上海市宜川中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

上海市宜川中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、填空题 1.己知全集U=(-∞，1)U[2,+∞)，集合A=(-1,1)U[3,+∞)，则=」 2. 不等式名引>的解集为 x+1 3.化简： sin+a）cost-a）cos(3m+a) cot(侵a)cos(+ajot-a 4已知a€2，关于x的函数y=-在区间，+∞）上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负， 则实数a= 5.用cota和cot邱表示cot(a+B)= 6.已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度=」 7.已知a∈R关于x的函数y=1-杂不是奇函数也不是偶函数，那么a的取值范围是 8.下列关于x的函数中，在其定义域上是增函数的是（填序号）： ①y=-②y=凶：③y=x125: ④y= 2,x≥ +1,x<号 ⑤y=ln(R2+1+x). 9.若不等式x2+mx-2≥0对x∈1,3]恒成立，则实数m的取值范围是一 10.已知角a、B均为锐角，且a≠B,那么当sina-sin邮=3cosβ-3cosa时，cos(a+)= 1.已知函数f()=×2-5x+7,若对于任意的正整数n,在区间1，n+]上存在m+1个实数b、a、2、、am, 使得fb)>f(a1)+f(a2)+…+f(am)成立，则m的最大值为一 12.已知函数y=f(x)的定义域为(0，+∞)，若存在常数T>0,使得对任意的xE(0,+∞)， 都有f(Tx)=f(x)+T,且y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则函数y=f(x)的值域为 二、选择题 13.古人云“一层不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个()条件是“能扫天下” A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 14.已知a,b,c∈R且a≠0，那么关于x的不等式log(ax2+bx+c)>0,其解集不可能是() AR B.(-2,-1)U(2,3) C.(-2,-1) D.0 15.对任意实数a和正整数k,定义集合M={a+?2m,a+2m,a+径2m,a+是2m,,a+安.2m, 集合N=t=sina,aeM当N中的元素个数为4个时，k的值不可能是().A.5B.6C.7D.8 成功不必自我，功力必不唐捐： 第1页共9页 16.已知定义在R上的函数f(x),对于给定集合A,若对任意x1,2∈R,当x1-X2∈A时都有f(x1)-f(x2)EA, 则称f(x)是“A封闭“函数.已知给定两个命题： P:若f(x)是"{1)封闭"函数，则f(x)是k)封闭”函数(k∈N). Q:若fx)是“[a,b封闭函数(a,beN),则fx)在区间a,b]上严格减.则下列正确的判断为() A.P是真命题，Q是真命题 B.P是假命题，Q是真命题 C,P是真命题，Q是假命题 D.P是假命题，Q是假命题 三、解答题 17.在△ABC中，已知a=2,(1)若V3 sinAcosA+sin2A-1=0,求该三角形的外接圆半径R: (2)当A=时，求该三角形面积的最大值. 18已知co(a号)29，in号-B)受<a<m,0KB<受 (1)求c0 a+B的值：(2)求an(aB)的值. 2 19.已知函数f(x)=1og3(3x+1)+ax(a∈R)是偶函数 (1)求a的值：(2)若函数y=f(x)的图像与函数y=×+b(b∈R)的图像没有交点，求实数b的取值范围： (3)若函数gx)=9+学+k-2)·3-1,×∈[0,1og32]是否存在实数k使得g(x)的最小值为0. 成功不必自我，功力必不唐捐： 第2页共9页 20.为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/位方米)随着时间刘单位：小时度化的函数关系式近似为y=(总-1,0≤×≤3 若多次喷洒， 16-2x-3,3<x≤7 则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和. 由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用。 (1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：1g2≈0.3,1g15≈1.17） (2)若第一次喷酒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度 为g()(毫克/立方米)，其中0<t≤3. ①求g()的表达式：②求第二次喷酒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值。 21.已知函数y=f(x)的定义域为R,现有下面两种对y=f(x)变换的操作： p变换：y=f(x)→y=f(x)-f(x-t),其中t>0:ω变换：y=f(x)→y=F(x+t)-f(xl,其中t>0. (1)若fx)=3*,t=1,对y=fx)进行φ变换后得到函数y=g(x),解方程g(x)=2: (2)若fx)=x2,对y=f(x)进行ω变换后得到函数y=h(x),解不等式fx)≥h(x): (3)若函数y=f(x)在(-∞，0)上是严格增函数，对函数y=f(x)先作p变换，再作w变换，得到函数y=h1(x), 对函数y=f(x)先作ω变换，再作p变换，得到函数y=hz(x).对任意t>0,若h1(x)=h2z(x)恒成立， 证明：函数y=f(x)在R上是严格增函数 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第3页共9页 上海市宜川中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷解析 学校： 姓名： 班级： 考号： 1.(-∞，]U[2,3)【分析】根据已知条件，结合补集的定义，即可求解. 【详解】全集U=(-∞，1)U[2,+∞)，集合A=(-1,1)U[3,+∞)， 则A=(-∞，1]U[2,3),故答案为：（-∞，1]U[2,3)· 2(-1,0)【详解】不等式希>希台希<0-1<x<0. 3.cosQ【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的关系化简即可， 【详解】原式=cosa·tana,(-cosa) cosa.sina cosacosa tana "sina(-cota =cosa. sina 4.a=-1或0【分析】先进行分离变形，然后结合反比例函数的单调性即可求解. 【详解】由已知yax出=a-2台，X≠-2，又函数在区间1，+0)上是严格减函数，且函数值不恒为负， x+2=a+ +2 1-2a>0, 所以 20 ,解得-l≤a<2又因为a∈Z,所以a=-1或0.故答案为：a=-1或0. cota·c0tB-1【分析】利用两角和与差的三角函数公式求解。 5.cotB +cota cosacosa 【详解】ca(a+B)-0s（CtB}-9gsac0sB-sind sinB_-sind 'sing-1 --cota "cotB-1 sin(a+B)sina cos B +cosa sinB cos B cosa cot B +cota sinB sina 6.6或号【分析】直接利用扇形的周长公式和面积公式建立方程组，进一步求出圆心角的大小. 2x+1=16 【详解】设扇形的半径为，扇形的弧长为1，所以 21r=12解得，2或r6 1=121=4 当=2，E2时，利用1=0，解得θ=6：当r=6,=4时，利用1=0，解得日号 【点晴】本题考查的知识要点：扇形的周长和面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题. 7.(-0,-1)u(-1,1u(1,+)【详解】若函数为奇函数，则(-刈=-f00,即1-=-- 解得a=1:若函数为偶函数，则(-)=0)，即1一品=1-可解得a=-1, 故函数不是奇函数也不是偶函数时，a的取值范围为(-∞，-1)U(-1,1)U(1,+∞) 8.下列关于x的函数中，在其定义域上是增函数的是（填序号）： ①y=-②y=x:③y=x125:④y= 2,x≥ +1,x<是y=ln(R2+1+x 8.③⑤.【详解】①函数y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上是增函数，但在定义域(-∞，0)U(0,+∞)上不是增函数： ②函数y=[冈在定义域(-∞，+∞)上不是增函数：③函数y=x125在定义域R上是增函数： 成功不必自我，功力必不唐捐： 第4页共9页 ④函数y=2,×≥：y=x+1,X<在(-∞，)和+∞)上是增函数，但在定义域R上不是增函数： ⑤函数y=ln(√x2+工)+x)在定义域R上是增函数.故填③⑤. 9.若不等式-x2+mx-2≥0对x∈[1,3]恒成立，则实数m的取值范围是 9侣+∞)【详解】由题意：不等式x2+mx-2≥0对xeL,3]恒成立，又因为xe山，3引， 所以m≥x+恒成立，设g)=x+子，xE[1,3引，则g)=x+是对勾函数， 且在×=3时取得最大值为gW=g3)=3+号=号，所以n的取值范围是侣+o)故答案为：侣+∞)， 10.已知角a、9均为锐角，且a≠B,那么当sina-sinB=3cosB-3cosc时，cos(a+)=_ 10.专【详解】由sina-sin邮=3cos邱-3cosa,得sin(+)-sin(些-)=3cos(生-) -3cos(+),则cos()sin(2)=3sin()）sin(),由角a,B均为锐角，且a≠B, 得0<la-1<受则sin(2)≠0，于是an()=子所以 cos(a+B)coo(2.)= cos2a+p 2 -82n2a+e 2 2 cos2a+ 2+sn2a+8 2 1-tm假=1-4 1+tan2() 1+周 =亏故答案为：手 11.已知函数f)=x2-5x+7,若对于任意的正整数n,在区间[1，n+】]上存在m+1个实数b、a1、a2、、am, 使得f(b)>f(a1)+f(a2)+…+f(am)成立，则m的最大值为 11.6【详解】因为(n+)mm=?∴在区间1，]上最大值为f(匀)=号最小值为f(爱)- 华+=6…京即m的最大值为6 12.已知函数y=f(x)的定义域为(0，+∞)，若存在常数T>0,使得对任意的xE(0,+∞)， 都有f(Tx)=f(x)+T,且y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则函数y=f(x)的值域为 12.(-o,+∞)【分析】设g(x)=f(x)-m,m∈R,可知g(x)具有性质P(T),分g(1)=0,g(1)>0 和g(1)<0三种情况，结合零点存在性定理得出g(x)在(0，+∞)上存在零点，即可证明. 【详解】设neN',因为f(Tx)=f(x)+T,所以f(Tx)=f(x)+nT,设g(x)=f(x)-m,meR, 因为g(Tx)=f(Tx)-m=f(x)-m+T=g(x)+T,所以g(x)具有性质P(T),g(Tx)=f(x)+nT-m, 令x=1得，g(T)=f(1)nT-m,①若g(1)=f(1)-m=0,则函数g(x)在(0，+∞)存在零点： 成功不必自我，功力必不唐捐： 第5页共9页 ②若g（)=fD·m<0,即f)<m时，当n0>rt1)时，g(T) T =f（1)+0r-m>f1)+T(mt1)-m=0,即g(T0)>0,所以g(x)在区间(0，+∞)存在零点： ③若g(1)=f(1)-m>0,即f(1)>m,因为f(x)=f(Tx)-nT,所以f(T)=f(1)-nT, 所以g(T）=f)~nT~m,当n>t)-时， T g(T6)=f(1)-wT-m<f4)-T(匹f1)-m=0,即g(T)<0, T 所以g(x)在区间(0，+∞)存在零点： 综上所述，mER,g(x)=f(x)~m都存在零点，即都有f(x)=mER,即函数y=f(x)的值域为R. 13.B【详解】由题意知”能扫天下“是“能扫一屋“的充分条件，即“能扫一屋“是“能扫天下“的必要条件，故选B. 14.A【详解】a,b,c∈R且a≠0，关于x的不等式log1(ax2+bx+c)>0台0<ax2+bx+c<1①， 当a=1,b=c=3时，不等式①的解集为(-2，-1)，排除C: 当a子b=子c=时，不等式@的解集为(2，-)U(2,3),排除B: 当a=-1,b=3,c=-3时，ax2+bx+c<0恒成立，不等式①的解集为0，排除D:故选A. 15,对任意实数a和正整数k,定义集合M={a+日2m,a+安2，a+号2m,a+是2m,,a+号2m, 集合N={t=sina,aeM当N中的元素个数为4个时，k的值不可能是().A.5B.6C.7D.8 15。B【详解】由题意得，集合M中的元素为a+2m,a+2m,a+景2，a+是2m,,a+号2，即在区间 [a,a+2r]上等间隔地取k个点，集合N中的元素为t=sina,a∈M,即函数y=sinx在区间[a,a+2r]上等间隔地取k个 点所得的函数值.因为N中的元素个数为4个，即函数y=sinx在区间[a,a+2n]上等间隔地取k个点所得的函数值有4个， 所以k>4,所以k的最小值为5， 当k=5时，在[a,a+2π]上等间隔地取5个点，此时N中的元素个数为4个，故k可以为5，排除A: 当k=6时，在[a,a+2π]上等间隔地取6个点，此时N中的元素个数为5个，故k不可能为6，故选B: 当k=7时，在[a,a+2π]上等间隔地取7个点，此时N中的元素个数为4个，故k可以为7，排除C: 当k=8时，在[，a+2π]上等间隔地取8个点，此时N中的元素个数为4个，故k可以为8，排除D.故选B. 16.已知定义在R上的函数f(x),对于给定集合A,若对任意x1,x2ER,当x1-x2EA时都有fx1)-f(x2)EA, 则称f(x)是“A封闭“函数.已知给定两个命题： P:若f(x)是"{1封闭"函数，则f(x)是"k)封闭函数(kEN), Q:若f(x)是“[a,b封闭"函数(a,beN),则f(x)在区间[a,b上严格减.则下列正确的判断为() A.P是真命题，Q是真命题B.P是假命题，Q是真命题C.P是真命题，Q是假命题D,P是假命题，Q是假命题 16.C【分析】通过定义进行证明若f(x)是“{1)封闭“函数，则f(x)一定是“k}封闭“函数，命题P为真命题， 再举出反例得到命题Q为假命题.【详解】命题P:若f(x)是"1封闭"函数，即对x∈R,都有f(x+1)=f(x)+1, 成功不必自我，功力必不唐捐： 第6页共9页 对于集合k,任意的x1,2∈R,使得x1-X2∈k),则x1=2+k,而f(x2+k)=f(x2+k-1)+1=fx2+k-2)+2 =…=fx2)+k,所以fx2+k)-fx2)=k,故fx)一定是“k)封闭函数，命题P正确： 命题Q:不妨设f0x)=x,xe[1,2小，当x1-为2=m∈[1,2时，f0x1)-f6x2)=×1-x2=m∈[1,2小， 此时(x)=×是“[1,2]封闭函数，但为单调递增区间，命愿Q是假命题.故选：C 17.在△ABC中，已知a=2,(1)若V3 sinAcosA+sin2A-1=0,求该三角形的外接圆半径R: (2)当A=时，求该三角形面积的最大值。 17.(1)R=2或1：(2)2+3 【详解】(1)V3 sinAcosA+sin2A-1=0,sin(2A-)=克0<A<m,-君<2A-<号， 2A-8减号，即A=或号，2R品4或2，该三角形的外接圆半径2或1： 2清=员B+=各0B<告-<8-告品减 4, .b=4sinB,c=4sinC=4sin-B)=2cosB+3sin B, ÷SaBc=bcsinA=-2 sin BcosB-+2V3sin2B=2sin(2B-+W3e(0,2+V3,该三角形面积的最大值为2+V3. 1已知cas(a号)：2识，in受-B),召<a<元，0KB<受 (1)求cos a+B的值：(2)求an(a+B)的值. 【分析】1)利用c0sa+B=60《a-号)·(g-B)求出相关的三角函数值即可求解： 2 2 2 a+B 2tan 2 (2)求出相关角的范围，利用tan(c+B)=一 2Q+B,求解即可. 1-tan 2 【详解1a号29，e(受，0空，号e(受元 2 7 2 7 2 号e(晋受，m号)-i号-)- 2 2 7 2 7 2 14 2)ae受m0,e0空.e(受，受，aeT,, 2， 2 2 4 .cos 821 sin B 2a+B=V175 2 14 2 2’4 2 1-c0 2 14 a+B tan B=万，m(a+8)= 2tan 2 2×(压) 3=7压=53 2 3 2a+B 1-tan 1-(V75)2 1111 2 3 【点晴】本题考查二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围，考查计算能力. 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第7页共9页 19.(1)-(2)b≤0：(3)存在.【分析】(1)由奇函数的性质求解即可得出答案： (2)将题意转化为log3(3x+1)-×=b无解，令h(x)=log3(3x+1)-x,由h(x)的单调性求出h(x)的值域即可求出 实数b的取值范围：(3)令t=3*E[1,2,则y=2+t,te1,2],讨论-≤1,1<-<2和-之2，求出ya 即可得出答案.【详解】(1)，函数f(x)=log3(3×+1)+x是偶函数，.f(x)=f(-x), 即log3+1)+ax=lo3a3+1)-ax恒成立，2ax=lo36*+1)-1ga3*+1)=log瑞=-×，a=- (2)若函数(x)的图像与函数y=x+b的图像没有交点，则方程og3(3*+1)-x=x+b无解， 即1og3(3*+1)-x=b无解，令h6)=1og3(3*+1)-x=log34"=1og(1+》 h(x)在R上是单调减函数，且1+>1，∴h(x)>0,∴b≤0： (3)由题意gx)=9+学+(k-2)·3*-1=(32+k.3,xe[0,1og32],令t=3*∈[1,2]则y=2+kt,te[1,21, :函数y=t2+k灶的图像开口向上，对称轴为t=-之则 ①当-≤1即k2-2时，当t=1时，函数的最小值ymn=k+1=0,解得k=-1: ②当1<-女2即-4<k<-2时，当t=-封，函数的最小值ym=一片=0，解得k=0(舍去)： ③当-22即k≤-4时，当t=2时，函数的最小值ymn=4+2t=0,解得k=-2(舍去)： 综上所述，存在k=-1满足条件. 20.(1)69,(2)①g0=,是-21+30(0<t≤3)，②28毫克/立方米. 【分析】(1)根据已知可得，一次喷酒4个单位的净化剂，浓度X=4y=〔92-4 0≤x≤3 4(16-2x-3),3<×≤7 分类讨论解出f0网)≥4即可：(2)①由题意可得g0=器-2+1+30(0<t≤3)， ②由于g)可化为，品+2(9-2)+12，然后利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】(1)根据已知可得，一次喷酒4个单位的净化剂，浓度f(x)=4y=( g总-40≤x≤3 4(16-2x-3),3<x≤7 则当0≤×≤3时，由，经-424，得x20,所以0≤x≤3，当3<×≤7时，由416-2-≥4， 得2*-3≤15，(x-3)lg2≤g15,得×≤6.9，所以3<×≤6.9， 综上，0≤x≤6.9，所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达6.9小时： (3)①由题意可知，第一次喷酒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为2×[，9-1刂=30（毫克/立方米）， 所以第二次喷酒t小时后空气中净化剂浓度为0=，磊-2+216-20+)]=器-21+30(0<t≤3)： ②g0=,号-21+30(0<t≤3)=器+18-21+12=，最+20-29+1222g×29-2+12=28, 32 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第8页共9页 当且仅当，器=2(9-2)，即【≈23时取等号，所以第二次喷洒2.3小时时空气中净化剂浓度达到最小值 28毫克/位方米.【点睛】此题考查了函数的实际应用、分段函数的意义和性质、基本不等式、分类讨论的思想， 考查分析问题的能力，解题的关键是正确理解题意，求出g)=号-2+216-2+)] =,器号-21+30(0<t≤3)，然后利用基本不等式求出其最小值，属于较难题 21.(1)×=1:(2)×≤(1-V②t或x≥(V2+1):(3)证明见解析. 【分析】(1)根据函数的变换可得函数解析式，解方程即可：(2)根据函数的变换可得函数解析式，即可得不等式 x2≥2xt+t引，分情况解不等式即可：(3)根据函数变化可得函数解析式，由h1(x)=2(x)可得 I[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]l If(x+t)-f(x)I-If(x)-f(x-t)l,la-bl lal-[bl, 可知ab≥0且a≥bl,结合函数y=f(x)在(-oo,0)上是严格增函数，可知当x<0时，f(x)-f(x-t)>0, 即可得f(x+t)-f(x)≥f(x)-f(x一t)>0,再利用定义法证明函数单调性。 【详解】(1)由已知可得gx)=3-3*-1=2×3x-1,又gx)=2,即2×3-1=2，解得x=0: (2)由已知h(x)=Ifx+)-f0x=lx+t)2-x2|=l2xt+l,又f(x)≥h(x),即x2≥l2xt+2l由已知t>0, 则当2xt+t2≥0，即x≥-时，x2≥2xt+t,解得x≤(1-V2)t或x≥(1+V2)北， 即-≤x≤(1-V2t或x2(1+V2):当2xt+t2<0,即x<-时，x22-2xt-只，即6x+)220, 不等式恒成立，即×<-艺综上所述，×≤(1-V②t或x之(W2+1): (3)由题意对函数y=fx)先作p变换可得u(x)=f(x)-fx-t), 再作ω变换，得到函数h1(x)=lu(x+t)-u(x)引=Ifx+t)-f(x)]-[f(x)-fx-tl, 对函数y=f(x)先作ω变换可得v(x)=lF(x+t)-fx儿，再作p变换，得到函数h2(x)=f(x+t)-f(x)-If(x)-fx-t儿， 所以对任意t>0,I[fx+t)-fx)]-[fx)-f(x-t=fx+t)-fx)-lF(x)-fx-t儿，当x<0时，x-t<x<0, 又函数y=fx)在(-o∞，0)上是严格增函数，则fx-t)<f(x),即fx)-fx-t)>0,由于la-bl=la-Ibl, 可知ab≥0且a≥bl,若其中b>0,则a≥b>0,即当f(x)-fx-t)>0时，f(x+t)-f)≥f(x)-f(x-t)>0, 任取x2>X1,令t=x2一x1,存在k∈N”,使x2-kt<0,由函数y=f(x)在(-∞，0)上是严格增函数， 可知f(x2-kt)-fx2-(k+1)t)>0,则fx2-k-1))-fx2-kt)>0, 依此类推可得f(x2)-f(x2-t)>0,即f(x2)-f(x1)>0,即函数y=f(x)在R上是严格增函数。 成功不必自我，功力必不唐捐： 第9页共9页