦值 = 正弦值 要点归纳 22052 【探究二】如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形，其中 ∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ A B C D E F 新知讲解 22052 A B C D E F 解：∵ ∠A =∠D，∠C =∠F = 90° ∴△ABC∽△DEF， 【总结】在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． ∴ 即 BC · DF = AC · EF ， ∴ 新知讲解 22052 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA. A B C 邻边b 对边a 斜边c 要点归纳 22052 对于锐角 A 的每一个确定的值，sin A 有唯一确定的值与它对应，所以 sin A 是 A 的函数.同样地，cos A，tan A 也是 A 的函数. ∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数. 【注意】由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0< sin A <1，0< cos A <1，tan A >0. 要点归纳 22052 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值. A B C 10 6 解：由勾股定理得 因此 典型例题 22052 3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，AC = 12， 则sinA = ，cosA = ； sinB = ，cosB = . tan A = ，tan B = ； A B C ∟ 新知讲解 22052 如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？ A B C c a b ∟ tan ∠A = ，tan ∠B = . 则 tan ∠A 与 tan ∠B 互为倒数， 即：tan A · tan B = 1. 要点归纳 22052 3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2BC,求∠B的正弦值、余弦值和正切值. 解：∵∠C=90°，AC=2BC, ∴设BC=x，AC=2x, ∴AB=x, ∴sin B===, cos B===, tan B===2. 基础练习 22052 余弦函数和 正切函数 在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦 ∠A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关 在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切 余弦 正切 性质 课堂小结 22052 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°， 若tan A= ，则cosA的值（ ）. A 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB=5,AC=3 则cosB的值（ ）. B 查漏补缺 随堂小练 22052 3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为D. 若AD = 6，CD= 8，求tan B 的值. 解: ∵ CD⊥AB，∠ACB＝ ∠ADC =90°， ∴∠B+ ∠A=90°，∠ACD+ ∠A =90°， ∴∠B = ∠ACD， ∴ tan∠B = tan∠ACD . 查漏补缺 随堂小练 22052 4.如图,在Rt △ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,AC=2,CD=1,设∠CAD=β. (1)求sin β,cos β,tan β的值; (2)若∠B=∠CAD,求BD的长. 解:在Rt △ACD中,∵AC=2,DC=1, ∴AD==. (1)sinβ===, cosβ===, tanβ==; (2)在Rt△ABC中,tan B=,即tanβ==,∴BC=4,∴BD=BC-CD=4-1=3. 提升能力 β 随堂小练 22052 $$