2025年中考数学（陕西）讲练结合复习 课件：第二章 方程

第二章 方程(组)与不等式(组) 第四节 一元一次不等式(组)及其应用 精讲 第四节复习导图 不等式的基本 性质及应用 一元一次不等式 的解法及解集表示 一元一次不等式组 的解法及解集表示 解集表示 一般步骤 一元一次不等式 的实际应用 一元一次 不等式(组) 及其应用 常见的关键词 一般步骤 解法 解集类型 及表示 考点精讲 不等式的基本性质及应用 性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，即如果a＞b，那么a±c＞b±c 应用：解不等式中的移项 性质2 ______________________________________________， 即如果a＞b，c＞0 ，那么ac_____bc(或 _____) 应用：解不等式中的去分母(或系数化为1) 性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac____bc(或____) 应用：解不等式中的去分母(或系数化为1) 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 ＜　 ＞　 ＞　 ＜　 一元一次不等式的解法及解集表示 一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1(注意不等号方向是否改变) 解集在数轴上的表示 解集 在数轴上的表示 总结 x＜a  方向：小于向左，大于向右； 边界：“≤”“≥”用实心圆点， “<”“＞”用空心圆圈 ________ x≤a ________ x＞a x≥a 一元一次不等式组的解法及解集表示 解法：先分别求出各个不等式的解集，再在数轴上表示出各不等式的解集或根据口 诀确定解集的公共部分 解集的类型及表示 类型(a＞b) 在数轴上的表示 口诀 解集 x＞a x≥b 同大取大 ________ x≤a x<b 同小取小 x＜b x＜a x≥b 大小小大 取中间 __________ x≥a x<b 大大小小 取不了 ________ x＞a b≤x＜a　 无解 一元一次不等式的实际应用 一般步骤：审、设、列、解、验、答 常见关键词 常见关键词 不等号 大于，多于，超过，高于 >  小于，少于，不足，低于 <  至少，不低于，不小于，不少于 ________ 至多，不高于，不大于，不超过 ________ 　≥　 　≤ 命题点1 不等式的性质 1. (人教八下练习改编)若a＞b，则下列结论中正确的是(　　) A. a＋3＜b＋3 B. a－5＜b＋3 C. ＞ D. －5a＞－5b C 命题点2 解一元一次不等式(组) (10年7考) 2. (2024陕西4题3分)不等式2(x－1)≥6的解集是(　　) A. x≤2 B. x≥2 C. x≤4 D. x≥4 3. (2024陕西副题4题3分)不等式组 的解集为(　　) A. x≥1 B. x≤1 C. x＜3 D. 1≤x＜3 D D 4. (2023陕西14题5分)解不等式：＞2x. 5. (2022陕西15题5分)解不等式组：. 解：去分母，得3x－5＞4x，移项，得3x－4x＞5， 合并同类项，得－x＞5，系数化为1，得x＜－5. 解：解x＋2＞－1，得x＞－3， 解x－5≤3(x－1)，得x≥－1， ∴原不等式组的解集为x≥－1. 变式 5.1加设问——解集表示 将该不等式组的解集在数轴上表示出来. 解：将解集表示在数轴上如解图所示. 解图 6. 解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解. 解：解2x－4＜3(x－1)，得x＞－1， 解x＋1≤，得x≤2， ∴该不等式组的解集为－1＜x≤2， ∴该不等式组的非负整数解为0，1，2. 命题点3 一元一次不等式(组)实际应用 (2024铁一中模拟) 7. 根据题意列不等式： (1)小泽原有18本图书，小星原有25本图书，从这个月开始，小泽每月购买5本图书，小星每月购买3本图书，设经过x个月后小泽的图书数量超过小星，可列不等式为　 　 　　　　； (2)(北师八下习题改编)现有价格为6元或10元的小礼品共12个，总金额不足100元，设价格为6元的小礼品个数为x个，可列不等式为　　 　　　 　 ； 18＋5x＞25＋3x 6x＋10(12－x)＜100 (3)建设一个长、宽分别是5米和4米的长方体的蓄水池，计划这个蓄水池至少能蓄水50立方米，设这个蓄水池的深度为x米，可列不等式为 ； (4)“x的5倍与8的差不大于27”，可列不等式为　　　　　　. 5×4x≥50 5x－8≤27 第二章　方程(组)与不等式(组) 第四节　一元一次不等式(组)及其应用 精练 基础巩固 1. (2024贵州)不等式x<1的解集在数轴上表示正确的是(　　) C 2. (人教七下练习改编)用不等式的性质说明图中的事实，正确的是(　　) A. 若a＋c＜b＋c，则a＜b B. 若a＞b，则a＋c＜b＋c C. 若a－c＜b－c，则a＜b D. 若ab＜bc，则a＜b A　 3. (2024广州)若a＜b，则(　　) A. a＋3＞b＋3 B. a－2＞b－2 C. －a＜－b D. 2a＜2b 4. (2024河北)下列数中，能使不等式5x－1＜6成立的x的值为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D A　 5. (2024河南)下列不等式中，与－x>1组成的不等式组无解的是(　　) A. x>2 B. x<0 C. x<－2 D. x>－3 A　 6. (2024浙江)不等式组的解集在数轴上表示为(　　) A　 7. 为响应“把人工智能知识普及作为智能教育发展的前提和基础”，某校成立了“智能机器人社团”，该社团在学校展览架的上下两层共摆放了40套机器人模型，若将上层的机器人模型拿5套放在下层，则下层的数量大于上层的数量，设上层原来摆了x套机器人模型，则可列不等式为 (　　) A. x－5＜40－x＋5 B. x＋5＜40－x－5 C. x－5＞40－x＋5 D. x＋5＞40－x－5 A　 8. (2024福建)不等式3x－2<1的解集是________. 9. 解不等式：<2x－1. x＜1 解：去分母，得5－3x＜4x－2， 移项，得－3x－4x＜－2－5， 合并同类项，得－7x＜－7， 系数化为1，得x＞1. 10. (2024交大附中模拟)解不等式1－>，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：去分母，得8－(7x－1)＞2(3x－2)， 去括号，得8－7x＋1＞6x－4， 移项，得－7x－6x＞－4－8－1， 合并同类项，得－13x＞－13， 系数化为1，得x＜1， 在数轴上表示出解集如解图. 解图 11. (2024北京)解不等式组： 解：令， 解不等式①，得x＜7， 解不等式②，得x＞－1， ∴不等式组的解集为－1＜x＜7. 12. (2024陕师大附中模拟)解不等式组： . 解：解2x－1≤3x，得x≥－1， 解＋1＜，得x＜5， ∴不等式组的解集为－1≤x＜5. 13. (2024高新一中模拟)解不等式组：，并求出最小整数解． 解：解2(x＋2)－x≤5，得 x≤1， 解＞x－1，得x＞－4， ∴不等式组的解集为－4＜x≤1， ∴不等式组的最小整数解为－3. 14. (2024南充)若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是(　　) A. m＞2 B. m≥2 C. m＜2 D. m≤2 15. (2024烟台)关于x的不等式m－≤1－x有正数解，m 的值可以是________________________(写出一个即可)． 能力提升 B 0(答案不唯一) 16. (2024铁一中滨河模拟)某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如表所示：   甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 35 30 租金(元/辆) 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3 000元． (1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ 解：(1)设参加此次劳动实践活动的老师有x人， 根据题意，得30x＋7＝31x－1， 解得x＝8， ∴30x＋7＝30×8＋7＝247， 答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人； (2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ (2)师生总数为247＋8＝255(人)， ∵每位老师负责一辆车的组织工作，∴一共租8辆车， 设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8－m)辆，根据题意， 得，解得3≤m≤5.5， ∵m为整数，∴m的值可取3，4，5， ∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆. $$第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用 精讲 第二章复习导图 方程(组)与不等式(组) 整式方程 一元一次方程 二元一次方程 一元二次方程 消元 降次 转化思想 化整 方程与方程组 方程(组)与不等式的实际应用 一元一次 不等式(组) 化归思想 解法 分式方程 模型观念 应用 解决问题 解分式方程 增根 第四节复习导图 等式的基本 性质及应用 性质 1 性质 2 一元一次 方程 概念 解法 二元一次方程 （组） 及其解法 相关概念 基本方法 实际应用 一般步骤 常见类型 一次方程(组) 及其应用 考点精讲 等式的基本性质及应用 性质1 等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或同一个整式)，结果仍是等式．即如果a＝b，那么a±c＝________ 应用：解方程中的移项 性质2 等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，结果仍相等．即如果a＝b，那么______＝bc；如果a＝b，那么＝______(c≠0) 应用：解方程中去分母或系数化为1 　 b±c　 ac　　 一元一次方程 概念：在一个方程中，只含有________个未知数，且未知数的次数都是 ________的整式方程 解法 思想：化归思想 步骤：1.去分母；2.去括号；3.移项；4.合并同类项；5.系数化为1 1 一 1　 2(x＋2)　 3x＋3 二元一次 方程(组) 及其解法 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整 式方程 二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程 解二元一 次方程组 基本方法 代入消元法：方程组中有一个方程的未知数的系数为1或－1 加减消元法：方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或系 数互为相反数或成整数倍 实际应用 一般步骤：审、设、列、解、验、答 常见类型 打折销售问题：售价＝标价×折扣；销售额＝______×销量； 利润＝售价－成本； 利润率＝×100% 行程问题 基本关系式：________＝速度×时间 相遇问题：全路程＝甲走的路程__________乙走的路程 追及问题 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的 路程 同时不同地出发：前者走的路程＋两地间距 离＝追者走的路程 工程问题：工作总量＝工作效率×__________ 工作时间 售价　 路程　 ＋ 命题点1 等式的基本性质 1. 根据等式的性质，下列判断一定正确的是(　　) A. 若a＝b，则a＋3＝b＋5 B. 若a－4＝b－4，则a＝b C. 若3a＝4b，则＝ D. 若ac＝bc，则a＝b B 命题点2 解一次方程(组)(10年16考，均为涉及考查) 2. (北师七上习题改编)若式子9x＋6与式子3(x－1)－9的值相等，那么x的值为　　　　. 3. (人教七上习题改编)已知是方程ax＋by＝3的解，则代数式2a＋4b－5的值为　　　. －3 1 4. (北师八上随堂练习改编)解方程组：. 解法一(代入消元法)： 解：令，由②得x＝－3＋2y③， 把③代入①，得3(－3＋2y)－y＝－4，解得y＝1， 把y＝1代入③得x＝－1，则原方程组的解为. 解法二(加减消元法)： 解：令， ①×2，得6x－2y＝－8③， ③－②，得5x＝－5，解得x＝－1， 将x＝－1代入①得y＝1，则原方程组的解为. 命题点3 一次方程(组)的实际应用(10年4考) 5. (2021陕西11题3分)幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图.如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为　　　　. －2 6. (2023陕西20题5分)小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元.已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价. 解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元， 根据题意，得4x＋6(x－3)＝62， 解得x＝8， 答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元. 7. (2024陕西副题20题5分)塞罕坝机械林场经过三代务林人的接续奋斗，已知现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1 007 万m3，已成为目前世界上最大的人工林场；又知现在该林场的林木总蓄积比原来的31倍还多17 万m3， 请问该林场原来的林木总蓄积是多少万m3 ？ 解：设该林场原来的林木总蓄积是x万m3， 依题意， 得31x＋17＝x＋1 007， 解得x＝33. ∴该林场原来的林木总蓄积是33万m3. 8. (2024陕西20题5分)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h；若爸爸单独完成，需2 h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间. 解：设这次小峰打扫了x h， 根据题意，得x＋(3－x)＝1， 解得x＝2， 答：这次小峰打扫了2 h. 第二章　方程(组)与不等式(组) 第一节　一次方程(组)及其应用 2025陕西数学 精练 基础巩固 1. (北师八上做一做改编)根据等式的性质，下列各式变形正确的是(　　) A. 若＝，则a＝b B. 若ac＝bc，则a＝b C. 若a2＝b2，则a＝b D. 若－x＝6，则x＝－2 A　 2. (2023永州)关于x的一元一次方程2x＋m＝5的解为x＝1，则m的值为 (　　) A. 3 B. －3 C. 7 D. －7 A　 3. 方程组的解是(　　) A. B. C. D. A　 4. (2024福建)今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120 327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x 亿元，则符合题意的方程是(　　) A. (1＋4.7%)x＝120 327 B. (1－4.7%)x＝120 327 C. ＝120 327 D. ＝120 327 A　 5. (2024陕西黑白卷)明代数学 家程大位所著的《算法统宗》中有一道题，其大意为：有83 000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排用于制作笔管或笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，可列方程组为______________． 6. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＝1，则m的值为________． 7. (2024铁一中滨河模拟)用“△”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a△b＝a2b＋a－b，如：1△3＝12×3＋1－3＝1，若2△x＝x＋6(其中x为有理数)，则x的值为________． －1 2 8. (2024新疆)解方程：2(x－1)－3＝x. 解：去括号，得2x－2－3＝x， 移项，得2x－x＝2＋3， 解得x＝5. 9. (2024铁一中滨河模拟)解方程：－1＝. 解：去分母，得2(x＋1)－6＝5x－1， 去括号，得2x＋2－6＝5x－1， 移项、合并同类项，得－3x＝3， 系数化为1，得x＝－1. 10. 解方程组：. 解：方程组化简为， ②×2得4x＋2y＝8③， ①－③得y＝－4， 将y＝－4代入②，得x＝4， ∴原方程组的解为. 11. (2024交大附中模拟)小嫄每天早上要到距家1 000米的学校上学．某一天，小嫄以80米/分的速度出发，5分钟后，小嫄的爸爸发现她忘了带数学课本，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小嫄，并且在途中追上了她．求爸爸追上小嫄用了多长时间？ 解：设爸爸追上小嫄用了x分钟， 由题意，得80(x＋5)＝180x， 解得x＝4， 答：爸爸追上小嫄用了4分钟. 能力提升 12. (2024北京)为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段(以下简称“标准”)．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35 mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50 mg/km. 已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92 mg/km.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40 mg/km.判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”，理由如下： 设改进前A类物质排放量为x mg/km，则B类物质排放量为(92－x) mg/km， 根据题意有(1－50％)x＋(1－75％)(92－x)＝40， 解得x＝68， ∴改进后A类物质排放量是(1－50％)×68＝34(mg/km)， ∵34＜35， ∴改进后A类物质排放量符合“标准”. 农作物品种 每公顷所需人数(位) 每公顷所需投入资金(万元) A 4 8 B 3 9 13. (2024安徽)乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表： 已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 解：设A，B这两种农作物的种植面积分别为x，y公顷， 根据题意，得 解得. 答：A，B这两种农作物的种植面积分别为3公顷，4公顷. $$第二章 方程(组)与不等式(组) 第三节 一元二次方程及其应用 精讲 第三节复习导图 一元二次方程 根的情况 一元二次方程 及其应用 概念 一般形式 一元二次方程的 概念及一般形式 一元二次方程 根与系数的关系 实际应用 根与系数关系 常见变形形式 解法 直接开平方法 因式分解法 公式法 配方法 平均增长率 (下降率)问题 每每问题 面积问题 循环赛问题 考点精讲 概念：____________________________________________________________________ 一般形式：ax2＋bx＋c＝0(其中a，b，c为常数，a______0) 解法 思想：降次思想 解法 适用情况或步骤 直接开 平方法 1.当方程缺少一次项时，即方程ax2＋c＝0(a≠0，ac≤0)； 2.形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程(开方降次) 因式分 解法 1.常数项为0，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)； 2.一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积 注：方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 ≠ 解法 适用情况或步骤 公式法 适用于所有一元二次方程，求根公式为________________(b2－4ac≥0) 步骤：1.使用求根公式时要先把一元二次方程化为一般形式，方程的 右边一定要化为0； 2.判断b2－4ac的正负；若b2－4ac________0，则原方程无解； 3.若b2－4ac________0，将a，b，c代入公式时应注意其符号 解法 x＝　 ＜ ≥ 解法 适用情况或步骤 配方法 适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程，且各项的系数比较小便于配方 步骤：以2x2－8x＋4＝0为例 1.变形：将二次项系数化为1；x2－4x＋2＝0 2.移项：将常数项移到方程的右边；x2－4x＝－2 3.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；x2－4x＋4 ＝－2＋4，即(x－2)2＝2 4.求解：用直接开平方法求解．x1＝2＋，x2＝2－ 解法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况 1．b2－4ac>0⇔一元二次方程有两个________的实数根 2．______________⇔一元二次方程有两个相等的实数根 3．b2－4ac<0⇔一元二次方程无实数根 【满分技法】将一元二次方程配方后变为(x＋m)2＝n的形式，n＝0时，有两个相等的实数根；n<0时，无实数根；n>0时，有两个不相等的实数根． 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根，则x1 ＋x2＝－，x1·x2＝ (2022年版课标调整为考查内容) b2－4ac＝0 不相等 实际应用 一般步骤：审、设、列、解、验、答 常见类型 平均增长率(下降率)问题 1 ．增长率＝×100% 2．设a为原来的量，b为变化后的量： 当m为平均增长率，2为增长次数，b＝_________； 当m为平均下降率，2为下降次数，b＝a(1－m)2 每每问题：利润＝售价－成本，总利润＝(每件售价－每件成本)×数量 【满分技法】在每每问题中，若单价每涨a元，少卖b件，则涨价x元，少卖的数量为·b件． a(1＋m)2 实际应用 常见类型 面积问题 循环赛制问题 1.如图1，设阴影部分的宽为x，则S空白＝________________ 2.如图2，设阴影部分的宽为x，则S空白＝______________ 3.如图3，设阴影部分的宽为x，则S空白＝______________ 4.如图4，栏杆总长为a，BC的长为b，则S阴影______________ 1.单循环淘汰赛(握手)问题：设x队进行m场比赛，则m＝__________ 2．互赠照片问题：全班x人，每人向其他人赠送一张，共赠送m张，则m＝__________ 　 (a－2x)(b－2x)　 (a－x)(b－x)　 (a－x)(b－x)　 b(a－b)　 x(x－1) 基础题练考点 1. 下列方程，属于一元二次方程的是(　　) A. (x－2)(x－1)＝6 B. x2＋y＝0 C. x(x－3)＝x2－1 D. ax2＋bx＋c＝0 2. (人教九上例题改编)用配方法解方程x2＋8x＋7＝0，变形后的结果正确的是(　　) A. (x＋4)2＝－7 B. (x＋4)2＝9 C. (x＋4)2＝23 D. (x＋4)2＝－9 3. (北师九上随堂练习改编)已知关于x的一元二次方程x2－4x＋2＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2＝　　　　，x1x2＝　　　　，＋＝　　　　. A B 4 2 12 4. (北师九上习题改编)已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x＋1＝0. (1)若该方程的一个解为x＝2，则m的值是　　　　； (2)若该方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　　 　　； (3)若该方程有两个相等的实数根，则m的值是　　　　； (4)若该方程无实数根，则m的值可能是　 　. 5. 根据题意解答下列各题： (1)某舞蹈社团组织社内x名成员进行巡演，每两个人之间都要搭档演出一场，一共演出了66场，则根据题意可列出方程　　　　 　　　； (2)(2022陕西副题11题3分)某县2019年粮食总产量为100万吨，经过两年的努力，该 县2021年粮食总产量达到121万吨，则该县这两年粮食总产量的年平均增长率为　 　 ； 　 m＜2且m≠1 2 3(答案不唯一，m＞2即可) x(x－1)＝66 10％ (3)(北师九上例题改编)某水果店以进价每千克11元购进一批黄梨，按每千克20元出售，平均每天可售出60千克，后来经过市场调查发现，销售单价每降低1元，则平均每天销售量可增加20千克.若想平均每天获利700元的同时能使顾客得到更大优惠，则每千克黄梨应降价　　　　元； (4)(人教九上习题改编)某展览馆计划将长60 m，宽40 m的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是面积为1 500 m2的一个矩形展览区，四周留有等宽的通道(图中阴影部分)，则通道的宽为　　　m. 4 5 6. (北师九上复习题改编)解下列方程： (1)(2x＋3)2－25＝0； (2)3x2－4x＋2＝0； 解：(1)(2x＋3)2－25＝0， (2x＋3)2＝25， 2x＋3＝±5， ∴x1＝1，x2＝－4； 解：(2)3x2－4x＋2＝0， ∵a＝3，b＝－4，c＝2， ∴(－4)2－4×3×2＝－8＜0， ∴方程没有实数解； (3)x(x－6)＝5(6－x). 解：(3)x(x－6)＝5(6－x)， x(x－6)＋5(x－6)＝0， (x－6)(x＋5)＝0， ∴x－6＝0或x＋5＝0， ∴x1＝6，x2＝－5. 第二章　方程(组)与不等式(组) 第三节　一元二次方程及其应用 精练 基础巩固 1. (人教九上例题改编)若关于x的方程(k－3)x2－8x－10＝0是一元二次方程，则k的取值范围是(　　) A. k＝3 B. k≠3 C. k>3 D. k≠0 2. (2024贵州)一元二次方程x2－2x＝0的解是(　　) A. x1＝3，x2＝1 B. x1＝2，x2＝0 C. x1＝3，x2＝－2 D. x1＝－2，x2＝－1 B B 3. (2024自贡)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是(　　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 A　 4. (人教九上例题改编)若一元二次方程的根为x＝，则该一元二次方程为(　　) A. 2x2＋3x＋1＝0 B. －2x2－3x＋1＝0 C. －2x2＋3x－1＝0 D. －2x2＋3x＋1＝0 5. (2024广安)若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(　　) A. m＜0且m≠－1 B. m≥0 C. m≤0且m≠－1 D. m＜0 D A　 6. (2024交大附中模拟)若关于x的一元二次方程mx2－nx＋2＝0(m≠0)的一个根是x＝－1，则m＋n的值是________． 7. (2024河南)若关于x的方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为______． －2 8. (2024铁一中模拟)如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路(图中的阴影部分)，余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，可列方程(化为一般式)为____________________． x2－38x＋37＝0 9. 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为________个． 10. [结论开放](2024云南改编)若一元二次方程x2－2x＋c＝0无实数根，则实数c可以取的整数是___________________________________． 11. (2024烟台)若一元二次方程2x2－4x－1＝0 的两根为m，n，则 3m2－4m＋n2的值为________． 6 2(答案不唯一，取c＞1的整数即可) 6 12. 解方程：3x(x－2)＝6－3x. 解：3x(x－2)－3(2－x)＝0， 3x(x－2)＋3(x－2)＝0， (x－2)(3x＋3)＝0， x－2＝0或3x＋3＝0， 解得x1＝2，x2＝－1. 13. (2024铁一中滨河模拟)解方程：3x2＋4x－1＝0.(用配方法) 解：3x2＋4x－1＝0， 3x2＋4x＝1， x2＋x＝， x2＋x＋＝＋， (x＋)2＝， x＋＝±，解得x1＝－＋，x2＝－－. 14. (2024铁一中滨河模拟)陕西是面食之乡，其中以“臊子面”最为有名，它柔软光滑、易于消化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、四川担担面被誉为我国五大面食．西安“面霸”餐馆一份臊子面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份臊子面价格是多少元时，“面霸”餐馆能实现每天1 080元的利润？ 解：设当每份臊子面提高x元时，每天的销量为(160－10x)份，每份的利润为(12－7＋x)元，则每份臊子面价格是(12＋x)元， 由题意，得(12－7＋x)(160－10x)＝1 080， 整理，得x2－11x＋28＝0， 解得x1＝4，x2＝7， 当x＝4时，12＋x＝16； 当x＝7时，12＋x＝19； 答：每份臊子面价格是16元或19元时，“面霸”餐馆能实现每天1 080元的利润. 15. (2024西工大附中模拟)某旅行社为吸引顾客组团去某风景区旅游，推出了如下收费标准(如图所示)： 某单位组织员工去该风景区旅游，共支付给该旅行社旅游费用27 000元，请问该单位这次共有多少名员工去该风景区旅游？ 解：设该单位这次共有x名员工去风景区旅游. ∵27 000÷1 000＝27(人)，27＞25， ∴x＞25； ∵人均费用不低于700，1000－20(x－25)≥700，解得x≤40， ∴25＜x≤40， 根据题意，列方程 x[1 000－20(x－25)]＝27 000， 整理得x2－75x＋1 350＝0， 解得x1＝30，x2＝45(不符合题意，舍去)， 答：该单位这次共有30名员工去风景区旅游. 能力提升 16. (2024高新一中模拟)中国中央电视台2024年春晚的主题为——“龙行龘龘，欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注．龙行龘龘(dá dá)为中国古文，出自四库本《玉篇》23龙部第8字，文字释义为群龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某销售平台从2024年元旦开始经销一批印有“龘”字图案的T恤，1月份该T恤的销量约为5 000件，3月份的销量约为7 200件，且2，3月份销售量的增长率相同． (1)求该款T恤销量的月平均增长率； 解：(1)设该款T恤销量的月平均增长率为x， 由题意得5 000(1＋x)2＝7 200， 解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2(不符合题意，舍去). 答：该款T恤销量的月平均增长率为20％. (2)3月份以后，该款T恤的销量逐渐减少，如果月销量平均下降率与平均增长率相同，估计5月份时该款T恤的销售量为________件． 4 608 $$第二章 方程(组)与不等式(组) 第二节 分式方程及其应用 精讲 第二节复习导图 分式方程 及其解法 分式方程 及其应用 一般步骤 常考类型及公式 分式方程的 实际应用 概念 增根（北师独有） 步骤 考点精讲 概念：________________________________________ 解分式方 程的步骤 一化：分式方程去分母,给方程两边同乘_____________整式方程 二解：解整式方程 三检验：将整式方程的根x＝a代入____________，若不为0，则x＝a是 分式方程的根；若为0，则x＝a是分式方程的增根 四写根：x＝a是原分式方程的根或原分式方程无解 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 最简公分母　 最简公分母　 【满分技法】分式方程的增根与无解并非同一概念． 1．增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根 2．无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解使得最简公分母为0 增根：去分母后的整式方程的根，使得原分式方程的分母为________的根(北师独有) 0　 实际应用 一般步骤：审、设、列、解、验、答 常见类型 工程问题 工作效率＝____________，工作时间＝ 【满分技法】题干中未告诉工作总量或总路程时，工作总量或总路程可以看作单位“1”，则工作效率＝. 销售问题：折扣＝________，标价＝ 行程问题：时间＝ 　 命题点1 解分式方程 (10年5考) 1. (2024陕西16题5分)解方程：＋＝1. 解：去分母，得2＋x(x＋1)＝x2－1， 去括号，得2＋x2＋x＝x2－1， 移项、合并同类项，得x＝－3， 检验，当x＝－3时，x2－1≠0， ∴x＝－3是原方程的解. 2. (2023陕西副题16题5分) 解方程：－1＝. 解：去分母，得2x2－x(x＋5)＝(x＋5)2， 去括号，得2x2－x2－5x＝x2＋10x＋25， 移项、合并同类项，得－15x＝25， 系数化为1，得x＝－， 检验，当x＝－时，x(x＋5)≠0，∴x＝－是原方程的解. 变式 2.1变条件——分子添加未知数 已知分式方程－1＝. (1)若该方程无解，则m的值为　　　　； (2)若该方程有增根，则m的值为　　　. 7或5　 5 3. 解方程：－＝1. 解：去分母，得x(x－1)－2＝x2－3x， 去括号，得x2－x－2＝x2－3x， 移项、合并同类项，得2x＝2， 系数化为1，得x＝1， 检验，当x＝1时，x2－3x≠0， ∴x＝1是原方程的解. 4. (2024西工大附中模拟) 解方程：1＋＝. 解：去分母，得x－3－1＝2－x， 移项、合并同类项，得2x＝6， 系数化为1，得x＝3， 检验，当x＝3时，x－3＝0， ∴x＝3是原方程的增根，原方程无解. 5. [注重过程性]下面是小云同学和小毫同学作业中解分式方程－＝1的过程，请认真阅读后解决问题： 小云： 解：去分母，得1－(x－2)＝1， 去括号，得1－x＋2＝1， 移项，得－x＝1－1－2， 合并同类项，得－x＝－2， 系数化为1，得x＝2. 小毫： 解：去分母，得1－(x－2)＝x， 去括号，得1－x－2＝x， 移项，得－x－x＝－1＋2， 合并同类项，得－2x＝1， 系数化为1，得x＝－. 小云和小毫的解答过程是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出正确的解答过程. 解：小云和小毫的解答过程都错误. 正确解答过程如下： 去分母，得1－(x－2)＝x，去括号，得1－x＋2＝x， 移项，得－x－x＝－1－2，合并同类项，得－2x＝－3， 系数化为1，得x＝， 检验，当x＝时，x≠0，∴x＝是原方程的解. 命题点 2 分式方程的实际应用 (2024高新一中模拟) 基础小练 6. (人教八上练习改编)七年级(1)班学生去某森林公园春游，已知公园距离学校15千米，其中一部分学生提前30分钟骑自行车前往，其余学生乘坐大巴车，结果他们同时到达，已知大巴车的速度是学生骑自行车速度的2倍，设学生骑自行车的速度为x千米/小时，则可列方程为　　 . －＝0.5 7. (北师八下习题改编)某蓄水池内有甲、乙两根进水管，两管同时开放6 h可以把水池注满，如果单独开甲管5 h后，两管同时开放，还需3 h才能注满全池，那么单独开放甲管，注满水池需要多长时间？ 解：设单独开放甲管，注满水池需要x h，则甲管的工作效率为， 根据题意，得×5＋×3＝1， 解得x＝10. 经检验，x＝10是原方程的解，且符合实际. 答：单独开放甲管，注满水池需要10 h. 8. (2024高新一中模拟)某水果店用1 000元购进一批苹果进行销售，由于销售良好，该店又以2 500元购进同一种苹果，第二次进货价格比第一次每千克提高了1元，第二次所购进苹果的重量恰好是第一次购进苹果重量的2倍，求该水果店第一次购进苹果的单价. 解：设该水果店第一次购进苹果的单价为x元/千克，则第二次购进苹果的单价为(x＋1)元/千克， 由题意，得＝×2，解得x＝4， 经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意. 答：该水果店第一次购进苹果的单价为4元/千克. 第二章　方程(组)与不等式(组) 第二节　分式方程及其应用 精练 基础巩固 1. (北师八下例题改编)下列方程中，不是分式方程的是(　　) A. －＝5 B. ＝1 C. ＝ D. ＝－2 2. (人教八上练习改编)解分式方程＋1＝时，去分母后得到的方程是(　　) A. x－2＋(2x－1)＝1 B. x－2＋(2x－1)＝－1 C. x－2＋1＝1 D. x－2＋1＝－1 A　 B 3. (2024广东省卷)方程＝的解是(　　) A. x＝－3 B. x＝－9 C. x＝3 D. x＝9 4. 已知x＝3是分式方程＝的解，则a的值为(　　) A. －1 B. 1 C. 3 D. －3 5. 关于x的方程＝＋1有增根，则m的值是(　　) A. 0 B. 2或3 C. 2 D. 3 D A　 D 6. (2024达州)甲，乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件．可列方程为(　　) A. ＝30 B. ＝30 C. ＝ D. ＝ D 7. (2024枣庄)为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造．改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为(　　) A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 8. (2024北京)方程＝0的解为______． B x＝－1 9. (2024高新一中模拟)解方程：＝1. 解：去分母，得(x－2)(x＋2)＋3x＝x(x＋2)， 去括号，得x2－4＋3x＝x2＋2x， 移项，合并同类项，得x＝4， 检验：当x＝4时，x(x＋2)≠0， ∴x＝4是原分式方程的解. 10. (2024西工大附中模拟)解方程：＝－2. 解：去分母，得3－x＝－1－2(x－4)， 去括号，得3－x＝－1－2x＋8， 解得x＝4， 检验：当x＝4时，x－4＝0， ∴x＝4是原方程的增根，原分式方程无解. 11. (2024铁一中模拟)解分式方程：＝. 解：去分母，得2＋3x＝x－2， 解得x＝－2， 检验：当x＝－2时，2(x－2)≠0， ∴x＝－2是原分式方程的解. 12. 解方程：＝1－. 解：去分母，得(x－2)(x－3)＝x2－9－2x， 去括号，得x2－3x－2x＋6＝x2－9－2x， 解得x＝5， 检验：当x＝5时，x2－9≠0， ∴x＝5是原分式方程的解. 13. (2024陕师大附中模拟)解方程：－1＝. 解：去分母，得(x－2)2－(x＋1)(x－2)＝3(x＋1)， 去括号，得x2－4x＋4－x2＋2x－x＋2＝3x＋3， 移项，得x2－4x－x2＋2x－x－3x＝3－4－2， 合并同类项，得－6x＝－3， 解得x＝， 检验：当x＝时，(x＋1)(x－2)≠0， ∴x＝是原分式方程的解. 14. (2024云南)某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度． 解：设D型车的平均速度是x千米/小时，则C型车的平均速度是3x千米/小时， 由题意得－＝2， 解得x＝100， 经检验，x＝100是分式方程的解，且符合题意. 答：D型车的平均速度是100千米/小时. 15. (北师八下复习题改编)南山荔枝是中国国家地理标志产品，品种多样，其中糯米糍是最受大家喜爱的品种．某水果店上午购进了一批总价为4 800元的糯米糍，很快销售一空．下午水果店老板又补购了2 000元的糯米糍，单价比上午便宜了4元，并且下午的补货量恰好是上午的一半．求糯米糍上午的进价是多少元/斤？ 解：设糯米糍上午的进价为x元/斤， 根据题意，得×＝，解得x＝24， 经检验，x＝24是原分式方程的解，且符合实际， 答：糯米糍上午的进价为24元/斤. 能力提升 16. 若关于x的分式方程＝1无解，则m的值为________． －2或1 $$