湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高一上学期数学期末模拟测试卷（二）

衡阳县四中2024-2025学年高一上学期数学期末模拟卷（二） 一．选择题（共8小题） 1．已知集合A＝{x|y＝log2（2﹣x）}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（　　） A．（0，3） B．（0，2） C．（2，3） D．（0，+∞） 2．“”是“sin”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x4m+3是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则f（2）＝（　　） A． B．211 C．或211 D．2或2﹣11 4．若两个正实数x，y满足4x+y＝xy，且存在这样的x，y，使不等式xm2+3m有解，则实数m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m＜4 B．﹣4＜m＜1 C．m＜﹣4或m＞1 D．m＜﹣3或m＞0 5．对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[1]＝1，[﹣1.6]＝﹣2．已知，则S为（　　） A．0 B．1 C．﹣2020 D．﹣2021 6．中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是T0，经过tmin后的温度是T，则（c≈2.71828…），其中Ta表示环境温度，h表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是80°C放在20°C的室温中，10min以后茶水的温度是50℃，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1，参考数据ln2≈0.7，ln3＝1.1）（　　） A．5.6min B．5.7min C．5.8min D．5.9min 7．已知实数a，b满足log3a+a＝3b+b＝2，则（　　） A．1＜b＜a B．a＜1＜b C．1＜a＜b D．b＜1＜a 8．已知，则（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．下列函数f（x）中，满足对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1＞x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是（　　） A．f（x）＝x2 B． C．f（x）＝|x| D．f（x）＝2x+1 （多选）10．若logab＜0，则函数f（x）＝ax+b与g（x）＝logb（a﹣x）在同一坐标系内的大致图像可能是（　　） A． B． C． D． （多选）11．已知，0≤α≤π，则下列选项中正确的有（　　） A． B． C． D． 三．填空题（共3小题） 12．若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为 　 　． 13．已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax.若f（ln2）＝16，则a＝ 　 　． 14．已知f（x），若方程f（x）＝m2+1有三个不同的实数解，则实数m的取值范围为 　 　． 四．解答题（共5小题） 15．已知角α以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点． （1）求的值； （2）求的值． 16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x． （1）求出当x＞0时，f（x）的解析式； （2）如图，请补出函数f（x）的完整图象，根据图象直接写出函数f（x）的单调递减区间； （3）结合函数图象，求当x∈[﹣3，1]时，函数f（x）的值域． 17. 我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．根据这一结论，解决下列问题． 已知函数． （1）证明：函数f（x）的图象关于点（1，1）对称； （2）若f（a2）+f（2a﹣1）＞2，求实数a的取值范围． 18．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园．图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中B，C区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为xm，鲜花种植的总面积为Sm2． （1）用含有x的代数式表示a，并写出x的取值范围； （2）当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 19．已知函数是定义在R上的奇函数． （1）求实数a的值； （2）设函数g（x）＝f（x）+1，求g（x）的零点； （3）当x∈（﹣∞，1]时，求函数h（x）＝f（x）•（3x+1）+9x﹣3x﹣2的值域． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学答案及解析 一、选择题 1．已知集合，，则( ) A. B.S C.T D.Z 1．答案：C 解析：通解：在集合T中，令，则，又集合S中，，所以必有，所以. 光速解：，，观察可知，，所以. 2．下列结论正确的个数是( ) ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“，”是全称量词命题； ③命题“，”的否定为“，”； ④命题“是的必要条件”是真命题. A.0 B.1 C.2 D.3 2．答案：C 解析：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；命题“，”是全称量词命题，故②正确；命题：，的否定为，，故③错误；由可以推出，所以是的必要条件，故④正确.选C. 3．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( ). A.2 B.4 C.6 D.8 3．答案：B 解析：解：只需，解得. 4．若定义在R的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是( ) A. B. C. D. 4．答案：D 解析：方法一：由题意，知在，单调递减，且.当时，令，得或，又，所以；当时，令，得或，又，所以；当时，显然符合题意.综上，原不等式的解集为.故选D. 方法二：当时，，符合题意，排除B；当时，，不符合题意，排除A，C.故选D. 5．函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 5．答案：A 解析：设，易知的定义域为R，，函数是奇函数，的图象关于原点对称，排除C、D，易知，排除B，故选A. 6．已知函数，若，则实数a的值为( ) A.-1 B.1 C.4 D.4或1 6．答案：D 解析：本题考查分段函数及指数、对数函数求值计算.当时，，，当时，，，综上所述，和1. 7．若，则( ) A. B. C. D. 7．答案：A 解析：因为，所以. 设， 因为函数和分别是定义域上的增函数与减函数， 所以在R上为增函数. 由得， 所以，所以，故选A. 8．已知，则( ) A. B.2 C. D. 8．答案：A 解析：令，则，， 从而 . 故选：A. 二、多项选择题 9．设为定义在R上的奇函数，当时，为常数），则下列说法正确的是( ) A. B. C.在上是单调减函数 D.函数仅有一个零点 9．答案：AD 解析：对于A中，因为为定义在R上的奇函数， 且当时，， 可得，解得， 所以， 则，所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，当时，， 因为函数和都是增函数， 所以在是单调递增函数， 又因为为在R上的奇函数， 所以在也是递增函数，所以C不正确； 对于D中，由，且和是单调递增函数， 所以函数为定义在R上仅有一个零点，所以D正确 故选：AD. 10．下列说法正确的是( ) A.若的终边经过，，则 B. C.若，则为第一或第四象限角 D.若角和角的终边关于y轴对称，则 10．答案：BD 解析：当时，，故A选项错误； ，B正确； 时，的终边在第一或第四象限或x轴非负半轴，C错误； 因为，角和角的终边关于y轴对称， 结合三角函数定义可知， 即，故D选项正确 故选：BD 11．若定义在R上的函数，满足，，，则下列结论中正确的是( ) A.是偶函数 B.是周期为4的周期函数 C. D. 11．答案：ABC 解析：因为，所以. 又因为，所以. 又，则， 即，所以，故是周期为4的周期函数. 因为，所以也是周期为4的周期函数，选项B正确； 因为，则，则， 所以，所以为偶函数，选项A正确； 因为，令，得，即， 令，得，即， 故，选项C正确； 由， 得 所以，选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．已知直线（,）过函数（,且）的定点T,则的最小值为________. 12．答案： 解析：令时,可得, 可知函数,且的图象恒过定点, 因为定点在直线上, 可得,且,, 则, 当且仅当,即时,等号成立, 所以的最小值为. 故答案为:. 13．已知函数对任意两个不相等的实数,,都满足不等式,则实数a的取值范围为________________. 13．答案： 解析：由于满足：对任意两个不相等的实数,, 都满足不等式,所以在区间上单调递增. 在上递减; 的开口向上,对称轴为, 所以, 解得, 所以a的取值范围是. 故答案为：. 14．定义在上的奇函数若函数在上为增函数，且则不等式的解集为_____________． 14．答案： 解析：由题意得到与x异号， 故不等式可转化为或， 根据题意可作函数图象，如图所示： 由图像可得：当时，； 当时，， 则不等式的解集是． 故答案为： 四、解答题 15．已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数m的取值范围. （1）答案：或 解析：解：因为， 或， 所以或. （2）答案： 解析：由，得. 又因为， 所以且，即. 15．某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，预计在一年内的销售量Q（万件）与广告费x（万元）之间的关系式为.已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. （1）试写出年利润W（万元）与年广告费x（万元）的关系式； （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？ 15．答案：（1）由题意可得，每年产品的生产成本为万元，每万件销售价为万元， 年销售收入为， . （2）由（1）得，. ，， ，当且仅当，即时，W有最大值42，即当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大年利润为42万元. 解析： 16．已知是定义在上的函数，若满足且. (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)求使成立的实数t的取值范围. 16．答案：(1) (2)见解析 (3) 解析：(1)因为，且，所以为奇函数， 将代入可得， 即，所以，即，因为，所以， 代入可得，解得，故； (2)函数在上单调递增，证明如下： 由(1)知，任取， 所以 因为，所以，， 所以，所以函数在上单调递增； (3)因为为奇函数，且在上单调递增， 所以，即， 根据单调性及定义域可得：，解得：，即. 17．已知． (1)化简函数; (2)若,求和的值． 17．答案：(1) (2);. 解析：(1) (2)因为, 所以, 所以; ． 18．我们知道,函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若函数的图象关于点对称,且当时,. （1）求的值; （2）设函数. (i)证明函数的图象关于点对称; (ii)若对任意,总存在,使得成立,求a的取值范围. 18．答案：（1）2; （2）(i)证明见解析; (ii). 解析：（1）为奇函数, ,得, 则令,得. （2）(i), 为奇函数,为奇函数, 函数的图象关于点对称. (ii)在区间上单调递增,在区间上的值域为,记在区间上的值域为, 由对,总,使得成立知, ①当时,在上单调递增,由对称性知,在上单调递增,在上单调递增, 只需即可,得,满足题意; ②当时,在上单调递减,在上单调递增,由对称性知,在上单调递增,在上单调递减, 在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减, 或, 当时,,, 满足题意; ③当时,在上单调递减,由对称性知,在上单调递减,在上单调递减, 只需即可,得,满足题意. 综上所述,a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$