1.3 线段的垂直平分线（第一课时）课时训练2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第一章三角形的证明3.线段的垂直平分线（第一课时） 课时训练 知识点：线段的垂直平分线的性质定理及判定定理。 本课时训练包括5道选择题，5道填空题，5道解答题。建议用时60分钟。 一、单选题 1．如图，下列条件不能判定直线为线段的垂直平分线的是（   ） A．且 B．且 C．且平分 D．且 2．如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为（   ） A．7 B．10 C．11 D．12 3．如图，在中，，，垂直平分.如果，那么的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．如图，的边在数轴上，的垂直平分线分别交，于点，，点与重合，点与1重合，连接．若的周长为24，则的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 5．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的动点，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．11 二、填空题 6．如图，在中，，点D恰好在线段的垂直平分线上，则 7．如图，在中，，，AB的垂直平分线交BC于点D．若，则AC的长为 ． 8．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线，交于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线，交于点N．连接，．若，则 ． 9．如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，②作直线交边于点，若，则的长是 ． 10．如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 三、解答题 11．2024年是新一轮全国文明城区创建工作启动之年，也是我区创城工作接续奋斗，深化之年．然而目前，一些小区内仍存在随意晾晒的现象，影响了小区环境，为解决小区“晾晒难”的问题，某小区物业公司采取如下措施： 如图1，在小区内道路旁设立“公共晾晒点”，安装“共享晾衣架”，使得道路附近的两栋住宅楼，到“公共晾晒点”的距离相等． (1)在图2中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点的位置； (2)确定点位置的依据为______． 12．如图，已知，为边上一点， (1)请用尺规作图的方法在边上求作一点，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)已知，周长为24，求的周长． 13．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求 ． 14．如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接． (1)若的周长为19，的周长为7，求的长； (2)若，， ①求的度数； ②若，求的长． 15．在平面直角坐标系中，点，，，点B在线段上，连接，点在上，连接，． (1)求证：垂直平分； (2)若，求长．（用含a的式子表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章三角形的证明3.线段的垂直平分线（第一课时）课时训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 A C C C B 1．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键．结合全等三角形的判定与性质，根据线段垂直平分线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、∵且， ∴直线是线段的垂直平分线，故A符合题意； B、∵且， ∴直线是线段的垂直平分线，故B不符合题意； C、∵且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线，故C不符合题意； D、∵且， ∴直线是线段的垂直平分线，故D不符合题意； 故选：A． 2．C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的性质，线段的和与差等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 由题意可知是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，因而可得的周长，据此即可得出答案． 【详解】解：分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，， 是线段的垂直平分线， ， 的周长 ， 故选：． 3．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质；由线段垂直平分线的性质得，进而有，则有； 进一步由含30度角直角三角形的性质求得，最后可求得结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴； ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而求出的长，根据的周长求出的长，推出的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∵点与重合，点与1重合， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为； 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用以及线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，连接，由题意得，推出，即可求解； 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：B 6． 【分析】本题考查了角直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据角直角三角形的性质得到，再由线段的垂直平分线的性质得到． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点D恰好在线段的垂直平分线上， ∴， 故答案为：． 7．4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据等边对等角和三角形外角的性质推出，则． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 8．/40度 【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，线段垂直平分线的性质．利用基本作图判断、分别垂直平分和是解决问题的关键．利用基本作图得到垂直平分，垂直平分，则，，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和可求解． 【详解】解：由作法得垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9．3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理和线段垂直平分线的性质是解题关键．连接，先根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 10．14 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出动点的位置．由图形可得：周长，因为，所以求出的最小值即可求出周长的最小值，根据题意知点A关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，的值最小，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵直线垂直平分， ∴A，B关于直线对称， ∴，， 在中， ， ∴当P和E重合时，C、P、B三点共线， 此时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长的最小值， 故答案为：14． 11．(1)见解析 (2)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】题目主要考查线段垂直平分线的作法及性质，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）根据题意作线段的垂直平分线与直线l的交点即为所求； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：点的位置如图所示： （2）确定点位置的依据为到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 12．(1)图见解析 (2)18 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质： （1）作的中垂线，交于点，即可； （2）根据中垂线的性质，得到的周长，进行求解即可． 【详解】（1）解：作的中垂线，交于点，则：， ∴； 故点即为所求； （2）∵，周长为24， ∴， ∵， ∴的周长． 13．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接， 由垂直平分线的性质得，可知，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可求证； （）设，则，根据三角形的外角性质可得，根据等边对等角得，最后通过三角形的内角和定理即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质，， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 14．(1) (2)①；② 【分析】（1）先证明，，结合的周长为19，的周长为7，可得，从而可得答案； （2）①先求解，然后利用等边对等角和三角形内角和定理得到，进而求解即可，②利用由30度角的直角三角形的特征进行计算即可． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为19，的周长为7， ∴，， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，是直角， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 15．(1)见解析 (2)． 【分析】（1）延长交于H，过点D作，，则，进而得是的平分线，再根据等腰直角三角形的性质即可得出结论； （2）先证明，在根据得，则，由此得，然后再利用含有角的直角三角形的性质及勾股定理可求出的长． 【详解】（1）证明：延长交于H，过点D作，，如图所示： ∵点， ∴， ∴点D在的平分线上， ∴是的平分线， ∵点，，， ∴， ∴，， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，坐标与图形，含有角直角三角形的性质，勾股定理，理解线段垂直平分线的定义，坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用含有角直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$