1.1.1 同底数幂的乘法 课件 2024—2025学年北师大版数学七年级下册

湘教版数学 七年级下册 第一章 整式的乘法 1.1.1 同底数幂的乘法 复习导入 a a a2 a a3 ＝ a·a ＝ a·a·a 2 3 a4 a5 a6 an ＝ a·a·a·a ＝ a·a·a·a·a ＝ a·a·a·a·a·a ＝ a·a········a n个 有理数 n a an ＝ a·a········a n个 求n个相同因数的乘积的运算，叫作乘方. 复习导入 底数 指数 乘方 幂 ≈ n个相同的因数乘积的简便记号，叫作幂. 公元1607年，利玛窦和徐光启合译欧里几得的《原本》时，对“幂”字做了注解：“自乘之数曰幂.” 拓展知识 探究新知 22×24＝____________; a2·a4＝____________; a3·am＝____________(m是正整数). 观察 2 2 a a a a 同底数幂相乘. 22×24＝ （2×2）×（2×2×2×2） ＝2×2×2×2×2×2 ＝26. 2个2 4个2 （2＋4）个2 a2·a4＝ （a·a）·（a·a·a·a） ＝a·a·a·a·a·a ＝a6. 2个a 4个a （2＋4）个a a3·am＝ (a·a·a )·(a· a ·····a) ＝a·a·a·····a ＝a3+m. 3个a m个a （3＋m）个a 通过观察，你发现上述式子的指数和底数是怎样变化的？ 2 2 2 a a a a a a 2 4 6 2 4 6 3 m 3+m 底数不变， 指数相加. 26 a6 a3+m 探究新知 22×24＝____________; a2·a4＝____________; a3·am＝____________（m是正整数）; 观察 2 2 a a a a 同底数幂相乘. 22×24＝ （2×2）×（2×2×2×2） ＝2×2×2×2×2×2 ＝26. 2个2 4个2 （2＋4）个2 2 2 2 2 4 6 a2·a4＝ （a·a）·（a·a·a·a） ＝a·a·a·a·a·a ＝a6. 2个a 4个a （2＋4）个a a a a 2 4 6 a3·am＝ （a·a·a )·(a· a · ····a） ＝a·a·a·····a ＝a3+m. 3个a m个a （3＋m）个a a a a 3 m 3+m 抽象 我们把上述运算过程推广到一般情况（即am·an），即 猜想 am·an am+n. ＝ 26 a6 a3+m 26 a6 a3+m 2 4 2 4 3 m 我们把上述运算过程推广到一般情况（即am·an），即 am·an am+n. ＝ 观察 抽象 猜想 论证 am·an＝ （ a·a·····a ）·（a·a·····a） m个a n个a ＝a·a·a·····a （m＋n）个a ＝am+n （m，n都是正整数）. 证明： am+n ←乘方的意义 ←乘法结合律 ←乘方的意义 22×24＝____________; a2·a4＝____________; a3·am＝____________（m是正整数）; 2 2 a a a a 26 a6 a3+m 26 a6 a3+m 2 4 2 4 3 m 探究新知 同底数幂相乘. 探究新知 我们把上述运算过程推广到一般情况（即am·an），即 观察 抽象 猜想 论证 am·an＝ am+n （m，n都是正整数）. 也就是 am·an＝ （ a·a·····a ）·（a·a·····a） m个a n个a ＝a·a·a·····a （m＋n）个a ＝am+n （m，n都是正整数）. 证明： am+n 于是，我们得到： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 22×24＝____________; a2·a4＝____________; a3·am＝____________（m是正整数）; 2 2 a a a a 26 a6 a3+m 26 a6 a3+m 2 4 2 4 3 m 同底数幂相乘. “特殊” “一般” 严格的证明 乘法法则 探究新知 例 1 计算: （1）105×103； （2）x3 · x4. 解： 105×103 = 105+3 = 108. 解: x3 · x4 = x3+4 = x7. [教材P3 例题1] 下列计算对不对？如果不对，应该怎样改正？ (1) a2 · a5= a10. (2) a3 · a3= 2a6. (3) a · a4= a4. (1) a2 · a5= a7. (2) a3 · a3= a6. (3) a · a4= a5. × × × 探究新知 （1） -a·a3; 解: -a·a3 = (-1)·a1+3 =﹣a4 （2） -y n · y n+1 (n为正整数). 解： -yn · yn+1 = (-1)·yn+n+1 = -y2n+1. 例 2 计算: [教材P3 例题2] 探究新知 思考： 当三个或三个以上的同底数幂相乘时，怎样用公式表示运算的结果呢？ am·an·ak ＝ （ a·a·····a ）·（a·a·····a） ·（a·a·····a） m个a n个a ＝a·a·a·····a （m＋n＋k）个a ＝am+n+k (m，n，k都是正整数). 证明： am+n+k am·an·ak = ? (m，n，k都是正整数). k个a 也就是 am·an·ak ＝am+n+k 同理可知，若三个以上的同底数幂相乘， 底数______， 指数______. 不变 相加 探究新知 例 3 计算： （2）(-x)×(-x2)×(-x3)； （1） y · y2 · y4 . 解: y · y2 · y4 = (y · y2) · y4 = y7. = y3 · y4 或: y · y2 · y4 = y1+2+4 = y7. 解: (-x)×(-x2)×(-x3) =-(x·x2·x3) =-x6 或: (-x)×(-x2)×(-x3) =-x1+2+3 = -x6 . =-(x3·x3) [选自教材P3 例题3] 1.计算： （1）56×54； （2）x · x3； 解： 56×54 = 56+4 = 510. 解: x · x3 = x1+3 = x4. （3）(-2)3·(-2)4； （4）-a5 · a5. 解： (-2)3·(-2)4 = (-2)3+4 = (-2)7. 解: -a5 · a5 = -a5+5 = -a10. （5）xm+1 · xm-1. 解: xm+1 · xm-1 = xm+1+m-1 = x2m. [教材P4 练习 第1题] (其中m>1,且m是正整数) 巩固练习 解： (-x)×x3×(-x)5 = (-1)×(-1)×x1+3+5 = x9 2. 计算： 解： x2 · x3 · x4 = x2+3+4 = x9 （2）(-x)×x3×(-x)5； （1）x2 · x3 · x4 ； [教材P4 练习 第2题] 解： xn×xn+1×xn+2 = xn+n+1+n+2 = x3n+3 （3）xn · xn+1 · xn+2；(n是正整数) 课堂小结 同底数幂的乘法 幂的运算 am·an＝ am+n （m，n都是正整数）. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 观察 抽象 猜想 论证 “数学思维” “特殊” “一般” 严格的证明 “归纳推理”过程 “特殊” 应用 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 课后作业 $$