湖北省咸宁市崇阳县第二高级中学2024-2025学年高二上学期数学期末模拟卷(一)

· 崇阳二中高二上学期数学期末模拟卷（一） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列，，，2，，…则该数列的第2025项为（   ） A．45 B． C．55 D． 2．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（   ）. A．9 B．1 C．1或9 D．2 3．圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的 最大值为（    ） A． B． C． D． 6． 抛物线 的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条 渐近线，则 的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知等差数列}的前n项和为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的 排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋 元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落 一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，从上 到下，顶上一层1个球，第二层3个球，第三层6个球…），若一“落 一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为（    ）    A．190 B．171 C．153 D．136 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出 的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得 部分分，有选错的得0分． 9．下列说法命题正确的是（   ） A．已知，，则在上的投影向量为 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．已知三棱锥，点为平面上的一点，且， 则 D．若向量（，，是不共面的向量）则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 10．下列命题正确的是（   ） A．设A，B是两个随机事件，且，，若，则A，B是相互独立事件 B．若，，则事件A，B相互独立与A，B互斥有可能同时成立 C．若三个事件A，B，C两两相互独立，则满足 D．若事件A，B相互独立，，，则 11．已知双曲线左，右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，在第一象限，在第四象限，则（    ） A．该双曲线的渐近线方程为 B．若，则到轴的最大距离为 C．若，则的周长为20 D．点到两条渐近线的距离之积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线的离心率为，则 ． 13．已知为等差数列的前项和，且，则 . 14．已知抛物线的焦点为为圆上的动点，为上的动点，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知直线，直线平分圆． (1)若，直线与圆交于，两点，求的周长； (2)若直线过定点，过点作圆的切线，求定点的坐标及切线方程． 16． （15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， 为等边三角形且垂直于底面. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 17. （15分） 甲乙两人进行答题活动，每人各答两道题.已知甲答对第1道题的概率为，答对第2道题的概率为，乙答对每道题的概率都为.甲乙答对与否互不影响，各题答对与否也互不影响. （1）求甲答对一道题的概率； （2）求甲乙两人答对题目的个数相等的概率. 18．（17分）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 19．（17分）已知定圆，定点，动圆满足在圆内部与圆内切，且过点，设动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)设C与x轴交于A，B两点（A在B点左侧），直线l交C于M，N两点（M，N均不在x轴上），设直线AM，BN的斜率分别为，，若，证明：直线过定点． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 · 2025年高二数学上学期期末模拟卷（一）参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．A 6．B【详解】抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，根据两焦点坐标可得该直线斜率为，因为两焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，所以，解得， 7．C【详解】由题意可得，则，因为，可得，则，设等差数列的公差为，则，由题意可得，可得.即的取值范围是. 8．B.【详解】设“落一形”三角锥垛从顶上一层开始，依次往下的各层球的个数形成数列,，，，，，…，由此得，即，则，所以若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为171. 9．ACD【详解】B选项，，故，或，B错误；C选项，点为平面上的一点，设，即，所以，又，故，故，C正确；D选项，由题意得，设，则，解得，则在基底下的坐标为，D正确. 10．AD【详解】对于B选项，若、互斥，则，. 若、相互独立，则（因为，）. 所以事件，相互独立与，互斥不可能同时成立，B选项错误.  对于C选项，设样本空间，每个样本点的概率为. 定义，；，；，.，. ，. ，，所以A、B、C两两相互独立. 而，，，此时. C选项错误. 11．ACD【详解】由双曲线方程可知：，且焦点在x轴上，则.对于选项A：该双曲线的渐近线方程为，故A正确；对于选项B：若，可知点在以为直径的圆上或圆内，因为以为直径的圆的方程为，联立方程，解得，当时，直线的斜率，所以到轴的最大距离为，故B错误；对于选项C：因为，，则的周长为，故C正确；对于选项D：设，则，即，可得点到渐近线的距离，点到渐近线的距离，所以点到两条渐近线的距离之积为，故D正确； 12．或 13． 14．3【详解】经过作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图：由抛物线的定义可知：，圆心，半径为，当共线且经过圆的圆心时最小，此时取得最小值，所以最小值为：． 15．(1)(2)，切线方程为或 【详解】（1）当时，直线的方程为，圆心在直线上，则，解得，所以圆心的坐标为，半径为2．圆心到直线的距离，所以，所以的周长为．（2）直线的方程为，即，由得，所以定点的坐标为．当切线斜率不存在时，到的距离为2，易得直线为圆的一条切线．当切线斜率存在时，由，解得，则直线的方程为．故所求切线的方程为或． 16．(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：如图所示，取中点，为等边三角形，， 又面垂直于底面，交线为，得面，又面.底面为直角梯形，，，，，，所以，，，所以，得，又，面，得面，面，所以.（2）由（1）知面，不妨设，则，以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系， 得，，，，，；设平面的一个法向量为，则，，可取；设平面的一个法向量为，则，即，可取.设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的正弦值为. 17.【答案】(1) (2) 【解析】(1)记甲答对第i 题为事件 Ei (i =1,2) 则P(E1)= P(E2)= ,记甲答对i 道题为事件 Ai (i = 0,1,2) , 则 A1 = E1E (—)2 + E (—)1E2 ,其中 E1E (—)2 与 E (—)1E2 互斥, E1,E2相互独立, (2分) 所以甲答对一道题的概率为P(A1) = P(E1E (—)2 ) + P(E (—)1E2) =+ (5 分) (2)记乙答对i 道题为事件 Bi (i = 0,1,2) ,则P(A0) , P(A1) =,P(A2) .P(B0) , P(B1) =,P(B2) (9 分) 记甲乙两人答对题数相等为事件C , 则C = A0B0 + A1B1 + A2B2 , 且 A0B0、A1B1、A2B2 两两互斥,Ai与Bi (i = 0,1,2)相互独立, (12 分) P(C) = P(A0B0 ) + P(A1B1) + P(A2B2)= 18．(1)证明见解析，；(2)；(3). 【详解】（1）由，则，又，所以数列是首项、公差均为的等差数列，则，所以. （2）由，则，所以，所以.（3）由（1）（2），则，整理得恒成立，令，则，当时，当时，当时，所以，即的最小值为，综上，. 19．(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：易知圆的圆心为，半径为4，由题得，所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距为2a，2b，2c，其中，，，所以的方程为． （2） 证明，如图，易知直线l的斜率不为0，设的方程为，，，联立得， ，则，， 又可知点，，所以，，由得，又，所以，即， 又，，代入得，整理可得， 因为M，N两点不在轴上，所以， 所以， 化简得，所以， 直线的方程为，故直线l恒过定点． 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$