2025年中考一轮复习数学（陕西）讲练结合复习 课件：第四章 三角形

第四章　三角形 第一节　线段、角、相交线与平行线 精讲 第四章复习导图 三角形 全等、相似三角形的性质 全等、相似三角形的判定方法及思路 综合应用 解决问题 线段、角、相交线与平行线 三角形 全等、相似三角形 相似、锐角三角函数 等腰三角形 等边三角形 特殊 性质 判定面积 角 边角关系 边 重要线段(角平分线、中线、高线、中位线) 直线和线段 角及其平分线 相交线、平行线 命题 直角三角形 等腰直角三角形 一线三等角模型 手拉手模型 第一节复习导图 平行线 命题 线段和直线 相交线 角及其 平分线 度分秒的换算 余角、补角 角平分线 线段、角、相 交线与平行线 垂线的性质 邻补角 三线八角 点到直线的距离 线段的垂直平分线 对顶角 两个基本事实 线段的中点 线段的和与差 平行公理及推论 平行线的性质与判定 平行线之间的距离 概念 考点精讲 线段和 直线 1.直线的基本事实：____________________ 2．线段的基本事实：____________________ 两个基本事实 　　 图1　　　　 图2 线段的中点：如图1，若有AM＝________＝________ AB，则M是线段AB的中点 线段的和与差：如图2，在线段AC上取一点B，则有：____＋BC＝AC；AB＝____－BC； BC＝AC－____ 两点确定一条直线　 两点之间，线段最短　 BM AB AC AC 度分秒的换算：1°＝________，1′＝60″，度、分、秒之间是60进制 余角：若∠1＋∠2＝________，则∠1与∠2互为余角，同角(等角)的余角________ 补角：若∠1＋∠2＝________，则∠1与∠2互为补角，同角(等角)的补角________ 角及其 平分线 性质：_________________________________ 逆定理：角的内部到角的两边________的点在角的平分线上 角平分线 举例：如图3，∠1与________是对顶角， ∠2与________是对顶角 性质：__________________ 相交线 对顶角 60′ 90° 相等 180° 相等 角平分线上的点到角两边的距离相等　 距离相等　 ∠3 ∠4 对顶角相等 相交线 举例：如图3，∠1的邻补角是__________， ∠3的邻补角是_________ 性质：__________________ 邻补角 (如图4)同位角：∠1与________是同位角，∠2与________是同位角 内错角：∠2与________是内错角，∠3与________是内错角 同旁内角：∠2与______是同旁内角，∠3与______是同旁内角 三线八角 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的 长度 ∠2与∠4 ∠2与∠4 邻补角互补　 ∠5 ∠6 　∠8 　∠5 　∠5 　∠8 相交线 1.在同一平面内，过一点有且只有________条直线与已知直线垂直(基本事实) 2．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，________最短(尺规作图常用) 垂线的性质 性质：____________________________________________ 逆定理：到一条线段两个端点________的点在这条线段的垂直平分线上 线段的垂直平分线 公理：经过直线外一点，有且只有______条直线与这条直线平行(基本事实) 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相______(基本事实) 平行线 平行公理及推论 一 垂线段 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等　 距离相等　 一　 平行 【满分技法】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 平行线 线段、角、相 交线与平 行线 平行线之间的距离：从一条平行线上任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫做两条平行线 之间的距离，平行线之间的距离处处相等(根据同底等高的两个三角形面积相等， 常通过作平行线进行面积转化) 平行线 相等 平行 互补　 线段、角、相 交线与平 行线 命题：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行” 1．该命题的条件是________________________________，结论是_______________，该命题是______命题(填“真”或“假”)； 2．“如果两条直线平行，那么这两条直线都和第三条直线平行”该命题________1中命题的逆命题 (填“是”或“不是”)，该命题是____________命题(填“真”或“假”) 命题 两条直线都和第三条直线平行　 这两条直线平行　 真 是 假 命题点 1 角及其平分线(2020.2) 1. (2020陕西2题3分)若∠A＝23°，则∠A余角的大小是(　　) A. 57° B. 67° C. 77° D. 157° 2. (2022陕西副题2题3分)若∠A＝48°，则∠A的补角的度数为(　　) A.42° B.52° C.132° D.142° B C 3. (2020陕西副题2题3分)如图， AC⊥BC，直线EF经过点C.若∠1＝35°，则∠2的大小为(　　) A. 65° B. 55° C. 45° D. 35° 拓展训练 4. (2024陕西黑白卷)如图，∠AOB余角的度数为(　　) A. 20° B. 30° C. 60° D. 80° B B 5.(北师七上习题改编)如图，O是直线AB上一点，∠BOC＝59°50'，则∠AOC的度数是(　　) 121°10' B. 120°10' C. 121°50' D. 120°50' 命题点 2 相交线、平行线性质求角度(10年8考) 6. (2021陕西副题4题3分)如图，直线l1∥l2，且l1，l2被直线l3所截.若∠1＝54°，则∠2的大小为(　　) A. 36° B. 46° C. 126° D. 136° B C 7. (2024陕西3题3分)如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°.则∠D的度数为(　　) A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° 8. (2023陕西3题3分)如图，l∥AB，∠A＝2∠B，若∠1＝108°，则∠2的度数为(　　) A. 36° B. 46° C. 72° D. 82° B A 9. (2024陕西副题3题3分)如图， l1∥l2，l2∥l3.若∠1＝59°， 则∠2的度数为(　　) A. 118° B. 120° C. 121° D. 131° 10. (2019陕西副题3题3分)如图，在△ABC中，∠A＝46°，∠B＝72°.若直线l∥BC，则∠1的度数为(　　) A. 117° B. 120° C. 118° D. 128° C C 11. (2023陕西副题3题3分)如图，直线l1∥l2，点A在l2上，AB⊥l3，垂足为B.若∠1＝138°，则∠2的度数为(　　) A. 32° B. 38° C. 42° D. 48° 拓展训练 12. (人教七下练习改编)如图，已知直线a，b被直线c所截，下列属于同旁内角的是(　　) A.∠1和∠4 B.∠3和∠5 C.∠2和∠3 D.∠1和∠3 D D 13. (人教七下复习题改编)如图，线段AB和CD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　) A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠5 C.∠3＝∠4 D.∠4＝∠5 14. (2024交大附中模拟)如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝121°，DE与地面平行，∠ABD＝48°，则∠DCE＝(　　) 　　 A. 78° B. 73° C. 69° D. 61 A B 15. (2024陕师大附中模拟)将一副直角三角板如图放置，已知∠E＝60°，∠C＝45°，EF∥BC，则∠BND的大小为(　　) A. 100° B. 105° C. 110° D. 115° 16. (2024爱知中学模拟)如图，已知直线a∥b，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，则图中与∠1互余的角有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D B 17. (2024铁一中模拟)某乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东α°方向到B村，从B村沿北偏西β°方向到C村，再沿CE方向修建. 若直线AB∥CE，则α，β与γ满足的数量关系是(　　) A. α＋β＝γ B. α＋β＋γ＝180 C. 2α－β＝γ D. 2α－β＋γ＝180 A 18. [跨物理学科](2024高新一中模拟)如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凸透镜的折射后，折射光线BE，DF交于主光轴MN上一点P.若∠ABE＝155°，∠CDF＝160°，则∠EPF的度数是(　　) A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° C 第四章　三角形 第一节　线段、角、相交线与平行线 精练 基础巩固 1. (北师七上习题改编)木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是因为(　　) A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 经过一点有无数条直线 D. 线段有两个端点 A　 2. 如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC，若∠AOC＝130°，则∠DOE的度数为(　　) A. 45° B. 50° C. 60° D. 65° D 3. (2024湖北省卷)如图，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通．若∠1＝120°，则∠2的度数是(　　) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° B 4. (2024福建)在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为(　　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° A　 5. (2024包头)如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，射线EF交直线CD于点G，则图中与∠AEF互补的角有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. (2024湖南省卷)下列命题正确的是(　　) A. 两点之间，线段最短 B. 菱形的对角线相等 C. 正五边形的外角和为720° D. 直角三角形是轴对称图形 C A　 7. (2023金华)如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是(　　) 120° B. 125° C. 130° D. 135° C 能力提升 8. [跨物理学科](2024山西)一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为(　　) A. 155° B. 125° C. 115° D. 65° C $$第四章 三角形 第五节　相似三角形 精讲 第五复习导图 相似多边形 的性质 相似三角形 的性质与判定 比例线段 平行线分 线段成比例 相似三角形 比例性质 黄金分割 定理 推论 性质 判定 判定三角形 相似的思路 考点精讲 基本性质： ＝⇔________＝bc(abcd≠0) 合比性质：如果＝，那么＝__________ 等比性质：如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝ 比例的 性质 黄金分割：如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，若＝，那么就说线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，即＝≈0.618 图1 　 ad 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(基本事实) 如图2，当l3∥l4∥l5时，有＝，＝等 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的 ________成比例 如图3，当DE∥BC时，有＝，＝等 平行线 分线段 成比例 图2 图3 对应线段　 1.相似三角形对应角________，对应边________ 2．相似三角形对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例 3．相似三角形的周长比等于________，面积比等于_____________ 相似三 角形的 性质与 判定 性质 1.两角分别相等，两个三角形相似 2．两边分别成比例，且______相等，两个三角形相似 3．三边分别成比例，两个三角形相似 判定 有平行截线——用平行线的性质，找等角 有一对等角，找另一对等角或两邻边对应成比例 有两边对应成比例，找 判定三角形 相似的思路 夹角相等 第三边也对应成比例 夹角　 相等 成比例　 相似比 相似比的平方　 1.相似多边形的对应角________，对应边________ 2．相似多边形的周长比等于________，面积比等于__________________ 相似多边 形的性质 相似比的平方 相等 成比例 相似比 模型分析 模型一　A字型 模型 展示 正A字型 斜A字型 模型 特点 ∠A为公共 角，DE∥BC ∠A为公共角， ∠AED＝∠B (或∠ADE＝ ∠ACB) 解题 思路 找同侧的一 组相等角 找异侧的一 组相等角 模型二　8字型 模型 展示 正8字型 斜8字型 模型 特点 AB∥CD ∠A＝∠D(或 ∠B＝∠C) 解题 思路 找对顶角之外的另一组角相等，或对顶角的两边成比例 命题点 1 黄金分割(2022.11) 1. (2022陕西11题3分)在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE·AB.已知AB为2米，则线段BE的长 为　　　　米. －1 命题点 2 平行线分线段成比例(2024铁一中模拟) 基础小练 2. (北师九上习题改编)如图，已知直线a∥b∥c，OA＝2OB，OC＝2OA，OE＝1，则OD＝　　　　. 4 命题点 3 相似三角形的性质与判定 3. (2023陕西6题3分)如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF，连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC＝6，则线段CM的长为(　　) A. B. 7 C. D. 8 C 拓展训练 4. (北师九上习题改编)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，且DE∥BC. (1)若AD＝BD，则C△ADE∶C△ABC＝　　　　，S△ADE∶S四边形DBCE＝ 　　　　； (2)若S△ADE＝S四边形DBCE，则AD∶BD＝　　　　　　. 1∶3 1∶2 1∶(－1) 5. (北师九上习题改编)如图，在△ABC中，点D， E分别是边AC，AB上的点，且∠ADE＝∠B， 若AD·BC＝10，DE＝2，则AB的长为　　　　. 6. (北师九上习题改编)如图，在四边形ABCD中， 连接AC，BD，AC和BD相交于点E，∠ADB＝∠ACB＝90°，若＝，则sin∠CBE＝　　　　. 5 7. (人教九下习题改编)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若BD＝4，CD＝6，则AD的长为　　　　　. 9 第四章　三角形 第五节　相似三角形 精练 基础巩固 1. (北师九上知识技能改编)已知3a＝2b(b≠0)，那么下列比例中成立的是(　　) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 2. (2024内江)已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是(　　) A. 1∶1 B. 1∶3 C. 1∶6 D. 1∶9 D B 3. 如图，在△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　) C 4. (人教九下探究改编)如图，已知AD∥BE∥CF，直线l1，l2分别与直线AD，BE，CF交于点A，B，C和点D，E，F，若AB＝6，BC＝8，则＝(　　) A. B. C. D. B 5. 如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若BC＝10，DG＝2，则AB的长为(　　) A. 10 B. 12 C. 8 D. 14 B 6. 如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，AF⊥BC于点F，DE与AF交于点G，若△ADE与四边形DBCE的面积相等，则FG∶AG的值为(　　) A. B. －1 C. D. B 7. 如图，在△ABC中，D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，且AC∥DG∥EF，H为CE与DG的交点．若AC＝10，则GH的长为(　　) A. B. 2 C. D. 3 A　 8. [条件开放](2024滨州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是 _______________________．(写出一种情况即可) ∠ADE＝∠C(答案不唯一) 9. (2024辽宁)如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，△AOB与△DOC的面积比是1∶4，若AB＝6，则CD的长为________. 10. 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，若AD＝18，CD＝6，EH＝27，则GH＝________． 12 9 11. (2024山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“ ”的位置在AB的黄金分割点C处，且＝.若NP＝2 cm，则BC的长为________cm(结果保留根号)． －1 12. 如图，AC是矩形ABCD的对角线，点F在对角线AC上，连接BF并延长，交AD于点E，若AB＝3，AC＝5，＝， 则DE的长为________. 13. (2024乐山)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若＝，则＝________． 3 能力提升 14. (2024铁一中模拟)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，AC与BD相交于点O，则AO的长为(　　) A. 　 B. 　 C. 　 D. A　 15. 如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，BC边上的点，连接CD，DE，DE∥AC，过点A作AF⊥CD交BC于点F. (1)求证：△ACF∽△CED； (1)证明：∵DE∥AC， ∴∠DEC＝∠ACF＝90°， ∴∠ECD＋∠CDE＝90°. ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＋∠ECD＝90°， ∴∠AFC＝∠CDE，∴△ACF∽△CED； (2)若D是AB的中点，AC＝4，CF＝1，求AB的长． (2)解：∵D是AB的中点，DE∥AC， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝AC＝2. 在Rt△ACF中，由勾股定理得AF＝， ∵△ACF∽△CED， ∴＝，即＝， ∴CD＝2.∴AB＝2CD＝4. $$第四章 三角形 第三节　特殊三角形及其性质 精讲 第三节复习导图 特殊三角形 及其性质 等腰三角形 直角三角形 等腰直角三角形 等边三角形 考点精讲 考点梳理 图形名称 直角三角形 等腰直角三角形 等腰三角形 等边三角形 图形 图形名称 直角三角形 等腰直角三角形 等腰三角形 等边三角形 边 1.两直角边互相垂直 2.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2＋b2＝c2 1.两直角边互相垂直 2.三边长的比为1∶1∶ 两腰相等 三边相等 图形名称 直角三角形 等腰直角三角形 等腰三角形 等边三角形 角 两锐角和等于90° 1.两底角相等且均为45° 2.两锐角和等于90° 两底角相等 每一个角都等于60° 边角关系 30°角所对的直角边是斜边的一半 — 等边对等角； 等角对等边 — 图形名称 直角三角形 等腰直角三角形 等腰三角形 等边三角形 重要线段 — 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 —   对称性 — 是轴对称图形，有1条对称轴 是轴对称图形，有1条对称轴 是轴对称图形，有3条对称轴 面积计 算公式 S＝ch＝________ S＝a2＝ch＝c2＝ah S＝________ S＝ah＝________a2 ab　 ah　 　 图形名称 直角三角形 等腰直角三角形 等腰三角形 等边三角形 判定   60°　 90°　 相等 基础题练考点 1. (北师八下习题改编)在△ABC中，AB＝AC. (1)若△ABC的一个内角为80°，则∠B的度数为　　　　； (2)若△ABC的周长为16，一边长为6，则BC的长为　　　　； 50°或80° 4或6 图形名称 图形 边 角 面积计 算公式 等腰三角形 两腰相等 两底角相等 S＝ah　 (3)若∠BAC＝60°，AB＝2，则△ABC的面积为　　　　； (4)若AD为△ABC的中线，且AD＝8，AB＝10，则BC的长为　　　　； 12 图形名称 图形 边 角 面积计 算公式 等边三角形 三边相等 每一个角都等于60° S＝ah ＝a2　 证明：∵HG⊥BC， ∴∠C＋∠H＝90°，∠B＋∠BFG＝90°， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， ∴∠BFG＝∠H， ∵∠HFA＝∠BFG， ∴∠H＝∠HFA， ∴△AHF为等腰三角形. (5)如图，F是AB上一点，FG⊥BC于点G，延长GF交CA延长线于点H，求证：△AHF为等腰三角形. 图形名称 直角三角形 等腰直角三角形 等腰三角形 等边三角形 判定   60°　 90°　 相等 2. (北师八下习题改编)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，连接CD. (1)若∠B＝30°，AC＝2，则AB＝　　　　； (2)若D是AB边的中点. ①当∠B＝25°时，则∠ACD＝　　　　°； ②当AC＝3，BC＝4时，则CD＝　　　　； (3)若CD⊥AB，当AC＝6，BC＝8时，则S△ABC＝　　　　，CD的长为 　　　　； 4 65 24 图形名称 图形 边 角 面积计 算公式 直角三角形 1.两直角边互相垂直 2.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有a2＋b2＝c2 两锐角和等于90° S＝ch＝ab　 (4)如图，若∠DCB＝2∠B，BC＝2DC，求证： △BCD是直角三角形. 2. (北师八下习题改编)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，连接CD. 证明：如图，作∠DCB的平分线CE， 交DB于点E， ∴∠DCE＝∠BCE. ∵∠DCB＝2∠B，∴∠ECB＝∠B， ∴△ECB为等腰三角形，过点E作EF⊥BC于点F， E F 一题多解法 ∴CF＝BF. ∵BC＝2DC，∴CD＝CF， 在△DCE和△FCE中， ， ∴△DCE≌△FCE(SAS)， ∴∠EDC＝∠EFC＝90°， ∴△BCD是直角三角形. E F (1)如图①，BE为∠ABC的平分线，若∠C＝70°， 则∠CEF＝　　　　°； (2)如图②，BE为AC边上的高，若CD＝2，AB＝6. ①则sin∠EBD＝　　　　； ②CE的长为　　　　，AE的长为　　　　； 核心考点突破 等腰三角形中的重要线段(10年2考) 例1　在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE，交AD于点F. 75 　 (3)如图③，BE为AC边上的中线. ①连接DE，则DE与AB的位置关系为　　　　，数量关 系为　　　　　； ②若S△ABC＝18，则S△BDF＝　　　　. 例1　在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE，交AD于点F. DE＝AB DE∥AB 3 核心考点突破 直角三角形中的重要线段(10年3考) 例2　在△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是边BC，AB上的点，连接AD，DE. (1)如图①，若∠B＝30°，∠ADC＝45°，DE⊥AB，AB＝4，则DE＝ 　　　　； －1 (2)如图②，若AD平分∠CAB，DE⊥AD，M为AE的中点，连接DM，BD＝2，CD＝1. ①图中的等腰三角形有　　　　　　　　　　　　　　　　　；(写出所有的等腰三角形) ②ME的长为　　　　　； 例2　在△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是边BC，AB上的点，连接AD，DE. 　 △ADM，△DME，△ADB，△BED 例2　在△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是边BC，AB上的点，连接AD，DE. (3)如图③，若AD是BC边上的中线，AC＝6，BC＝8，E是边AB上的动点，要使△BED为直角三角形，则BE的长为　　　　. 5或 命题点 1 等腰三角形的性质与判定(2021.7，2015.6) 1. (2021陕西7题3分)如图，AB，BC，CD，DE是四根长度均为5 cm的火柴棒，点A，C，E共线.若AC＝6 cm，CD⊥BC，线段CE的长度为(　　) A. 6 cm B. 7 cm C. 6 cm D. 8 cm D 拓展训练 2. (2024西工大附中模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于点D，则图中等腰三角形的个数为(　　) A. 0个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 B 3. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝9，点D，E在边BC上.若∠DAE＝45°，tan ∠BAD＝，则CE的长为(　　) 6 B. 2 C. 3 D. 5 命题点 2 直角三角形的性质与判定(10年3考) 4. (2024陕西5题3分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有(　　) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 A C 4.1 变条件——直角△ABC变为钝角△ABC 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的高，且D，E是BC的三等分点，则图中的直角三角形共有(　　) A. 2个 　 B. 3个 　 C. 4个 　 D. 5个 C 变式 5. (2024陕西副题6题3分)如图，在△AOB中， ∠AOB＝90°， OA＝OB＝6.将△AOB绕点O顺时针旋转45°，得到△A'OB'， A'B'与OB相交于点D， 则OD的长为(　　) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 B 6. (2019陕西副题6题3分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为(　　) A. 19° B. 33° C. 34° D. 43° B 第四章　三角形 第三节　特殊三角形及其性质 精练 基础巩固 1. 已知等腰三角形中一个角的度数是70°，则底角的度数为(　　) A. 70°或30° B. 70°或55° C. 70°或40° D. 70°或20° B 2. (2024爱知中学模拟)如图，AB∥CD，点E在线段BC上，BA＝BE，若∠C＝32°，则∠A的度数(　　) A. 72° B. 74° C. 76° D. 78° B 3. (2024兰州)如图，在 △ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则 ∠ADB＝(　　) 100° B. 115° C. 130° D. 145° 4. (2024西交大附中模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是△ABC的高线，BD是△ABC的中线，连接ED.若BC＝6，AE＝4，则DE的长为 (　　) A. 4 B. 2.5 C. 3 D. B B 5. 在如图所示8×11的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，已知△ABC的顶点均在格点上，D为BC的中点，则线段AD的长为(　　) A. B. 7 C. D. 3 C 6. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，延长BD至点E，使DE＝2，连接CE.若BD＝CD＝2，则∠BCE＝(　　) A. 60° B. 75° C. 105° C 7. (2024南充)如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BC＝AB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E.若AE＝mAB，则m的值为(　　) A. B. C. －1 D. －2 A　 8. (2024陕师大附中模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝67.5°，D为AB的中点，且DE⊥AB交AC于点E，BC＝2，则AC的长为(　　) A. 2 B. 4 C. 2＋2 　　 D. 4 C 9. (2024铁一中模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，F是边BC上一动点，过F作EF⊥CB交CA的延长线于点E，当四边形ADFE的面积与△ABC的面积相等时，DF的长为(　　) A. ＋1 B. 3－ C. 6－3 D. 3－3 D 10. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为边BC延长线上一点，连接AD，E为AD的中点，连接CE，若BC＝2CD＝4，CE＝，则△ABC的面积为(　　) A. 2 B. 4 C. 8 D. 8 B 11. (2024自贡)如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢(　　) A. (24－12) m B. (24－8) m C. (24－6) m D. (24－4) m D 12. 在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，一含30°角的三角板如图放置(一直角边与BC边重合，斜边经过△ABC的顶点A)，则∠α的度数为________. 20° 13. 如图，已知△ABC为等边三角形，BD为△ABC的高，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连接DE，则BE的长为________. 3 14. (2024高新一中模拟)小方在学习菱形时，发现可以利用菱形纸片拼出著名的“赵爽弦图”．把如图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼出如图②所示的面积为7的正方形ABCD，和如图③所示的边长为1的正方形EFGH，则图①中菱形的边长为________. 2 15. (2024重庆B卷)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC＝2，则AD的长度为________. 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D为AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，连接BE，若BE＝，则△ABC的周长为__________． 2 6＋2 能力提升 17. (2024铁一中滨河模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)，若在坐标轴上取点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 A　 18. (2024达州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上．∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是________. $$第四章　三角形 第二节　一般三角形及其性质(含多边形) 精讲 第二节复习导图 三角形 的分类 一般三角形 及其性质 （含多边形） 三角形边、 角关系 按边分 按角分 边的关系 角的关系 边角关系 高线 角平分线 中线 中位线 垂直平分线 三角形中的 重要线段 正n(n>=3)边形的性质 多边形的性质 考点精讲 考点梳理 三角形 的分类 三边都不相等的三角形 __________ 按边分 腰与底不等的等腰三角形 等边三角形 锐角三角形：三个角都是锐角 __________：有一个角为90° 钝角三角形：有一个角是钝角 按角分 直角三角形　 等腰三角形 三角形 边、角 关系 边的关系：__________________________________________ 角的关系 边角关系：同一个三角形中，等边对等角，等角对______，大边对大角，小边对小角 内角和定理：____________________ 任意一个外角______与它不相邻的两个内角之和 任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 等边　 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边　 三角形内角和等于180° 等于 角的关系 内角和定理：____________________ 任意一个外角______与它不相邻的两个内角之和 任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 三角形 中的重 要线段 四线 图形 重要结论 高线 AD是△ABC的高线 1. AD⊥BC， 即∠ADB＝∠ADC＝90°； 2. 垂心：三角形的三条高线所在直线的交点； 3. = 四线 图形 重要结论 角平 分线 AD是△ABC 的角平分线 1. ∠1＝______＝∠BAC； 2. 角平分线上的点到角两边的距离相等，利用这一性质证线段相等或构造全等三角形等； 3. 内心：三角形的三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等，内心即三角形内切圆的圆心 (尺规作图常用)； 4. == 三角形 中的重 要线段 ∠2 四线 图形 重要结论 中线 AD是△ABC 的中线 1. BD＝______＝______BC； 2. 中线将三角形分成面积相等的两个三角形， 即S△ABD＝S△ACD＝S△ABC (尺规作图常用，几何压轴常考)； 3. 重心：三角形三条中线的交点，重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍 三角形 中的重 要线段 　 CD 四线 图形 重要结论 中位线 DE是△ABC 的中位线 1. AD＝DB，AE＝EC，______∥BC且DE＝______BC； 2. =，=； 3. 在特殊四边形中，已知一边中点，连接对角线的交点，构造中位线，判定平行，计算线段长度、周长、面积等 三角形 中的重 要线段 DE 【知识拓展】 三角形 中的重 要线段   图形 性质 延伸 垂直 平分线 DE为边BC的垂直平分线 DE⊥BC，且BE＝CE，BD＝CD 三角形的三条垂直平分线的交点为三角形的外心；外心到三角形三个顶点的距离相等 1.边：正n边形的各边长________；2.边数：正多边形的边数 3.内角：正n边形的每个内角相等，都等于________；4.外角：正n边形的每个外角相等，都等于________； 5.对称轴：正n边形都是轴对称图形，有________条对称轴； 6.边数为________的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形 1.内角和定理：n(n≥3)边形的内角和等于____________ 2.外角和定理：任意多边形的外角和都等于____________ 3.对角线：过n(n＞3)边形的一个顶点可以引________条对角线，n边形共有______条对角线 多边形 的性质 正n(n ≥3)边 形的 性质 (n－2)·180°　 360° n－3　 相等 　 n 偶数 基础题练考点 1. 若△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是　　　三角形.(填“锐角”“钝角”或“直角”) 钝角 三角形 的分类 三边都不相等的三角形 __________ 按边分 腰与底不等的等腰三角形 等边三角形 锐角三角形：三个角都是锐角 __________：有一个角为90° 钝角三角形：有一个角是钝角 按角分 直角三角形　 等腰三角形 2. (人教八上素材改编)举一个三角形的稳定性在实际生活中的例子：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ①桥梁拉杆采用三角形结构；②电视塔架底座采用三角形结构；③盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条；④使用跪姿射击；⑤一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定.(答案不唯一) 3. (北师七下随堂练习改编)若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是______________. 5(答案不唯一) 4. (北师八下例题改编)如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，连接BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°.则∠BDC的度数为　　　　，∠BFD的度数为　　　　. 63° 97° 三角形 边、角 关系 边的关系：__________________________________________ 角的关系 边角关系：同一个三角形中，等边对等角，等角对______， 大边对大角，小边对小角 等边　 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边　 三角形内角和等于180° 等于 角的关系 内角和定理：____________________ 任意一个外角______与它不相邻的两个内角之和 任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 5. 在△ABC中，D是BC上一点，连接AD. (1)如图①，AD是∠BAC的平分线. ①若∠B＝38°，∠C＝70°，则∠BAC＝　　　， ∠ADB＝　　　　； ②若AC＝2CD，则＝　　　　； 72° 106° 2 四线 图形 重要结论 角平 分线 AD是△ABC 的平分线 1. ∠1＝______＝∠BAC； 2. 角平分线上的点到角两边的距离相等，利用这一性质证线段相等或构造全等三角形等； 3. 内心：三角形的三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等，内心即三角形内切圆的圆心 (尺规作图常用)； 4. == ∠2 (2)如图②，若D是BC的中点，S△ABC＝6. ①则△ABD的面积为　　　　； ②若E是AB的中点，则DE与AC的位置关系为　　　　　， S△BDE＝　　　，S△ADE＝　　　； 3 DE∥AC 四线 图形 重要结论 中线 AD是△ABC 的中线 1. BD＝______＝______BC； 2. 中线将三角形分成面积相等的两个三角形， 即S△ABD＝S△ACD＝S△ABC (尺规作图常用，几何压轴常考)； 3. 重心：三角形三条中线的交点，重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍 　 CD 四线 图形 重要结论 中位线 DE是△ABC 的中位线 1. AD＝DB，AE＝EC，______∥BC且DE＝______BC； 2. =，=； 3. 在特殊四边形中，已知一边中点，连接对角线的交点，构造中位线，判定平行，计算线段长度、周长、面积等 DE (3)如图③，若AD⊥BC，AB＝，BD＝3，CD＝1，则△ABC中AC边上的高为　　　　； 　 四线 图形 重要结论 高线 AD是△ABC的高线 1. AD⊥BC， 即∠ADB＝∠ADC＝90°； 2. 垂心：三角形的三条高线所在直线的交点； 3. = (4)如图④，若DE是AB的垂直平分线，AB＝8，若△ACD的周长为14，则△ABC的周长为　　　　. 22   图形 性质 延伸 垂直 平分线 DE为边BC的垂直平分线 DE⊥BC，且BE＝CE，BD＝CD 三角形的三条垂直平分线的交点为三角形的外心；外心到三角形三个顶点的距离相等 6. (人教八上习题改编)已知正六边形ABCDEF. (1)正六边形ABCDEF的内角和等于　　　，每一个内角等于　　　，外角和等于　　　，每一个外角等于　　　，共有　　　条对角线； (2)正六边形ABCDEF　　　　轴对称图形，　　　　中心对称图形；(填“是”或“不是”) (3)(2019陕西12题3分)若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为　　　　； (4)如图①，连接DA，DF，则∠ADF＝　　　　°，的值为　　　　； 图① 720° 120° 360° 60° 9 是 是 6 30 (5)(2023陕西10题改编)如图②，对角线BE，DF相交于点G，若正六边形ABCDEF的边长为2，则BG的长为　　　　. 图② 3 1.边：正n边形的各边长________；2.边数：正多边形的边数 3.内角：正n边形的每个内角相等，都等于________； 4.外角：正n边形的每个外角相等，都等于________； 5.对称轴：正n边形都是轴对称图形，有_______条对称轴； 6.边数为________的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形 正n(n ≥3)边 形的 性质 相等 　 n 偶数 命题点 1 三角形及其边角关系(2021.4) 1. (2021陕西4题3分)如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE.若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为(　　) A. 60° B. 70° C. 75° D. 85° B 命题点 2 三角形中的重要线段(2020.6，2017.12A，其余在特殊三角形和尺规作图中考查) 2. (2020陕西6题3分)如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上.若BD是△ABC的高，则BD的长为(　　) A. B. C. D. D 3. (2022陕西副题10题3分)如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3.若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为　　　　. 拓展训练 4. (2024陕师大附中模拟)如图，△ABC中，D， E分别是AB，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，AB＝6，则DF的长为(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9 B 命题点 3 多边形的性质(10年7考) 5. (2021陕西10题3分)正九边形一个内角的度数为　　　　. 6. (2020陕西12题3分)如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是　　　　. 7. (2023陕西10题3分)如图，正八边形的边长为2，对角线AB，CD相交于点E，则线段BE的长为　　　　. 140° 144° 2＋ 8.(2024陕西副题10题3分)小芳用三个全等的正m边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠.如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则m＝　　　　. 9. (2023陕西副题12题3分)如图所示是工人师傅用边 长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O 进行的铺设.若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能 无空隙、不重叠地拼在∠AOB处，则这块正多边形 地砖的边数是　　　　. 12 6 第四章　三角形 第二节　一般三角形及其性质(含多边形) 精练 基础巩固 1. (人教八上习题改编)如图是一个摄影师使用三脚架支撑的摄影设备，这样做的道理是(　　) A. 帮摄影师减轻举起来的重量 B. 三角形具有稳定性 C. 简约美观 D. 架高摄影设备 B 2. 下列各组数中，能构成三角形三边长的是(　　) A. 1，1，2 B. 1，1，3 C. 1，2，2 D. 1，2，3 3. 在△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，则△ABC的形状是(　　) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 C B 4. (2024河北)观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的 (　　) 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 B 5. (北师八下知识技能改编)如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD是∠BAC的平分线，∠ADC＝110°，则∠BAC的度数为(　　) 85° B. 90° C. 95° D. 100° D 6. (2024乐山)下列多边形中，内角和最小的是(　　) A　 7. (2024兰州)如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在 AB外取一点 C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18 m，由此估测A，B之间的距离约为(　　) 18 m B. 24 m C. 36 m D. 54 m C 8. (2024枣庄)如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN＝120°，则n的值为(　　) 12 B. 10 C. 8 D. 6 A　 9. 如图，AD，CE是△ABC的两条中线，连接ED.若S△ABC＝16，则阴影部分的面积是(　　) 2 B. 4 C. 6 D. 8 B 10. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E.若DE＝2，则BD的长为(　　) 4 B. 2 C. 2 D. 2 D 11. (2024重庆A卷)如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形的边数为________. 12. (北师八下习题改编)如图，△ABC中，DE垂直平分AC，交AC于点E，交BC于点D，连接AD.若AD＝2，BD＝1， 则BC的长为________. 13. 如图，在△ABC中，O是三条角平分线的交点，过点O作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若AB＝9，AC＝6， 则△ADE的周长为________． 9 3 15 14. (2024西工大附中模拟)如图，△ABC的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则BC边上的高等于________. 15. 如图，正六边形ABCDEF的边长为6，M，N分别为AB，DE边的中点，连接MN并延长交CD的延长线于点P，则NP的长为________. 　 3 16. 如图，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点E，若∠A＝60°，则∠E＝________. 17. (2024高新一中模拟)如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为________度． 30° 36 18. 如图，在平面直角坐标系中，八边形ABCDEFGH是正八边形，点A的坐标为(0，－2)，点B的坐标为(－2，0)，则点F的坐标为 ____________________. (2＋2，2) 能力提升 19. (2024铁一中模拟)如图，已知AE，CD分别是△ABC的角平分线和中线，且AE⊥CD，垂足为F，G是BE的中点，连接DG，若AE＝CD＝8，则GC的长为(　　) A. 4 B. 4 C. 8 D. 8 A　 20. 如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是CD的中点，F是BE的中点，若△ABF的面积为6，则△ABC的面积为________. 24 $$第四章 三角形 第四节　全等三角形 精讲 第四节复习导图 判定思路 性 质 全等三角形 判定方法 SSS(边边边) SAS(边角边) HL ASA(角边角) AAS(角角边) 已知两边 已知一边和一角 已知两角 边、角 周长、面积 中线、高线、 角平分线、中位线 互逆 考点精讲 1.全等三角形的对应边______，对应角______ 2．全等三角形的周长________，面积________ 3．全等三角形对应的中线、高线、________、中位线都相等 性质 判定 方法 SSS(边边边) SAS(边角边) ASA(角边角) AAS(角角边) HL(斜边、直角边) 角平分线　 相等 相等 相等 相等 SSS(边边边) SAS(边角边) ASA(角边角) AAS(角角边) HL(斜边、直角边) 三边分别相等的 两个三角形全等 (基本事实) ____________ ________________________________ (基本事实) ______________________________________ ______ (基本事实) ____________ ____________ __________________________ ____________ __________________________ ____________ 判定 方法 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等　 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等　 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等　 找夹角→SAS 找直角→HL或SAS 找另一边→SSS 判定 思路 1.已知两组边相等 边为角的对边→找任一角→AAS 2．已知一组边和一 组角相等 找夹边→ASA 找任一已知角的对边→AAS 3．已知两组角相等 边为角 的邻边 找已知角的另一邻边→SAS 找已知边上的另一角→ASA 找已知边的对角→AAS 模型一　平移型(2024铁一中模拟) 模型分析 模型 展示 　 模型 特点 沿同一直线(BC)平移可得两三角形重合(△ABC和△DEF) 基础小练 1. (人教八上习题改编)如图，点A，B，C，D在一条直线上，AE∥BF，AE＝BF，若　　　　，则AB＝CD.请从①CE∥DF；②CE＝DF； ③∠E＝∠F中选择一个作为条件(写序号)，使结论成立，并说明理由. 解题 思路 证明三角形全等的关键：(1)加(减)共线部分CE，得BC＝EF； (2)利用平行线性质找对应角相等 解：选择①，理由如下： ∵AE∥BF，∴∠A＝∠FBD， ∵CE∥DF，∴∠ACE＝∠D， 在△AEC和△BFD中， ， ∴△AEC≌△BFD(AAS)， ∴AC＝BD， ∴AB＝CD； 或选择③，理由如下： ∵AE∥BF，∴∠A＝∠FBD， 在△AEC和△BFD中， ， ∴△AEC≌△BFD(ASA)， ∴AC＝BD， ∴AB＝CD. (①或③任选一种即可) 模型二　轴对称(翻折)型(2024.18，2017.19) 模型分析 模 型 展 示 有公共边 有公共顶点 模 型 特 点 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合 解 题 思 路 证明三角形全等的关键：(1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等；(2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C，AB＝DC， ∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE， 在△ABF和△DCE中，， ∴△ABF≌△DCE(SAS)， ∴AF＝DE. 2. (2024陕西18题5分)如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE＝CF.求证：AF＝DE. 拓展训练 3. (北师七下习题改编)如图，AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAE＝∠DAC.求证：BC＝DE. 证明：∵∠BAE＝∠DAC， ∴∠BAE＋∠EAC＝∠DAC＋∠EAC，即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中，， ∴△ABC≌△ADE(AAS)，∴BC＝DE. 模型三　不共顶点旋转型(10年3考) 模型分析 模型展示 模型特点 绕某一点旋转后，再平移可得两三角形重合 解题思路 证明三角形全等的关键：(1)加(减)公共部分CF，得BC＝EF； (2)利用平行线性质找对应角相等 4. (2019陕西18题5分)如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD.求证：CF＝DE. 证明：∵AE＝BF， ∴AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE， ∵AC∥BD， ∴∠CAF＝∠DBE， 又∵AC＝BD， ∴△ACF≌△BDE(SAS)， ∴CF＝DE. 模型四　共顶点旋转型(2023.18) 模型分析 模 型 展 示 模型展示 模型特点 绕公共顶点旋转可得两三角形重合 解题 思路 证明三角形全等的关键：加(减)共顶点的角的共角部分得一组对应角相等 5. (2023陕西18题5分)如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°.过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D，使AD＝AC，在边AC上截取AF＝AB，连接DF.求证：DF＝CB. 证明：∵在△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝20°， ∴∠CAB＝180°－∠B－∠C＝110°， ∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°， ∴∠DAF＝∠AEC＋∠C＝110°，∴∠DAF＝∠CAB， 又∵AD＝AC，AF＝AB，∴△DAF≌△CAB(SAS)， ∴DF＝CB. 拓展训练 6.(2024爱知中学模拟)如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB，求证：AC＝AE. 证明：∵∠BAC＝∠1＋∠DAC， ∠DAE＝∠2＋∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠2＋∠AFE＋∠E＝180°， ∠3＋∠DFC＋∠C＝180°， ∠2＝∠3，∠AFE＝∠DFC， ∴∠E＝∠C， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE(AAS)， ∴AC＝AE. 模型五　其他(10年3考) 模型五　一线三等角模型 详细讲解见本书P70微专题——一线三等角模型 模型分析 7. (2021陕西18题5分)如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC.求证：∠D＝∠ABC. 证明：∵BD∥AC，∴∠EBD＝∠C， ∵BD＝BC，BE＝AC， ∴△EDB≌△ABC(SAS)， ∴∠D＝∠ABC. 8. (2022陕西18题5分)如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A.求证：DE＝BC. 证明：∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠B， 在△CDE和△ABC中， ， ∴△CDE≌△ABC(ASA)，∴DE＝BC. 9. (2024陕西副题18题5分)如图， 在6×7的网格中， 每个小正方形的边长均为1， △ABC和△DFE的顶点都在格点上.求证：∠ABC＝∠DFE. 证明：依题意， 得AB＝EF＝， AC＝DE＝， BC＝DF＝. ∴△ABC≌△EFD. ∴∠ABC＝∠DFE. 第四章　三角形 第四节　全等三角形 精练 基础巩固 1. (北师八下习题改编)如图，若△ABF≌△CDE，则下列一定成立的是 (　　) A. AB＝CE B. ∠FAB＝∠ECD C. BF＝EF D. ∠ABF＝∠DCE B 2. 如图是油纸伞的截面图，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF，AE＝AB，AF＝AC，当O沿AD滑动时，油纸伞开闭，小亮由油纸伞的状态判断出△AOE≌△AOF，他的判定依据为(　　) A. SAS B. AAS C. SSS D. ASA C 3. 如图，若AB，CD相交于点E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，则∠ACD＝(　　) A. 56° B. 60° C. 76° D. 88° C 4. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)．若测量得A′B′＝10 cm，则工件内槽宽AB为(　　) A. 11 cm B. 10 cm C. 9 cm D. 8 cm B 5. [条件开放](2024牡丹江)如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D，E，F三点共线，请添加一个条件____________________，使得AE＝CE.(只添一种情况即可) DE＝EF(答案不唯一) 6. (2024成都)如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE 的度数为________. 7. (2024重庆A卷)如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F. 若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝________. 100° 3 8. (2024临夏州)如图，在△ABC中，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(4，1)，点C的坐标为(3，4)，点D在第一象限(不与点C重合)，且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是________. (1，4) 9. (2024福建)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD.求证：BE＝DF. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D. 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴BE＝DF. 10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC，过点C作CE∥AB，延长AC至点D，连接AE，BD，AD＝CE.求证：AE＝BD. 证明：∵∠ACB＝∠ABC，∴CA＝AB， ∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠BAD， 在△ACE和△BAD中， ， ∴△ACE≌△BAD(SAS)，∴AE＝BD. 11. (2024西交大附中模拟)如图，点B，F，C，E在一条直线上，点A，D分别在这条直线的两侧，已知∠B＝∠E，∠BAC＝∠EDF，BF＝CE.求证：AC∥DF. 证明：∵BF＝CE， ∴BF＋FC＝EC＋CF，∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF. 12. 如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，求证：∠B＋∠D＝45°. 证明：如图，在△ABC和△DAE中 ∴△ABC≌△DAE(SAS)， ∴∠B＝∠DAE， ∵∠DCE＝∠DAE＋∠ADC＝45°， ∴∠B＋∠ADC＝45°. E 能力提升 13. (2024广州)如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为(　　) A. 18 B. 9 C. 9 D. 6 C 14. (2024铁一中模拟)如图，△ABC是等边三角形，D是AC上一点，∠ABD＝∠ACE，AE∥BC.求证：△ADE是等边三角形． 证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠ACB＝60°， ∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠ACB＝60°＝∠BAD， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE(ASA)，∴AD＝AE， 又∵∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形. 15. 如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE.在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE.求证：DE＝BF. 证明：∵△ACD和△BCE是等腰三角形，AC，BC为底边， ∴AD＝CD，EC＝EB，∠A＝∠DCA， ∵∠A＝∠CBE，∴∠DCA＝∠CBE，∴CD∥BE， ∴∠DCE＝∠BEF， ∵EF＝AD，∴EF＝CD， 在△DCE和△FEB中， ， ∴△DCE≌△FEB(SAS)， ∴DE＝BF. $$