山东省菏泽市郓城实验中学2024-2025学年高二上学期期末数学模拟练习试卷02

山东省菏泽市郓城实验中学2024-2025高二数学上学期期末模拟练习试卷02 一、单选题 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（   ）. A． B． C． D． 6．已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，分别为的中点，且，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈长度为（    ） A． B． C． D． 8．已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点P满足，其中．若，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D．16 二、多选题 9．若为任意实数，则方程表示的曲线可能是（      ） A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 10．已知空间向量，，下列结论错误的是（    ） A． B．，夹角的余弦值为 C．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D．在上的投影向量为 11．下面正确的是（   ） A．在等比数列中，若，，则 B．等差数列的前项和为，且，则的最大值为 C．在等差数列中，若，，则 D．在等比数列中，若，，则 三、填空题 12．已知等差数列的前项和为，且，，则． 13．设双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为、，若，且 ，则双曲线的渐近线方程为. 14．已知正四面体ABCD的棱长为6，P是空间一点，若，则点P到平面BCD的距离的最大值为. 四、解答题 15．已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 16．已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围． 17．已知数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列， （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）若成等比数列，求数列中的最大项及此时的值． 18．在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，其中是棱的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值； (3)求点到平面的距离； 19．已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为， (1)求C的方程； (2)已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点； (3)设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程． 答案第2页，共2页 答案第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 《山东省菏泽市2024-2025高二数学上学期期末模拟练习试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A C B B C B ACD AC 题号 11 答案 AB 1．A 【分析】写出抛物线的标准方程，求出准线方程. 【详解】由题意，抛物线的标准方程为， 所以抛物线的准线方程为. 故选：A. 2．A 【分析】利用推出关系去判断充要关系即可. 【详解】当时，是等差数列，不是等比数列， 当既是等差数列又是等比数列，则， 故“既是等差数列又是等比数列”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 3．A 【分析】根据的中点坐标利用点差法求得，再由计算可得答案. 【详解】设椭圆方程为， 易知直线的斜率为； 设，则，所以，； 易知，两式相减可得； 即，可得， 又，可得，所以； 即椭圆的方程为. 故选：A 4．C 【分析】根据数列递推式，利用迭代法（累加法）求出，化简计算，再利用双勾函数的单调性，即可求得的最小值. 【详解】因， 则 ， 则， 因函数在上单调递减，在上单调递增， ，，故当时的最小值为. 故选：C. 5．B 【分析】根据给定条件，过点作于，结合点到直线的距离公式及双曲线定义求出的关系，即可求出双曲线的离心率. 【详解】令双曲线的半焦距为，则， 令直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为， 于是，， 过点作于,则，而为线段的中点, 所以 因为，所以， 由双曲线定义得，即，解得. 所以该双曲线的离心率为. 故选：B. 6．B 【分析】根据垂径定理可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 设圆心为，半径为，则，， ,所以由垂径定理可得， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为， 故选：B. 7．C 【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，同理可得，即可得解. 【详解】依题意，，， 所以，，， 又， 所以 ， 所以，同理可得， 所以丝线缠一圈长度为. 故选：C 8．B 【分析】根据已知分析得P在平面上，且，应用向量数量积的运算律及已知可得，且，再由，即可求目标式最值. 【详解】由题设，易得点P在平面上，且， 则，得． 由直四棱柱的性质，得平面，平面， 所以，则． 因为， 所以的最小值为． 故选：B 9．ACD 【分析】根据题意，结合4个曲线的标准方程，以及的范围，一一判断即可. 【详解】当时，由，得，方程表示圆，故A正确； 当时，由，得，方程表示双曲线，故D正确； 当时，由，得，方程表示焦点在轴上的椭圆，故C正确； 由抛物线的标准方程或，结合，可知方程不可能表示抛物线，故B错误. 故选;ACD. 10．AC 【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量的坐标表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可. 【详解】对于A，因为，， 所以，，故A错误； 对于B，因为，， 所以，， ， 设与的夹角为，则，故B正确； 对于C，因为，所以，又，， 则，解得，故C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确. 故选：AC. 11．AB 【分析】由等比中项的性质可得A正确；由等差数列的性质可得B正确；由等差的性质可得C错误；由等比数列下标的性质可得D错误； 【详解】对于A，因为为等比数列，所以，故A正确； 对于B，因为，，而， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，因为为等差数列，所以， 所以，故C错误； 对于D，因为为等比数列，所以，故D错误； 故选：AB. 12． 【分析】根据等差数列的前项和为，所以成等差数列，代入数据即可求解. 【详解】因为等差数列的前项和为， 所以，，，成等差数列， 所以，解得， 所以，所以，解得. 故答案为：. 13． 【分析】由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式得到，再由双曲线的定义和向量的数量积为零得到，最后结合三角形的面积公式可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】设，则，即， 双曲线的渐近线方程为， 所以， 又，平方后得， 又在中，由可得，所以， 两式相减，整理得，所以， 因为，所以，可得，故， 因此，双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 14． 【分析】若的中点分别为，且的中点为，应用向量加法的几何意义可得，进而确定的轨迹及的位置，结合已知求点P到平面BCD的距离的最大值. 【详解】由，即， 若的中点分别为，且的中点为，则， 所以，即在以为球心，为半径的球面上， 由题设，易知都在面内，则面， 又面，即面，即，同理， 而，，易知，故为正四面体外接球球心， 到面BCD的距离， 到面BCD的距离，则，所以， 综上，点P到平面BCD的距离的最大值为. 故答案为： 15．(1) (2)或 【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案. 【详解】（1）设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到的距离， 解得，故切线方程为，即， 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用共渐近线双曲线系的方程可求双曲线的方程； （2）联系直线方程和双曲线方程后利用判别式和韦达定理可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为与, 故设双曲线方程为：， 因为双曲线过，故即，故双曲线方程为：. （2）由可得， 因为直线与双曲线右支交于不同两点， 所以，故. 17．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）最大项为，或． 【分析】（1）利用前项和与通项公式之间的关系结合累乘法求解即可. （2）（ⅰ）利用给定条件求出，再利用裂项相消法求解即可. （ⅱ）利用给定条件结合对勾函数的性质判断的单调性，再求最大项和对应的值即可. 【详解】（1）因为，所以当时，， 两式相减得，，整理得， 即，而当时，， 经检验满足此式，所以. （2）（ⅰ）由（1）得，，所以， ，， 所以. （ⅱ）由（ⅰ）得，，所以， 因为成等比数列，所以，即， 所以，故， 由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 则当时单调递增，当时单调递减， ，， 因此最大项为，此时或． 18．(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）连接交于点，连接，则由三角形的中位线定理可得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由已知可证得，且，所以以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式即可求解； （3）利用空间向量中的距离公式可求点到平面的距离. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面， 则平面； （2）直线平面平面， 所以，且， 则以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系； ，， 所以， 设平面的法向量为， 由，得， 令，得，且， 所以， 直线与平面夹角的正弦值为； （3）因为， 且平面的法向量为， 则点到平面的距离. 19．(1) (2)证明见解析 (3)点的轨迹是圆，该圆的方程为 【分析】(1)根据椭圆焦点坐标得，离心率为，得，从而求出，得出椭圆方程； (2)写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰一个公共点； (3)解法一：利用设直线方程联立椭圆方程的方法，根据判别式等于0，即可求解. 解法二：利用椭圆定义和线段垂直平分线的性质结合光学性质，得到 ，从而得到点的轨迹和轨迹方程. 【详解】（1）因为椭圆左、右焦点分别为，，所以，又因为椭圆C的离心率为， 得，所以椭圆方程为. （2）由，得直线斜率为，中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 联立垂直平分线方程和椭圆方程 得，， ，所以直线与椭圆相切， 线段的垂直平分线与C恰有一个公共点； （3）解法一：设， 当时，的垂直平分线方程为， 此时或； 当时，的垂直平分线方程为， 联立， 得， 即 因为线段的垂直平分线与C恰有一个公共点， 故， 即， 则， 即， ， 即， ， 而，也满足该式， 故点的轨迹是圆，该圆的方程为，即. 解法二：设线段的垂直平分线与C恰有一个公共点为P， 则当点P不在长轴时，线段的垂直平分线即为点P处的切线， 也为的角平分线，      作的角平分线，根据椭圆的光学性质得， ，则， 故， 所以三点共线，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 当P在椭圆长轴上时，M点为或也满足， 故点的轨迹是圆，该圆的方程为. 【点睛】方法点睛：判断直线与椭圆公共点的个数问题的方法是： (1)首先根据题意得到直线和椭圆方程； (2)联立直线和椭圆方程，消元得到一元二次方程； (3)计算，根据，判断直线与椭圆公共点的个数. 答案第8页，共8页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$