1.1 幂的乘除 第4课时 同底数幂的除法 课件 2024-2025学年北师大版七年级数学下册

第4课时 同底数幂的除法 1.1 幂的乘除 北师版（2024）七年级数学下册 复习导入 我们在前面学习了与幂有关的运算性质，这些运算都有哪些? 1.同底数幂乘法法则： （m，n都是正整数） 2.幂的乘方法则： （m，n都是正整数） 3.积的乘方法则： （n是正整数） 新课探究 一种液体每升含有 1012 个有害细菌。为了试验某种灭菌剂的效果，科学家进行了实验，发现 1 滴灭菌剂可以杀死 109 个有害细菌。要将 1 L 液体中的有害细菌全部杀死， 需要这种灭菌剂多少滴? 你是怎样计算的? 1012÷109 同底数幂的除法 同底数的幂相除，怎样计算呢? 观察这个算式，它有何特点? 是相同底数的幂相除。 尝试·思考 1.计算下列各式，并说明理由(m＞n)。 （1）1012÷109；（2）10m÷10n； （3）(-3)m ÷ (-3)n 。 （1）1012÷109 12 个 10 = 10×10×…×10 10×10×…×10 9 个 10 = 103 = 10×10×…×10 （12 – 9） 个10 由此，你发现了什么? 1012÷109=1012-9 （2）10m÷10n m 个 10 = 10×10×…×10 10×10×…×10 n 个 10 = 10m – n = 10×10×…×10 (m – n) 个 10 由此，你发现了什么? 10m÷10n=10m-n （3）(– 3)m÷ (– 3) n = (– 3) × (– 3) ×…× (– 3) (– 3) × (– 3) ×…× (– 3) n 个 (– 3) = (– 3) m – n m 个 (– 3) = (– 3) × (– 3) ×…× (– 3) (m – n) 个 (– 3) 由此，你发现了什么? (-3)m÷(-3) n=(-3)m-n 2.如果m，n都是正整数，且m＞n，那么am÷an等于什么?你是怎样得到的? am÷an m 个 a = a · a · … · a a · a · … · a n 个 a = am – n = a · a · … · a (m – n) 个 a 即am÷an= am – n(m＞n，且m，n都是正整数) 8 am ÷ an = am – n（a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m＞n）。 同底数幂相除，底数____，指数____ 。 不变 相减 同底数幂的除法: 同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算，因此同底数幂的除法可以用同底数幂的乘法来检验。 a可以是单项式或多项式，但不能为0。 例 5 计算 （1） a7÷a4； （2） (– x)6÷(– x)3； （3） (xy)4÷(xy)； （4） b2m+2÷b2 。 解：（1） a7÷a4 = a7 – 4 = a3； （2） (– x)6÷(– x)3 = (– x)6 – 3 = (– x)3 = – x3； （3） (xy)4÷(xy) = (xy)4–1 = (xy)3 = x3y3 ； （4） b2m+2÷b2 = b2m+2–2 = b2m 。 我们已经得到了当m>n时，am÷an(a≠0) 的运算法则，其中m、n都是正整数。 那么当m≤n时，am÷an(a≠0) 又如何计算? 思考·交流 计算：（1）23÷23；（2）a3÷a3。 解：（1）23÷23 = = 1， （2）a3÷a3 = = 1。 （1）23÷23=23-3=20， （2）a3÷a3=a3-3=a0， 20=1 a0=1 根据除法意义计算： 根据同底数幂除法法则计算： 你能得出什么结论? 我们规定: 任何一个不等于0的数的0次幂都等于1。 注意: 零指数幂的底数可以是单项式，也可以是多项式，但是不能为0。 数学语言: a0=1(a≠0) 思考·交流 计算：（1）23÷25；（2）a3÷a5。 23÷25 = = ， a3÷a5 = = 。 23÷25=23-5=2-2， a3÷a5=a3-5=a-2。 =2-2 =a-2 根据除法意义计算： 根据同底数幂除法法则计算： 你能得出什么结论? 我们规定: 任何不等于零的数的-p(p是正整数)次幂等于这个数的p次幂的倒数。 同底数幂的除法法则： 数学语言: a-p=(a≠0) am ÷ an = am – n（a ≠ 0，m，n 都是正整数） 例 6 用小数或分数表示下列各数： （1）10 –3；（2）70×8 –2；（3）1.6×10 –4 。 解：（1） ； （2） ； （3） （1）x12÷x4；（2）(-y)3÷(-y)2；（3）-(k6÷k6) ； （4）(-r)5÷r4；（5）m÷m0；（6）(mn)5÷(mn) 。 1.计算： 解：（1）x12÷x4 =x12-4 = x8； （2） (-y)3÷(-y)2 =-y； （3） -(k6÷k6) =-1； 随堂练习 （1）x12÷x4；（2）(-y)3÷(-y)2；（3）-(k6÷k6) ； （4）(-r)5÷r4；（5）m÷m0；（6）(mn)5÷(mn) 。 1.计算： （4） (-r)5÷r4 =-r5÷r4=-r ； （5） m÷m0=m÷1= m； （6） (mn)5÷(mn) = (mn)5-1 =(mn)4=m4n4。 有的细胞的直径只有 1 微米（μm）， 即 0.000 001 m； 某种计算机完成一次基本运算的时间约为 1纳秒（ns）， 即 0.000 000 001 s； 一个氧原子的质量为 0.000 000 000 000 000 000 000 000 026 57 kg 。 尝试·思考 你能用负指数表示这些数吗? 用科学记数法可以很方便地表示一些绝对值较大的数，同样，用科学记数法也可以很方便地表示一些绝对值较小的数。 因为 = 10 – 1 ； = 10 – 2； = 10 – 3 …… 0.000 001 = = 1×10 – 6， 0.000 000 001 = = 1×10 – 9， 0.000 000 000 000 000 000 000 000 026 57 = 2.657× = 2.657×10 – 26 。 一般地，一个小于 1 的正数可以表示为 a× 10n的形式， 其中 1 ≤ a < 10， n 是负整数。 大于-1的负数也可以用类似的方法表示，如-0.000 002 56=-2.56×10-6。 1. 用科学记数法表示下列各数: （1）0.000 003 2 = （2）– 0.000 000 14 = （3）– 680 000 000 = （4）314 000 000 000 = 3.2×10 – 6 – 1.4×10 – 7 – 6.8×108 3.14×1011 随堂练习 2. 1个电子的质量约为0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg，请用科学记数法表示这个数。 解： 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 =9.11×10-31。 随堂演练 1. （1）计算： x10÷x4÷x2 = ______。 （2）(– ax)5÷(ax)3 = ______。 x4 – a2x2 2. 计算： （1）(xy)5÷(xy)3÷(– xy)； （2）(x – y)10÷(y – x)4·(x – y)2。 原式 = – xy 原式 = (x – y)8 3. 用科学记数法表示下列各数： （1）0.002 1； （2）0.000 1； （3）0.000 305； （4）– 0.000 000 08。 2.1×10 – 3 1×10 – 4 3.05×10 – 4 – 8×10 – 8 4. 写出下列各数的原数： （1）1.35×10 – 6 ； （2）5.0×10 – 3。 5. 1 纳米 = 10 – 9 米，将 0.003 05 纳米用科学记数法表示为_____________米。 0.000 001 35 0.0050 3.05×10 – 12 6. 若 2x = 3，2y = 6，2z = 12，求 x，y，z 之间的数量关系。 解：因为 2y÷2x = 2y – x = 6÷3 = 2， 2z÷2y = 2z – y = 2，所以 2y – x = 2z – y， 即 y – x = z – y，所以 2y = x + z 。 7. 一根头发丝的直径为 6 万 nm（纳米），某种生物细胞的直径为 1 μm（微米）。请你选择适当的方法说明两者之间的差距（1 nm = 10 – 9m，1 μm = 10 – 6m）。 解：因为 6 万 nm = 6×104×10 – 9 m = 6×10 – 5 m， 所以 6×10 – 5÷(1×10 – 6) = 6×10 – 5+6 = 60， 即一根头发丝的直径是该种生物细胞直径的 60 倍。 课堂小结 同底数幂的除法 am ÷ an = am-n（a≠0，m，n 都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 性质 注意 底数相同时 直接应用法则 底数不相同时 先变成同底数再应用法则 逆用 $$