第6.3节 万有引力定律的应用（第1课时）-【帮课堂】2024-2025学年高一物理同步学与练（沪科版2020上海必修第二册）

第六章 万有引力定律 6.3 万有引力定律的应用(1) 课程标准 1.掌握称量中心天体的质量和计算天体密度的方法。 2.理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法：重力加速度法和环绕法。 3.熟练进行抽象计算的能力。 物理素养 物理观念：理解万有引力定律是解决天体问题的有力工具的观念。 科学思维：建立测量天体质量和密度的物理模型思维和思路。 科学探究：思考如何测量天体的质量和密度的方法。 科学态度与责任：感知科学家发现万有引力定律的在人类探索太空天体的巨大贡献，激发对物理的学习兴趣。 一、万有引力的三种作用效果（表现形式） 1. 平衡状态：在拉力（或支持力）的作用下保持静止或匀速直线状态，此时 F万=F拉≈mg ①在地球表面忽略地球自转，可认为F拉=mg。 ②不仅适用地球表面，在其它天体上用弹簧秤常量物体重力时也适用。 2. 自由落体：在万有引力作用下，物体自由下落，此时 F万＝G＝mg ①不仅适用地球，也适用其它天体。 ②不仅地球表面，也适用于一定高度。 3. 匀速圆周运动：万有引力提供向心力，物体做匀速圆周运动：F万＝ma 即：G＝m＝mω2r＝mr ①在天体表面时轨道半径r=天体半径R。 ②研究天体运动时，通常都是圆周运动，因此此公式是分析天体运动的基本原理。 二、称量中心天体质量与密度 1. 称量地球的质量（重力加速度法） (1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力。 (2)关系式：G＝mg (3)结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量M。 (4)推广：若知道星球表面的重力加速度g和星球半径R，可计算出该星球的质量。 g可以通过抛体运动规律来测量。 2. 计算天体的质量（环绕法） (1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。 (2)关系式：＝mr （以T为例） (3)结论：M＝，只要知道引力常量G，周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。 由于v、ω、r、T之间可以互推，理论上(r、T) (v、T) (r、ω) (v、ω)组合均可求出m。 (4)推广：已知引力常量G，卫星绕行星运动的周期和轨道半径，可计算出行星的质量。 (5)不能测量环绕天体的质量：从上述计算中可知，环绕天体质量m在式子两边约分，无法算出。 3.天体密度的计算： 在质量测量基础上，通过即可得出天体密度。 重力加速度法 环绕法 条件 已知R、g求m、ρ 已知r、T求m、ρ 思路 物体在天体表面的重力等于天体与物体间的万有引力：mg＝G 行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G＝m()2r (以T为例) 天体 质量 天体质量：M＝ 中心天体质量：M＝ 天体 密度 ρ＝＝ ρ＝＝ r=R时ρ＝ 说明 g为天体表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动 只能求中心天体M，不能求环绕星体m T为公转周期，r为轨道半径 R为中心天体半径 例1. 已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球的质量约为________。(结果保留一位有效数字) 三、天体运动的分析与计算 1.一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。 基本公式：G＝m＝mω2r＝mr 2.黄金代换：忽略自转时，mg＝G，整理可得：GM＝gR2 在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM，GM＝gR2被称为“黄金代换式”。 3.天体运动的物理量与轨道半径的关系 (1)由G＝m得v＝ (2)由G＝mω2r得ω＝ (3)由G＝m2r得T＝2π (4)由G＝man得an＝ 4. 定性分析，由以上关系式可知： ①卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的， 与卫星的质量无关，即同一轨道上的不同卫星具有相同的T、v、ω和an大小。 ②卫星的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大， ③同一中心天体，速记口诀：“越高越慢T越大”或“高轨低速长周期”。 例2. 人造地球卫星的轨道半径减小，那么卫星的（ ） A. 速率变大，周期变小 B. 速率变小，周期变大 C. 速率变大，周期变大 D. 速率变小，周期变小 例3. 如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是（ ） A.a、b的线速度大小之比是∶1 B.a、b的周期之比是1∶2 C.a、b的角速度大小之比是3∶4 D.a、b的向心加速度大小之比是9∶2 考点01　重力加速度法：天体质量和密度的计算 例4.（23-24高一下·上海普陀·期中）如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水平方向以初速度抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，则两点间的距离为 ，该星球的质量是 。 考点02　环绕法：天体质量和密度的计算 例5. 已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为（ ） A. B. C. D. 例6. 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转. (1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？ (2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？ 考点03　天体运动规律的定性分析 例7. （多选）如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则（ ） A.b所需向心力最小 B.b、c的周期相同且大于a的周期 C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D.b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度 考点04　图像问题 解题方法：按横纵坐标的物理量把函数关系式变换出来，从斜率、截距的物理含义上分析。 例8. 人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其速率的平方（v2）与环绕半径的倒数的关系如图所示，图中b为图线纵坐标的最大值，图线的斜率为k，引力常量为G，则地球的质量和半径分别为（   ） A．kG，kb B．， C．kb D．kG， 考点05　卫星追赶问题 例9. a、b两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a为近地卫星，b卫星离地面高度为3R，已知地球半径为R，表面的重力加速度为g，试求：(忽略地球的自转) (1)a、b两颗卫星的周期； (2)若某时刻两卫星正好同时通过赤道同一点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？ ~A组~ 1. 关于人造地球卫星所受向心力与轨道半径r的关系，下列说法中正确的是（ ） A.由Fn＝可知，当r增大为原来的2倍时，卫星的向心力变为原来的 B.由Fn＝mrω2可知，当r增大为原来的2倍时，卫星的向心力变为原来的2倍 C.由Fn＝mvω可知，卫星的向心力与轨道半径r无关 D.由Fn＝可知，当r减小为原来的时，卫星的向心力变为原来的4倍 2. 已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离r和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（ ） A.月球的质量 B.地球的质量 C.地球的半径 D.地球的密度 3. 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量的比值约为（ ） A. B.1 C.5 D.10 4.（多选）地球半径为R0，地面重力加速度为g(忽略地球自转的影响)，若卫星在距地面R0处做匀速圆周运动，则（ ） A.卫星的线速度为 B.卫星的角速度为 C.卫星的周期为4π D.卫星的加速度为 5. 若有一星球密度与地球密度相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，则该星球质量是地球质量的（ ） A.27倍 B.3倍 C.0.5倍 D.9倍 6．在某星球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，若物体只受该星球引力作用，万有引力恒量为，忽略其它力的影响，物体上升的最大高度为h，已知该星球的直径为d，可推算出这个星球的质量为（　　） A． B． C． D． 7．已知地球近地卫星的周期为，同步卫星的周期为，万有引力常量为G，则地球的平均密度为（） A． B． C． D． 8. 甲、乙是两颗绕地球作匀速圆周运动的人造卫星，其线速度大小之比为，则这两颗卫星的运转半径之比为________，运转周期之比为________。 9.（23-24高一下·上海·期中）1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G，则 ，且 （填“>”“<”或“=”）。 10. （多选）假设“嫦娥三号”探月卫星到了月球附近，以速度v在月球表面附近做匀速圆周运动，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，不计周围其他天体的影响，则下列说法正确的是（ ） A.“嫦娥三号”探月卫星的轨道半径为 B.月球的平均密度约为 C.“嫦娥三号”探月卫星的质量约为 D.月球表面的重力加速度约为 11. 如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ） A.甲的向心加速度比乙的小 B.甲的运行周期比乙的小 C.甲的角速度比乙的大 D.甲的线速度比乙的大 12. 宇航员站在一星球表面上的高h（远小于星球半径）处，沿水平方向抛出一个小球，抛出时初速度为v，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常数为G。 （1）该星球表面的重力加速度为多少？ （2）该星球的质量为多少？ ~B组~ 13. （多选）土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是（ ） A.若v2∝R，则该层是土星的卫星群 B.若v∝R，则该层是土星的一部分 C.若v∝，则该层是土星的一部分 D.若v2∝，则该层是土星的卫星群 14. 小程同学设想人类若想在月球定居，需要不断地把地球上相关物品搬运到月球上。经过长时间搬运后，地球质量M地逐渐减小，月球质量m月逐渐增加，但M地 >m月，不计搬运过程中质量的损失。假设地球与月球均可视为质量均匀球体，月球绕地球转动的轨道半径不变，它们之间的万有引力将______，月球的线速度将______。（均选填“变大”、“变小”或“不变”） 15．宇宙中半径均为的两颗恒星、，相距无限远。若干行星分别环绕恒星、运动的公转周期平方与公转半径立方的规律如图所示。不考虑两恒星的自转。则（　　） A．的质量小于的质量 B．的密度等于的密度 C．表面的环绕速度大于表面的环绕速度 D．表面的重力加速度小于表面的重力加速度 16．将太阳系八大行星绕太阳的运转视作匀速圆周运动。设行星的轨道半径为R，环绕周期为T，角速度为ω，环绕速度为v，下列描述它们之间的关系图像中正确的是（　　） A． B． C． D． （23-24高一下·上海·期中）“嫦娥”探月 2020年12月17日凌晨，“嫦娥五号”携带1731克月球样品满载而归，标志着我国探月工程“绕、落、回”三步走规划如期完成。 17．2007年10月24日我国首个月球探测器“嫦娥一号”成功发射，于11月7日进入离月球表面200公里的圆形工作轨道匀速绕行。“嫦娥一号”（    ） A．处于平衡状态 B．做匀变速运动 C．线速度保持不变 D．受到月球的引力作为向心力 18．假设发射两颗探月卫星A和B，如图所示，其环月飞行距月球表面的高度分别为200km和100km。若环月运行均可视为匀速圆周运动，则（    ） A．B向心加速度比A小 B．B线速度比A小 C．B向心力比A小 D．B角速度比A大 19．已知月球的半径为R，引力常量为G，“嫦娥四号”离月球中心的距离为r，绕月周期为T。根据以上信息判断下列说法正确的是（    ） A．月球的质量为 B．月球的平均密度为 C．月球表面的重力加速度为 D．“嫦娥四号”绕月运行的线速度大于 20．如图，静止的“玉兔”月球车在高度的位置，将一质量的小物体以的速度沿水平方向弹射出去，测出小物体的水平射程。已知月球半径为1600km，求： （1）月球表面的重力加速度； （2）月球的第一宇宙速度。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 万有引力定律 6.3 万有引力定律的应用(1) 课程标准 1.掌握称量中心天体的质量和计算天体密度的方法。 2.理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法：重力加速度法和环绕法。 3.熟练进行抽象计算的能力。 物理素养 物理观念：理解万有引力定律是解决天体问题的有力工具的观念。 科学思维：建立测量天体质量和密度的物理模型思维和思路。 科学探究：思考如何测量天体的质量和密度的方法。 科学态度与责任：感知科学家发现万有引力定律的在人类探索太空天体的巨大贡献，激发对物理的学习兴趣。 一、万有引力的三种作用效果（表现形式） 1. 平衡状态：在拉力（或支持力）的作用下保持静止或匀速直线状态，此时 F万=F拉≈mg ①在地球表面忽略地球自转，可认为F拉=mg。 ②不仅适用地球表面，在其它天体上用弹簧秤常量物体重力时也适用。 2. 自由落体：在万有引力作用下，物体自由下落，此时 F万＝G＝mg ①不仅适用地球，也适用其它天体。 ②不仅地球表面，也适用于一定高度。 3. 匀速圆周运动：万有引力提供向心力，物体做匀速圆周运动：F万＝ma 即：G＝m＝mω2r＝mr ①在天体表面时轨道半径r=天体半径R。 ②研究天体运动时，通常都是圆周运动，因此此公式是分析天体运动的基本原理。 二、称量中心天体质量与密度 1. 称量地球的质量（重力加速度法） (1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力。 (2)关系式：G＝mg (3)结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量M。 (4)推广：若知道星球表面的重力加速度g和星球半径R，可计算出该星球的质量。 g可以通过抛体运动规律来测量。 2. 计算天体的质量（环绕法） (1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。 (2)关系式：＝mr （以T为例） (3)结论：M＝，只要知道引力常量G，周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。 由于v、ω、r、T之间可以互推，理论上(r、T) (v、T) (r、ω) (v、ω)组合均可求出m。 (4)推广：已知引力常量G，卫星绕行星运动的周期和轨道半径，可计算出行星的质量。 (5)不能测量环绕天体的质量：从上述计算中可知，环绕天体质量m在式子两边约分，无法算出。 3.天体密度的计算： 在质量测量基础上，通过即可得出天体密度。 重力加速度法 环绕法 条件 已知R、g求m、ρ 已知r、T求m、ρ 思路 物体在天体表面的重力等于天体与物体间的万有引力：mg＝G 行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G＝m()2r (以T为例) 天体 质量 天体质量：M＝ 中心天体质量：M＝ 天体 密度 ρ＝＝ ρ＝＝ r=R时ρ＝ 说明 g为天体表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动 只能求中心天体M，不能求环绕星体m T为公转周期，r为轨道半径 R为中心天体半径 例1. 已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球的质量约为________。(结果保留一位有效数字) 【答案】6×1024 kg 【解析】重力加速度法：M＝=6×1024 kg 三、天体运动的分析与计算 1.一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。 基本公式：G＝m＝mω2r＝mr 2.黄金代换：忽略自转时，mg＝G，整理可得：GM＝gR2 在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM，GM＝gR2被称为“黄金代换式”。 3.天体运动的物理量与轨道半径的关系 (1)由G＝m得v＝ (2)由G＝mω2r得ω＝ (3)由G＝m2r得T＝2π (4)由G＝man得an＝ 4. 定性分析，由以上关系式可知： ①卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的， 与卫星的质量无关，即同一轨道上的不同卫星具有相同的T、v、ω和an大小。 ②卫星的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大， ③同一中心天体，速记口诀：“越高越慢T越大”或“高轨低速长周期”。 例2. 人造地球卫星的轨道半径减小，那么卫星的（ ） A. 速率变大，周期变小 B. 速率变小，周期变大 C. 速率变大，周期变大 D. 速率变小，周期变小 【答案】A 越高越慢T越大 【解析】根据G＝m可得v＝，故半径减小，速率增大； 根据G＝mr可得T＝2π ，故半径减小，周期减小，A正确。 例3. 如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是（ ） A.a、b的线速度大小之比是∶1 B.a、b的周期之比是1∶2 C.a、b的角速度大小之比是3∶4 D.a、b的向心加速度大小之比是9∶2 【答案】C 【解析】两卫星均做匀速圆周运动，则有F万＝F向. 由＝m得＝＝＝，故A错误； 由＝mr2得＝＝，故B错误； 由＝mrω2得＝＝，故C正确； 由＝man得＝＝，故D错误。 考点01　重力加速度法：天体质量和密度的计算 例4.（23-24高一下·上海普陀·期中）如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水平方向以初速度抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，则两点间的距离为 ，该星球的质量是 。 【答案】 【详解】[1]由平抛运动可知两点间的距离为 [2]根据 解得 根据 可得该星球的质量 考点02　环绕法：天体质量和密度的计算 例5. 已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】对地球绕太阳的圆周运动有＝mr， 对地球表面的物体有m′g＝ 联立两式可得太阳质量M＝，B正确。 例6. 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转. (1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？ (2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？ 【答案】(1)　(2) 【解析】设卫星的质量为m，天体的质量为M. (1)卫星距天体表面的高度为h时，G＝m(R＋h)，则有M＝，V＝πR3 故该天体的密度为ρ＝＝＝ (2)卫星贴近天体表面运动时h=0，由上式：ρ＝ 考点03　天体运动规律的定性分析 例7. （多选）如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则（ ） A.b所需向心力最小 B.b、c的周期相同且大于a的周期 C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D.b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度 【答案】ABD 【解析】因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的，即Fn＝，则b所需向心力最小，A对；由＝mr()2得T＝2π，即r越大，T越大，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B对； 由＝man，得an＝，即an∝，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错； 由＝，得v＝，即v∝，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D对。 考点04　图像问题 解题方法：按横纵坐标的物理量把函数关系式变换出来，从斜率、截距的物理含义上分析。 例8. 人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其速率的平方（v2）与环绕半径的倒数的关系如图所示，图中b为图线纵坐标的最大值，图线的斜率为k，引力常量为G，则地球的质量和半径分别为（   ） A．kG，kb B．， C．kb D．kG， 【答案】B 【解析】根据 ，得：，故直线的斜率：k = GM，则行星的质量为 当轨道半径恰好等于星球半径时，卫星贴近星球表面飞行，线速度最大， 则有 ，解得 ，故选B。 考点05　卫星追赶问题 例9. a、b两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a为近地卫星，b卫星离地面高度为3R，已知地球半径为R，表面的重力加速度为g，试求：(忽略地球的自转) (1)a、b两颗卫星的周期； (2)若某时刻两卫星正好同时通过赤道同一点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？ 【答案】(1)2π　16π　(2)2∶1 (3)或 【解析】(1)卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有F引＝Fn 对地球表面上质量为m的物体，有G＝mg 对a卫星，有＝maR 解得Ta＝2π 对b卫星，有＝mb·4R 解得Tb＝16π (2)设经过t时间，二者第一次相距最远，若两卫星同向运转，此时a比b多转半圈， 则－＝π 解得t＝ 若两卫星反向运转，则(＋)t＝π 解得t＝ ~A组~ 1. 关于人造地球卫星所受向心力与轨道半径r的关系，下列说法中正确的是（ ） A.由Fn＝可知，当r增大为原来的2倍时，卫星的向心力变为原来的 B.由Fn＝mrω2可知，当r增大为原来的2倍时，卫星的向心力变为原来的2倍 C.由Fn＝mvω可知，卫星的向心力与轨道半径r无关 D.由Fn＝可知，当r减小为原来的时，卫星的向心力变为原来的4倍 【答案】D 【解析】r增大2倍，并非v不变。根据万有引力定律，万有引力减小为，所以向心力变为原来的，A、B、C错误；同理，r减小为原来的时，向心力变为原来的4倍，D正确。 2. 已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离r和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（ ） A.月球的质量 B.地球的质量 C.地球的半径 D.地球的密度 【答案】B 【解析】由G＝mr可得，地球质量M＝，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故B正确。 3. 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量的比值约为（ ） A. B.1 C.5 D.10 【答案】B 【解析】由G＝mr得M∝ ，已知＝，＝，则＝()3×()2≈1，B项正确。 4.（多选）地球半径为R0，地面重力加速度为g(忽略地球自转的影响)，若卫星在距地面R0处做匀速圆周运动，则（ ） A.卫星的线速度为 B.卫星的角速度为 C.卫星的周期为4π D.卫星的加速度为 【答案】ABC 【解析】万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，即＝man＝m＝mω2(2R0)， 由地球表面重力等于万有引力， GM＝gR02，即使用黄金代换替换掉GM， 则卫星的向心加速度an＝， v＝，ω＝，T＝＝4π，所以A、B、C正确，D错误。 5. 若有一星球密度与地球密度相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，则该星球质量是地球质量的（ ） A.27倍 B.3倍 C.0.5倍 D.9倍 【答案】A 【解析】物体在地球表面的重力近似等于地球与物体间的万有引力， 即G＝mg，解得g＝，质量M＝ρ·πR3，联立解得g＝πGρR， 星球的密度跟地球密度相同，星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，所以星球的半径是地球半径的3倍，由M＝ρ·πR3可知，星球质量是地球质量的27倍，A正确。 6．在某星球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，若物体只受该星球引力作用，万有引力恒量为，忽略其它力的影响，物体上升的最大高度为h，已知该星球的直径为d，可推算出这个星球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设该星球的重力加速度为，上抛过程有 根据黄金代换，可得 ，联立解得：，故A正确。 7．已知地球近地卫星的周期为，同步卫星的周期为，万有引力常量为G，则地球的平均密度为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设地球半径为R，对近地卫星 ，得： 则地球平均密度为：，故选A。 8. 甲、乙是两颗绕地球作匀速圆周运动的人造卫星，其线速度大小之比为，则这两颗卫星的运转半径之比为________，运转周期之比为________。 提示：由v＝ 得 ，所以半径之比为1:2； 所以周期之比为。 9.（23-24高一下·上海·期中）1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G，则 ，且 （填“>”“<”或“=”）。 【答案】 > > 【详解】[1]根据开普勒第二定律可知，卫星在近点的速度大于远点的速度，则 [2]若卫星沿半径为r的圆轨道做圆周运动，则速度 解得 卫星从圆轨道到椭圆轨道要加速做离心运动，可知 10.（多选）假设“嫦娥三号”探月卫星到了月球附近，以速度v在月球表面附近做匀速圆周运动，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，不计周围其他天体的影响，则下列说法正确的是（ ） A.“嫦娥三号”探月卫星的轨道半径为 B.月球的平均密度约为 C.“嫦娥三号”探月卫星的质量约为 D.月球表面的重力加速度约为 【答案】ABD 【解析】设月球半径为R，由T＝得R＝，选项A正确； 由G＝m及R＝可得月球质量M＝，由ρ＝得ρ＝，选项B正确； 由题干条件无法求出“嫦娥三号”探月卫星质量，选项C错误； 由mg月＝mv·得g月＝，选项D正确。 11. 如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ） A.甲的向心加速度比乙的小 B.甲的运行周期比乙的小 C.甲的角速度比乙的大 D.甲的线速度比乙的大 【答案】A 【解析】万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，即G＝man＝mr＝mω2r＝m， 可得an＝，T＝2π，ω＝，v＝ 由已知条件可得an甲＜an乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，故A正确。 （速记口诀的前提是同一中心天体，所以本题不适用） 12. 宇航员站在一星球表面上的高h（远小于星球半径）处，沿水平方向抛出一个小球，抛出时初速度为v，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常数为G。 （1）该星球表面的重力加速度为多少？ （2）该星球的质量为多少？ 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）设星球表面的重力加速度为g，则根据小球的平抛运动规律得 ， 联立得 （2）再由 ，解得： ~B组~ 13. （多选）土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是（ ） A.若v2∝R，则该层是土星的卫星群 B.若v∝R，则该层是土星的一部分 C.若v∝，则该层是土星的一部分 D.若v2∝，则该层是土星的卫星群 【答案】BD 【解析】若是土星的卫星群，则由G＝m，得v2∝，故A错误，D正确； 若外层的环为土星的一部分，则它们各部分转动的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正确，C错误。 14. 小程同学设想人类若想在月球定居，需要不断地把地球上相关物品搬运到月球上。经过长时间搬运后，地球质量M地逐渐减小，月球质量m月逐渐增加，但M地 >m月，不计搬运过程中质量的损失。假设地球与月球均可视为质量均匀球体，月球绕地球转动的轨道半径不变，它们之间的万有引力将______，月球的线速度将______。（均选填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】变大     变小 【解析】[1]令地球与月球质量和值为A，根据 由和定积最大的数学知识，当地球与月球质量相等万有引力最大，所以万有引力将变大。 [2]根据 ，解得：，地球质量减小，则月球的线速度将变小。 15．宇宙中半径均为的两颗恒星、，相距无限远。若干行星分别环绕恒星、运动的公转周期平方与公转半径立方的规律如图所示。不考虑两恒星的自转。则（　　） A．的质量小于的质量 B．的密度等于的密度 C．表面的环绕速度大于表面的环绕速度 D．表面的重力加速度小于表面的重力加速度 【答案】C 【解析】A．根据万有引力提供向心力得出 ，得 根据图象可知的比较大，所以行星S1的质量大于行星S2的质量，A正确； B．由图可知，两星球的半径相等，则体积相等，根据可得的密度大于的密度，B错误； C．根据 ，可得：，可知表面环绕速度大于表面环绕速度，C正确； D．根据 ，可得：，可知表面重力加速度大于表面重力加速度，D错误。 16．将太阳系八大行星绕太阳的运转视作匀速圆周运动。设行星的轨道半径为R，环绕周期为T，角速度为ω，环绕速度为v，下列描述它们之间的关系图像中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A．设太阳质量为M，行星质量为m， 根据牛顿第二定律得 ，得 ，和成反比，A错误； B.根据 得，角速度ω和环绕周期为T成反比，B错误； C.根据牛顿第二定律得：，得，， 可知R与成正比，C错误； D.根据 ，得，和成正比，D正确。 （23-24高一下·上海·期中）“嫦娥”探月 2020年12月17日凌晨，“嫦娥五号”携带1731克月球样品满载而归，标志着我国探月工程“绕、落、回”三步走规划如期完成。 17．2007年10月24日我国首个月球探测器“嫦娥一号”成功发射，于11月7日进入离月球表面200公里的圆形工作轨道匀速绕行。“嫦娥一号”（    ） A．处于平衡状态 B．做匀变速运动 C．线速度保持不变 D．受到月球的引力作为向心力 18．假设发射两颗探月卫星A和B，如图所示，其环月飞行距月球表面的高度分别为200km和100km。若环月运行均可视为匀速圆周运动，则（    ） A．B向心加速度比A小 B．B线速度比A小 C．B向心力比A小 D．B角速度比A大 19．已知月球的半径为R，引力常量为G，“嫦娥四号”离月球中心的距离为r，绕月周期为T。根据以上信息判断下列说法正确的是（    ） A．月球的质量为 B．月球的平均密度为 C．月球表面的重力加速度为 D．“嫦娥四号”绕月运行的线速度大于 20．如图，静止的“玉兔”月球车在高度的位置，将一质量的小物体以的速度沿水平方向弹射出去，测出小物体的水平射程。已知月球半径为1600km，求： （1）月球表面的重力加速度； （2）月球的第一宇宙速度。 【答案】17．D 18．D 19．C 20．（1）；（2） 【解析】17．A．“嫦娥一号”在离月球表面200公里的圆形工作轨道匀速绕行，速度方向不断改变，即运动状态不断在改变，不处于平衡状态，故A错误； B．加速度恒定不变时才做匀变速运动。但匀速圆周运动的向心加速度的方向不断在改变，属于非匀变速运动，故B错误； C．“嫦娥一号”线速度大小不变，方向在改变，线速度在变化，故C错误； D． “嫦娥一号”只受到月球的引力，月球的引力提供向心力，故D正确。 故选D。 18．A．由万有引力提供向心力 可得 因为 所以 故B环月运行时向心加速度比A大，故A错误； B．由万有引力提供向心力 可得 因为 所以 故B环月运行的速度比A大，故B错误； C．根据万有引力提供向心力，由于两卫星的质量未知，所以无法比较两卫星的向心力，C错误； D．由万有引力提供向心力 可得 因为 所以 即B环月运行的角速度比A大，故D正确。 故选D。 19．A．由万有引力提供向心力 解得月球的质量 故A错误； B．月球的平均密度为 故B错误； C．在月球表面，万有引力等于重力得 解得 故C正确； D．“嫦娥四号”绕月运行的线速度 因为 得 故“嫦娥四号”绕月运行的线速度小于，故D错误。 故选C。 20．（1）由水平方向 得 由竖直方向 得 （2）又 解得月球的第一宇宙速度 / 学科网（北京）股份有限公司 $$