7.3复数的三角表述（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

7.3复数的三角表述 1．将代数形式的复数z＝2i改写成三角形式为(　　) A．2＋cos ＋isin 　　 B．2 C．2 D．2 2．【多选题】复数z＝－i的三角形式可以是(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 3．复数z＝的代数形式为(　　) A．1－i B．1＋i C．1 D．i 4．复数z＝，将复数z对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为(　　) A. B.i C．1 D．i 5．设复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别是α，β，则tan(α＋β)等于(　　) A. B．－ C．－1 D．1 6．复数z＝－1＋的辐角的主值为________． 7．2(cos 15°＋isin 15°)×5＝________(用代数形式表示)． 8．8i÷2(cos 45°＋isin 45°)＝________(用代数形式表示)． 9．复数的代数形式与三角形式互化： (1)－1＋i； (2)2. 10．设复数z＝(1－i)5，求z的模和辐角的主值． 11．【多选题】下列各角可以作为复数3－3i的辐角的是(　　) A．－ B. C．－ D. 12．复数z＝1－cos θ＋isin θ(π<θ<2π)的辐角的主值为(　　) A.－ B. C.－ D.－ 13．【多选题】在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，则顶点C对应的复数可能是(　　) A.＋i B.＋i C.＋i D.＋i 14．已知向量对应的复数为－2i，把绕原点O按顺时针方向旋转45°后，再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数为________(用代数形式表示)． 15．【多选题】已知复数z对应的向量为，复数z1＝(－1－i)z对应的向量为，复数z2＝z对应的向量为，则下列说法正确的是(　　) A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到 B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到 C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到 D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到 16．在复平面内，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(其中O为原点)．已知点Z2对应的复数z2＝1＋i，求Z1和Z3分别对应的复数z1，z3. 1．(2024·全国甲卷，理)设z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　) A．10i　　　　　　　 B．2i C．10 D．－2 2．(2024·全国甲卷，文)设z＝i，则z·＝(　　) A．－i B．1 C．－1 D．2 3．(2024·新高考Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C. D．2 4．(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 5．(2024·北京)已知＝i－1，则z＝(　　) A．1－i B．－i C．－1－i D．1 6．(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　) A．－i　　　　　　 B．i C．0 D．1 7．(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．(2023·全国甲卷，理)若复数(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 9．(2023·全国乙卷，文)|2＋i2＋2i3|＝(　　) A．1 B．2 C. D．5 10．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 11．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 12．(2024·天津)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝________． 13．(2024·上海)已知虚数z，其实部为1，且z＋＝m(m∈R)，则实数m为________． 14．(2023·天津)已知i是虚数单位，化简的结果为________． 15．(2013·上海)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3复数的三角表述 1．将代数形式的复数z＝2i改写成三角形式为(　　) A．2＋cos ＋isin 　　 B．2 C．2 D．2 答案　D 解析　因为2i在复平面内所对应的点在虚轴正半轴上，所以易知|2i|＝2，arg(2i)＝，从而可知2i＝2.故选D. 2．【多选题】复数z＝－i的三角形式可以是(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 答案　CD 解析　∵r＝＝2，cos θ＝，sin θ＝－，∴θ可取或－. 3．复数z＝的代数形式为(　　) A．1－i B．1＋i C．1 D．i 答案　B 解析　z＝＝[cos(75°－30°)＋isin(75°－30°)] ＝(cos 45°＋isin 45°)＝1＋i.故选B. 4．复数z＝，将复数z对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为(　　) A. B.i C．1 D．i 答案　A 解析　z＝＝1－i，又将复数z对应的向量按逆时针方向旋转，∴旋转后的向量对应复数(1－i)＝(1－i)＝. 5．设复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别是α，β，则tan(α＋β)等于(　　) A. B．－ C．－1 D．1 答案　D 解析　因为复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别是α，β，所以tan α＝，tan β＝，所以tan(α＋β)＝＝1. 6．复数z＝－1＋的辐角的主值为________． 答案　 解析　因为＝i，所以＝i2 021＝i，所以复数z＝－1＋i＝，所以复数z的辐角的主值为. 7．2(cos 15°＋isin 15°)×5＝________(用代数形式表示)． 答案　5＋5i 解析　2(cos 15°＋isin 15°)×5＝2(cos 15°＋isin 15°)×5(cos 30°＋isin 30°)＝10[cos(15°＋30°)＋isin(15°＋30°)]＝10(cos 45°＋isin 45°)＝10＝5＋5i. 8．8i÷2(cos 45°＋isin 45°)＝________(用代数形式表示)． 答案　2＋2i 解析　8i÷2(cos 45°＋isin 45°)＝8(cos 90°＋isin 90°)÷2(cos 45°＋isin 45°)＝4[cos(90°－45°)＋isin(90°－45°)]＝4(cos 45°＋isin 45°)＝2＋2i. 9．复数的代数形式与三角形式互化： (1)－1＋i； (2)2. 解析　(1)r＝|－1＋i|＝2，arg(－1＋i)＝， 所以－1＋i＝2. (2)2＝2＝－＋i. 10．设复数z＝(1－i)5，求z的模和辐角的主值． 解析　∵z＝(1－i)5＝25＝32＝32＝32， ∴复数z的模为32，辐角的主值为. 11．【多选题】下列各角可以作为复数3－3i的辐角的是(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　AB 解析　依题意得，r＝＝6，cos θ＝＝，复数3－3i对应的点在第四象限，所以arg(3－3i)＝，所以2kπ＋(k∈Z)都可以作为复数3－3i的辐角．故选AB. 12．复数z＝1－cos θ＋isin θ(π<θ<2π)的辐角的主值为(　　) A.－ B. C.－ D.－ 答案　C 解析　z＝1－cos θ＋isin θ＝2sin2＋2isin ·cos ＝2sin ＝2sin ， ∵π<θ<2π，∴<<π，sin ＞0，∴－<－<0. ∵辐角的主值的取值范围为[0，2π)， ∴复数z的辐角的主值为－. 13．【多选题】在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，则顶点C对应的复数可能是(　　) A.＋i B.＋i C.＋i D.＋i 答案　CD 解析　因为对应的复数为(3＋2i)－(2＋i)＝1＋i，则对应的复数为(1＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝＋i或(1＋i)[cos(－60°)＋isin(－60°)]＝＋i，连接OA，OC，所以＝＋对应的复数为2＋i＋＋i或者2＋i＋＋i，即＋i或＋i.故选CD. 14．已知向量对应的复数为－2i，把绕原点O按顺时针方向旋转45°后，再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数为________(用代数形式表示)． 答案　－－i 解析　对应的复数为－2i·＝－2i＝－－i. 15．【多选题】已知复数z对应的向量为，复数z1＝(－1－i)z对应的向量为，复数z2＝z对应的向量为，则下列说法正确的是(　　) A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到 B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到 C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到 D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到 答案　AD 解析　因为(－1－i)z＝2z＝2z，z＝z＝z.故选AD. 16．在复平面内，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(其中O为原点)．已知点Z2对应的复数z2＝1＋i，求Z1和Z3分别对应的复数z1，z3. 解析　根据题意画出草图，如图所示． 由复数运算的几何意义知z1＝·z2· ＝(1＋i)＝＋i， z3＝·z2·＝(1＋i)＝＋i. 1．(2024·全国甲卷，理)设z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　) A．10i　　　　　　　 B．2i C．10 D．－2 答案　A 解析　由z＝5＋i⇒＝5－i，z＋＝10，则i(＋z)＝10i. 2．(2024·全国甲卷，文)设z＝i，则z·＝(　　) A．－i B．1 C．－1 D．2 答案　D 解析　依题意得，＝－i，故z·＝－2i2＝2. 3．(2024·新高考Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C. D．2 答案　C 解析　若z＝－1－i，则|z|＝＝. 4．(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 答案　C 解析　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i. 5．(2024·北京)已知＝i－1，则z＝(　　) A．1－i B．－i C．－1－i D．1 答案　C 解析　由题意得z＝i(i－1)＝－1－i. 6．(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　) A．－i　　　　　　 B．i C．0 D．1 答案　A 解析　z＝＝＝＝－i，z－＝－i－i＝－i.故选A. 7．(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i＋3＝6＋8i，其对应的点位于第一象限，选A. 8．(2023·全国甲卷，理)若复数(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　C 解析　因为(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以解得a＝1.故选C. 9．(2023·全国乙卷，文)|2＋i2＋2i3|＝(　　) A．1 B．2 C. D．5 答案　C 解析　由题意可得2＋i2＋2i3＝2－1－2i＝1－2i，则|2＋i2＋2i3|＝|1－2i|＝＝.故选C. 10．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　D 解析　因为i(1－z)＝1，所以z＝1－＝1＋i，所以＝1－i，所以z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2.故选D. 11．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 答案　D 解析　(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故选D. 12．(2024·天津)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝________． 答案　7－i 解析　(＋i)·(－2i)＝5＋i－2i＋2＝7－i. 13．(2024·上海)已知虚数z，其实部为1，且z＋＝m(m∈R)，则实数m为________． 答案　2 解析　设z＝1＋bi，b∈R且b≠0， 则z＋＝1＋bi＋＝＋i＝m， ∵m∈R，∴解得m＝2. 14．(2023·天津)已知i是虚数单位，化简的结果为________． 答案　4＋i 解析　由题意可得＝＝＝4＋i. 15．(2013·上海)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2. 解析　(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i， 设z2＝a＋2i，a∈R， 则z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i， ∵z1z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$