精品解析：内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题

鄂尔多斯市西四旗2024~2025学年第一学期期末联考试卷 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第五章第4节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的概念和运算求解出结果. 【详解】由，，得． 故选：C． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式将转化为锐角，然后再计算出结果. 【详解】. 故选：A. 3. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入已知点坐标求得解析式，然后计算函数值． 【详解】设，因为幂函数的图象过，则有，所以，即，所以. 故选：D. 4. 已知命题：，，命题：，，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】判断出命题的真假，即可得以及的真假，即得答案. 【详解】因为当时，成立，故命题为真命题，为假命题； 当时，，故命题：，为假命题，为真命题. 故选：B 5. 设，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造指数函数和对数函数比较大小. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即， 因为函数在上单调递减，且，所以，即； 因为函数在上单调递增，且，所以，即； 所以. 故选B. 6. 已知某种蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数底数），若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知类型函数式，代入条件，结合指数幂的运算，即可直接求解所求结果. 【详解】由题意得：， 两式相除得， 则． 即该品种蔬菜的保鲜时间大约为小时. 故选：C 7. 当，函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出，在同一坐标系下的图象求得交点个数可得. 【详解】由，得， 作出，，的图象， 由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4. 故选：B. 8. 已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数性质及区间单调性可得，两边平方求解集. 【详解】依题意，得在上为增函数，且为偶函数， 所以，即， 所以，两边平方得，解得． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的解集得出对应方程的根，由根与系数的关系得出与的关系， 可判断AD，再由不等式解集中的元素代入可判断BC. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，，4是方程的两根， 所以，，则，A错误； ，则，D正确； 因为，所以，B正确； 因为，所以，，两式相加得， 即，C正确． 故选：BCD． 10. 已知，，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用，的关系，结合平方关系判断各项正误. 【详解】因为，则. 对于A，，可得，A正确； 对于B，由A可知，，则， 所以，则，B正确； 对于C，，可得则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇偶性定义判断A，根据指数函数的单调性与二次函数性质求最值判断B，由复合函数的单调性判断C，计算后即可判断D． 【详解】当时，，定义域为，因为，所以为偶函数，A正确； 因为，所以，则有最大值，没有最小值，B错误； 因为在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，C正确； 当时，，所以的图象恒过定点，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为，其弧长是，则该扇形的面积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，先求得扇形半径，然后由面积公式，即可得到结果. 【详解】设扇形的半径为，则，所以， 所以扇形面积为． 故答案为：． 13. 已知，，则_________________.（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据指数与对数的关系得到，再根据对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以 . 故答案为： 14. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得是周期为4的周期函数，然后结合周期性、奇偶性即可求得. 【详解】因为函数为R上的奇函数，所以， 故， 函数是周期为4的周期函数. 当时，， 则 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）先解二次与一次不等式化简集合，再进行集合的补、并运算即可得解； （2）根据题意得到是的真子集，从而利用集合的包含关系得到关于的不等式组，解之即可得解. 【小问1详解】 由题意知， ， 若，则， 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以为的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得， 即的取值范围是. 16. 设函数. （1）求的最小正周期，图象的对称中心； （2）求的单调递减区间. 【答案】（1）；. （2），. 【解析】 【分析】（1）根据周期公式求周期，令，，求得对称轴； （2）根据余弦函数单调区间求法求出单调区间. 【小问1详解】 的最小正周期为； 令，，解得，， 故的图象的对称中心为. 【小问2详解】 令，， 解得，， 故的单调递减区间为，. 17. 为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为1米的矩形的面积. （1）求关于的函数； （2）若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？ 【答案】（1） （2）小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求 【解析】 【分析】（1）由题意，根据矩形的面积公式，建立方程，整理为函数，可得答案； （2）利用基本不等式，整理为关于的不等式，可得答案. 【小问1详解】 由题意可知，， 所以，又，所以， 所以. 【小问2详解】 法一：由，得， 解得，或（舍去），所以， 当且仅当时，取得等号. 故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求. 法二：， 当且仅当，即时等号成立， 此时， 故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求. 18. 已知函数. （1）若，求的值； （2）判断在上的单调性并利用定义法证明； （3）求在上的最大值. 【答案】（1）； （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且，所以， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． （3）. 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求出进而求出，再开方即可求解. （2）先求出，再利用定义法证明函数的单调性求出单调区间即可. （3）利用（2）中结论，根据函数的单调性，结合，分、两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，即 因为，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，由（2）知在上单调递减，所以； 当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以若，则， 若，则． 综上，. 19. 现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有（且）. （1）当时，计算； （2）证明：，，，都有； （3）设，若在区间（）上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）5 （2）证明：因为， ， 所以. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算即可； （2）根据新定义及对数的运算性质证明； （3）根据新定义化简函数解析式，再由对数型复合函数的性质求值域即可得解. 【小问1详解】 解：当时，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由新运算可知， . 令，则在上单调递减， 由于在上的值域为，所以，则， 所以在上单调递增，则，即， 整理得，，所以， 将代入，得， 同理得，. 所以，是函数在上的两个不同的零点， 则，解得, 所以， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能力是关键，对能力要求很高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄂尔多斯市西四旗2024~2025学年第一学期期末联考试卷 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第五章第4节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. 9 C. D. 4. 已知命题：，，命题：，，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 5. 设，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知某种蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数底数），若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 7. 当，函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为，其弧长是，则该扇形的面积是________． 13. 已知，，则_________________.（用表示） 14. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 16. 设函数. （1）求的最小正周期，图象的对称中心； （2）求的单调递减区间. 17. 为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为1米的矩形的面积. （1）求关于的函数； （2）若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？ 18. 已知函数. （1）若，求的值； （2）判断在上的单调性并利用定义法证明； （3）求在上的最大值. 19. 现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有（且）. （1）当时，计算； （2）证明：，，，都有； （3）设，若在区间（）上的值域为，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $