7.2.2复数的乘除运算（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

7.2.2复数的乘除运算 1．复数z＝a＋bi(a≠0，a，b∈R)满足(1＋2i)z∈R，则(　　) A．a－2b＝0　　　　　 B．a＋2b＝0 C．2a＋b＝0 D．2a－b＝0 答案　C 解析　(1＋2i)z＝(1＋2i)(a＋bi)＝a－2b＋(2a＋b)i， 因为(1＋2i)z∈R， 则2a＋b＝0. 2．已知复数z满足iz＝1＋4i，则复数z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　方法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为iz＝1＋4i，所以i(a＋bi)＝－b＋ai＝1＋4i， 所以即z＝4－i，所以复数z在复平面内对应的点为(4，－1)，位于第四象限． 方法二：由iz＝1＋4i可得z＝＝4＋＝4－i，所以复数z在复平面内对应的点为(4，－1)，位于第四象限． 3.＝(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 答案　C 解析　＝＝＝(－i)2＝－1. 4．【多选题】已知复数z＝，其中i为虚数单位，则(　　) A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1－I D．z的虚部为1 答案　BCD 解析　由题意可知，z＝＝＝1＋i， 由于|z|＝＝，故A错误；由于z2＝(1＋i)2＝1＋2i－1＝2i，故B正确； 由于z的共轭复数为1－i，故C正确；由于z的虚部为1，故D正确．故选BCD. 5．已知z是纯虚数，是实数，则z＝(　　) A．2i B．i C．－i D．－2i 答案　D 解析　设＝a(a∈R)，∴z＋2＝a(1－i)＝a－ai，∴z＝a－2－ai. ∵z是纯虚数，∴a－2＝0且－a≠0，∴a＝2. ∴z＝－2i.故选D. 6．已知i是虚数单位，复数z满足＝1＋i，则复数＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i 答案　A 解析　∵＝1＋i，∴z＝＝＝＝－i(1－i)＝－1－i，∴＝－1＋i.故选A. 7．已知i是虚数单位，则化简的结果为(　　) A．i B．－i C．－1 D．1 答案　C 解析　方法一：因为＝＝＝i，所以＝i2 026＝i2＝－1.故选C. 方法二：＝＝＝＝(－1)1 013＝－1.故选C. 8．【多选题】已知复数z1，z2满足z1＝1＋，z2＝－1＋i，则下列说法正确的是(　　) A．z1·z2＝2i B．|z1|＝|z2| C．z1－2的虚部为2 D.＝ 答案　ABD 解析　因为z1＝1＋＝1－i，z2＝－1＋i，所以z1·z2＝(1－i)(－1＋i)＝2i，A正确； |z1|＝|z2|＝，B正确；因为2＝－1－i，所以z1－2＝(1－i)－(－1－i)＝2， 所以z1－2的虚部为0，C错误； 因为＝＝－1，所以＝1，又＝＝1，所以＝，D正确． 9．【多选题】设方程x2－x＋1＝0的两根x1，x2在复平面内对应的点分别是X1，X2，则(　　) A．x1－x2的实部为1 B．X1，X2关于实轴对称 C．|x1|＝|x2|＝1 D.1x2＋x12＝－1 答案　BCD 解析　由实系数一元二次方程的求根公式知， 方程x2－x＋1＝0的两根为＋i(记为x1)，－i(记为x2)， 则x1－x2＝－＝i，所以x1－x2的实部为0，故A错误； x1＝＋i，x2＝－i在复平面内对应的点分别是X1，X2， 它们关于实轴对称，故B正确； 由x1＝＋i，x2＝－i得|x1|＝＝1，|x2|＝＝1， 即|x1|＝|x2|＝1，故C正确； 由x1＝＋i，x2＝－i得1x2＋x12＝＋＝＋＝－1，故D正确． 10．计算： (1)； (2)＋； (3)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)． 解析　(1)＝＝－(＋i)3＝－[()3＋3×()2i＋3i2＋i3]＝－2i. (2)＋＝＋＝i(1＋i)＋＝－1＋i＋(－i)1 010＝－1＋i－1＝－2＋i. (3)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i＋25－25i＝47－39i. 11．定义：若z2＝a＋bi(a，b∈R)，则称复数z是复数a＋bi的平方根．根据定义，复数9－40i的平方根为(　　) A．3－4i，－3＋4i B．4＋3i，4－3i C．5－4i，－5＋4i D．4－5i，－4＋5i 答案　C 解析　设复数9－40i的平方根为x＋yi(x，y∈R)，则(x＋yi)2＝9－40i， 化简x2－y2＋2xyi＝9－40i，所以x2－y2＝9，2xy＝－40，解得x＝5，y＝－4或x＝－5，y＝4，即复数9－40i的平方根为5－4i，－5＋4i. 12．已知复数z1，z2，下列说法正确的有(　　) A．若z12＋z22＝0，则z1＝z2＝0 B．若z＝1＋2i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则p＋q＝7 C．若z11＝z22，则|z1|＝|z2| D．若|z1－z2|＝|z1|，则z2＝0或z2＝2z1 答案　C 解析　令z1＝1，z2＝i，显然z12＋z22＝1＋i2＝0，但z1，z2都不等于0，故A错误； 由于一元二次方程的虚根是以复数及其共轭复数的形式成对出现的， 所以若z＝1＋2i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根， 则＝1－2i也是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根， 从而由韦达定理有p＋q＝－(z＋)＋z＝－(1＋2i＋1－2i)＋(1＋2i)(1－2i)＝－2＋5＝3，故B错误； 设zk＝xk＋yki(k＝1，2，xk，yk∈R)， 而z11＝(x1＋y1i)(x1－y1i)＝x12＋y12＝|z1|2＝z22＝(x2＋y2i)(x2－y2i)＝x22＋y22＝|z2|2， 所以|z1|＝|z2|，故C正确； 取z1＝1，z2＝1＋＋i，显然有|z1－z2|＝1＝|z1|，但不满足z2＝0且z2＝2z1，故D错误． 13．写出一个同时满足①(1＋i)·z∈R；②|z|＝的复数z＝________． 答案　－i(答案不唯一) 解析　设z＝a＋bi，a，b∈R，因为(1＋i)·z＝(1＋i)(a＋bi)＝a－b＋(a＋b)i∈R， 所以a＋b＝0，则z＝a－ai，又因为|z|＝＝＝， 所以a2＝5，解得a＝－或a＝， 所以满足条件的复数z＝－i或－＋i. 14．已知2＋i是关于x的方程x2－mx－n＝0(m，n∈R)的一个根，其中i为虚数单位． (1)求m＋2n的值； (2)记复数z＝m＋ni，求复数的模． 解析　(1)方法一：由题意得(2＋i)2－m(2＋i)－n＝0， 即4＋4i＋i2－2m－mi－n＝0， 所以3－2m－n＋(4－m)i＝0， 所以3－2m－n＝0，4－m＝0， 解得m＝4，n＝－5，即m＋2n＝－6. 方法二：由已知得，这个方程的另一个根是2－i，再用韦达定理可知， 2＋i＋2－i＝m，(2＋i)·(2－i)＝－n，解得m＝4，n＝－5，所以m＋2n＝－6. (2)由(1)可知z＝4－5i，∴＝4＋5i，则＝＝＝， 所以＝＝＝. 15．已知复数z＝(m∈R，i是虚数单位)． (1)若z是纯虚数，求实数m的值； (2)设是z的共轭复数，复数－2z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围． 解析　z＝＝3－2m－(3＋2m)i. (1)因为z为纯虚数，所以解得m＝. (2)因为是z的共轭复数，所以＝3－2m＋(3＋2m)i，所以－2z＝2m－3＋(9＋6m)i. 因为复数－2z在复平面内对应的点位于第二象限，所以解得－<m<. 所以实数m的取值范围是. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2.2复数的乘除运算 1．复数z＝a＋bi(a≠0，a，b∈R)满足(1＋2i)z∈R，则(　　) A．a－2b＝0　　　　　 B．a＋2b＝0 C．2a＋b＝0 D．2a－b＝0 2．已知复数z满足iz＝1＋4i，则复数z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.＝(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 4．【多选题】已知复数z＝，其中i为虚数单位，则(　　) A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1－I D．z的虚部为1 5．已知z是纯虚数，是实数，则z＝(　　) A．2i B．i C．－i D．－2i 6．已知i是虚数单位，复数z满足＝1＋i，则复数＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i 7．已知i是虚数单位，则化简的结果为(　　) A．i B．－i C．－1 D．1 8．【多选题】已知复数z1，z2满足z1＝1＋，z2＝－1＋i，则下列说法正确的是(　　) A．z1·z2＝2i B．|z1|＝|z2| C．z1－2的虚部为2 D.＝ 9．【多选题】设方程x2－x＋1＝0的两根x1，x2在复平面内对应的点分别是X1，X2，则(　　) A．x1－x2的实部为1 B．X1，X2关于实轴对称 C．|x1|＝|x2|＝1 D.1x2＋x12＝－1 10．计算： (1)； (2)＋； (3)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)． 11．定义：若z2＝a＋bi(a，b∈R)，则称复数z是复数a＋bi的平方根．根据定义，复数9－40i的平方根为(　　) A．3－4i，－3＋4i B．4＋3i，4－3i C．5－4i，－5＋4i D．4－5i，－4＋5i 12．已知复数z1，z2，下列说法正确的有(　　) A．若z12＋z22＝0，则z1＝z2＝0 B．若z＝1＋2i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则p＋q＝7 C．若z11＝z22，则|z1|＝|z2| D．若|z1－z2|＝|z1|，则z2＝0或z2＝2z1 13．写出一个同时满足①(1＋i)·z∈R；②|z|＝的复数z＝________． 14．已知2＋i是关于x的方程x2－mx－n＝0(m，n∈R)的一个根，其中i为虚数单位． (1)求m＋2n的值； (2)记复数z＝m＋ni，求复数的模． 15．已知复数z＝(m∈R，i是虚数单位)． (1)若z是纯虚数，求实数m的值； (2)设是z的共轭复数，复数－2z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$