7.2：平行线与拐点及角平分线问题 讲义 2024--2025学年人教版七年级数学下册

数学培优进阶：(1)平行线遇到拐点问题解决办法 平行线遇到拐点怎么办？（有三种常见对付办法，请熟记：） 拐点位置加条平行线，平行线的性质来体现； 也可连接两点作截线，三角形的内角去转换； 还可连接延长作线段，用三角形外角来变换。 题例讲解： 已知直线AB∥CD，点E是直线AB，CD外一点，连接BE，CE，求∠B，∠C，∠E的关系 图1 图2 图3 图4 1、 拐点位置加条平行线，平行线的性质来体现； 图一 解：过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD，∴EF∥CD 又∵ EF∥AB ∴ ∠B=∠BEF 同理：∠C=∠CEF ∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF=∠BEC ∴∠B+∠C=∠BEC 图二 解：过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD，∴EF∥CD 又∵ EF∥AB ∴ ∠B+∠BEF=180° 同理：∠C+∠CEF=180° ∴∠B+∠BEF +∠C+∠CEF=180°+180° ∴∠B+∠C+∠BEC =360° 图三 思考：这样做辅助线该如何解答？ 解：过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD，∴EF∥CD 又∵ EF∥AB ∴ ∠B+∠BEF=180° 同理：∠C+∠CEF=180° ∴ ∠B+∠BEF-（∠C+∠CEF）=180°-180° 即∠B-∠C+∠BEF-∠CEF=0 ∠B-∠C=∠CEF-∠BEF ∴∠B-∠C=∠BEC 二、也可连接两点作截线，三角形的内角去转换 图一 解：连接BC， ∵AB∥CD ∴ ∠ABC+∠BCD=180° 又∵ 在△ BEC中，∠E+∠CBE+∠BCE=180° ∴∠ABC+∠BCD=∠E+∠CBE+∠BCE 即：∠ABC-∠CBE+∠BCD-∠BCE=∠E ∴∠ABE+∠DCE=∠BEC 图二 解：连接BC， ∵AB∥CD ∴ ∠ABC+∠BCD=180° 又∵在△BCE中，∠EBC+∠ECB+∠E=180° ∴∠ABC+∠BCD+∠EBC+∠ECB+∠E=180°+180° ∴∠ABE+∠ECD+∠E=360° 图三 解：连接BC， ∴∠ABE+∠EBC+ ∠ABC=360° ∵AB∥CD ∴ ∠ABC+∠BCD=180° 在△ BEC中，∠E+∠CBE+∠BCE=180° ∴ ∠ABC+∠BCD+∠E+∠CBE+∠BCE=360° ∴∠ABC+∠BCD+∠E+∠CBE+∠BCE=∠ABE+∠EBC+ ∠ABC ∴∠ABE-∠DCE=∠E 2、 还可连接延长作线段，用三角形外角来变换。 图一 解：延长BE，交DC于点F, ∵AB∥CD ∴∠B=∠BFC 在△CEF中,∵∠BFC+∠C=∠BEC ∴∠B+ ∠C = ∠BEC 图二 解：延长AB，交CE的延长线于点F ∠ABE=∠F+∠BEF 得： ∠ABE =∠F+180°-∠BEC ∠ABE+∠BEC-∠F=180° ∵AB∥CD ∴ ∠C+∠F=180° ∠ABE+∠BEC-∠F+∠C+∠F=180°+180° ∠ABE+∠BEC +∠C =360° 图三 解：延长BE交BC于点F的延长线于点F ∵AB∥CD ∴ ∠ABE=∠DFE 在△EFC中，∠DFE=∠E+∠C ∴∠ABE=∠E+∠C 图四： ∵AB∥CD ∴ ∠ABE=∠DFE 在△EFC中，∠DFE=∠E+∠C ∴∠ABE=∠E+∠C 对于图四，这种方法最简单，不再写其他方法，再遇到平行线加拐点问题，根据题意选取合适的方法求解。 (2)平行线遇到角平分线问题解决办法 平行线加角平分线，等腰三角形必出现 如图：已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F,过点F作FG平分 ∠ EFC交AB于点G，求证：EF=EG 证明：∵AB∥CD ∴ ∠EGF=∠GFC 又∵ FG平分∠EFC ∴∠GFC=∠EFG ∴∠EFG= ∠EGF 针对训练 平行线角拐点 一．解答题（共7小题） 1．已知，如图AB∥CD． ①由图（1）易得∠B、∠BED、∠D的关系 　 　（直接写结论）； ②由图（2）试猜想∠B、∠BED、∠D的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题： ③已知，AB∥CD，∠EBF＝2∠ABF，∠EDF＝2∠CDF．若∠E＝105°，则∠BFD＝ 　 　°． 2．（1）如图1，小明在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系． 小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB ∴∠APQ＝∠A（　 　）． ∵PQ∥AB，AB∥CD． ∴PQ∥CD（　 　）． ∴∠CPQ＝∠C． ∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C． 即∠APC＝∠A+∠C． （2）应用：在图2中，若∠A＝120°，∠C＝140°，则∠APC的度数为　 　； （3）拓展：在图3中，探索∠APC与∠A，∠C的数量关系，并说明理由． 3．如图，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1＝41°，求∠ABC的度数． 4．如图，已知∠1＝75°，∠2＝35°，∠3＝40°，求证：a∥b． 5．【探究】如图①，已知AB∥CD， （1）若∠APC＝75°，∠PAB＝29°，求∠PCD的度数． （2）求证：∠APC+∠PAE+∠PCF＝360°． 【应用】如图②，已知AB∥CD，若∠A＝148°，∠C＝54°，∠P＝52°，则∠E+∠F＝ 　 　． 6．已知，如图，点P在AB、CD两线之间，且在BC所在直线的左侧． （1）如图1，当AB∥CD，∠BPC＝α时， ①若BO平分∠ABP，CO平分∠DCP，则∠BOC＝　 　； ②若∠ABO∠ABP，∠DCO∠DCP，则∠BOC＝　 　； ③若∠ABO∠ABP，∠DCO∠DCP，则∠BOC＝　 　； （2）如图2，当AB与CD相交，点A、点D重合时，猜想∠BPC、∠B、∠C与∠A之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直接运用（2）的结论探究下列问题： ①若BO平分∠ABP，CO平分∠ACP，当∠BPC＝120°，∠BOC＝95°时，求∠A的度数； ②若∠ABO∠ABP，∠ACO∠ACP，当∠BPC＝α，∠BOC＝β时，求∠A的度数． 平行线加角平分线 7．已知：如图①，点E在AB上，且CE平分ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD． （探究）已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD求证：∠1＝∠2． （应用）如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数． 参考答案 一．解答题（共7小题） 1．解：①∠B、∠BED、∠D的关系是：∠BED＝∠B+∠D，理由如下： 过点E作EF∥AB，如图（1）所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D， ∴∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D， ∴∠BED＝∠B+∠D， 故答案为：∠BED＝∠B+∠D； ②∠B、∠BED、∠D的关系是：∠B+∠BED+∠D＝360°，理由如下： 过点E作EH∥AB，如图（2）所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥EH∥CD， ∴∠B+∠BEH＝180°，∠DEH+∠D＝180°， ∴∠B+∠BEH+∠DEH+∠D＝360°， ∴∠B+∠BED+∠D＝360°； ③设∠ABF＝α，∠CDF＝β，如图3所示： ∴∠EBF＝2∠ABF＝2α，∠EDF＝2∠CDF＝2β， ∴∠ABE＝∠ABF+∠EBF＝3α，∠CDE＝∠CDF+∠EDF＝3β， ∵AB∥CD， 根据①②的结论得：∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠E+∠ABE+∠CDE＝360°， ∴∠BFD＝α+β，105+3α+3β＝360°， 由105+3α+3β＝360°，得：α+β＝85°， ∴∠BFD＝α+β＝85°． 故答案为：85． 2．解：（1）过点P作PQ∥AB， ∴∠APQ＝∠A（两直线平行，内错角相等）， ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴∠CPQ＝∠C， ∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C， 即∠APC＝∠A+∠C， 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行； （2）如图2，过P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠A+∠APQ＝180°，∠C+∠CPQ＝180°， ∵∠A＝120°，∠C＝140°， ∴∠APQ＝60°，∠CPQ＝40°， ∴∠APC＝∠APQ+∠CPQ＝100°， 故答案为：100°； （3）∠APC＝∠C﹣∠A；理由如下： 如图3，设PC交AB于点E， ∵AB∥CD， ∴∠C＝∠PEB， ∴∠APC＝∠PEB﹣∠A＝∠C﹣∠A． 3．解：过B作BD∥l1， ∵AB⊥l1， ∴∠ABD＝90°， ∵l1∥l2，BD∥l1， ∴BD∥l2， ∴∠CBD＝∠1＝41°， ∴∠ABC＝∠CBD+∠ABD＝90°+41°＝131°， ∴∠ABC的度数为131°． 4．证明：∵∠4是∠2，∠3所在三角形的外角， ∴∠4＝∠3+∠2＝75°， 又∵∠1＝75°， ∴∠1＝∠4， ∴a∥b． 5．（1）解：过点P作PM∥BE， ∵PM∥BE， ∴∠APM＝∠PAB． ∵PM∥BE，AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠CPM＝∠PCD， ∴∠APC＝∠APM+∠CPM＝∠PAB+∠PCD． 又∵∠APC＝75°，∠PAB＝29°， ∴∠PCD＝75°﹣29°＝46°． （2）证明：结合（1）中辅助线， ∵PM∥BE， ∴∠PAE+∠APM＝180°． 同理可得，∠PCF+∠CPM＝180°， ∴∠PAE+∠APM+∠CPM+∠PCF＝360°， 即∠APC+∠PAE+∠PCF＝360°． 【应用】解：过点P作AB的平行线PH，延长BA至点N， 由（1）知， ∠E＝∠NAE+∠EPH，∠F＝∠FPH+∠C， ∴∠E+∠F＝∠NAE+∠EPH+∠FPH+∠C＝∠NAE+∠EPF+∠C． ∵∠BAE＝148°， ∴∠NAE＝180°﹣148°＝32°． 又∵∠C＝54°，∠EPF＝52°， ∴∠E+∠F＝32°+52°+54°＝138°． 故答案为：138°． 6．解：（1）①分别过点O，P作OE∥AB，PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴OE∥PQ∥AB∥CD， ∴∠ABP＝∠BPQ，∠DCP＝∠CPQ，∠ABO＝∠BOE，∠DCO＝∠COE， ∴∠ABP+∠DCP＝∠BPC，∠ABO+∠DCO＝∠BOC， ∵∠BPC＝α， ∴BO平分∠ABP，CO平分∠DCP， ∴∠ABO＝∠PBO∠ABP，， ∴∠BOC∠ABP∠DCP（∠ABP+∠DCP）∠BPC； ②同理①得：∠ABP+∠DCP＝∠BPC，∠ABO+∠DCO＝∠BOC， ∵∠ABO∠ABP，∠DCO∠DCP， ∴； ③同理①得：∠ABP+∠DCP＝∠BPC，∠ABO+∠DCO＝∠BOC， ∵，∠DCO∠DCP， ∴∠BOC∠ABP∠DCP（∠ABP+∠DCP）∠BPC； （2）∠A+∠B+∠C＝∠BPC， 理由如下：如图，作射线BF，分别过点P，A，C作PQ∥BF，AG∥|BF，CE∥BF， 则PQ∥BF∥AG∥CE， ∴∠ABF＝∠BAG，∠ACE＝∠CAG，∠PBF＝∠BPQ，∠PCE＝∠CPQ， ∴∠BPC＝∠PBF+∠PCE， ∵∠PBF＝∠ABF+∠ABP，∠PCE＝∠ACE+∠ACP， ∴∠BCP＝∠ABF+∠ABP+∠ACE+∠ACP＝∠BAC+∠ABP+∠ACP， 即原图中：∠A+∠B+∠C＝∠BPC； （3）由（2）可得：∠A+∠ABP+∠ACP＝∠BPC＝120°，∠A+∠ABO+∠ACO＝∠BOC＝95°， ∵BO平分∠ABP，CO平分∠ACP， ∴∠ABO＝∠OBP∠ABP，， ∴ （∠ABP+∠ACP）＝∠BOC＝95°， ∵∠A+∠ABP+∠ACP﹣（∠A+∠ABO+∠ACO）＝∠BPC﹣∠BOC＝25°，即 ， ∴∠ABP+∠ACP＝50°， ∴∠A＝∠BPC﹣（∠ABP+∠ACP）＝70°； ②∵∠ABO∠ABP，∠ACO∠ACP， ∴∠A+∠ABP+∠ACP＝∠BPC＝α，∠A+∠ABO+∠ACO＝∠BOC＝β， ∴∠A（∠ABP+∠ACP）＝∠BOC＝β， 同理①的：∠BPC﹣∠BOC＝α﹣β， ∴（∠ABP+∠ACP）＝α﹣β，即∠ABP+∠ACP（α﹣β）， ∴∠A＝∠BPC﹣（∠ABP+∠ACP）＝α（α﹣β）βα． 7．【探究】证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠2＝∠DCE， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠DCE， ∴∠1＝∠2； 【应用】解：∵BE平分∠DBC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵AE∥BC， ∴∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE， ∵∠ABC：∠BAE＝4：5， ∴∠ABC＝80°， ∴∠CBE＝40°， ∴∠E＝∠CBE＝40°． 学科网（北京）股份有限公司 $$