浙江省杭州市第七中学2024-2025学年高二上学期期末考试(文美用)数学试题

试卷第 1页，共 15页 杭七中 2024 学年第一学期 高二年级数学学科期末卷（答案） 一、选择题 1．若复数 z满足  1 i 1z   （其中 i为虚数单位），则 z （ ） A． 12 B． 2 2 C．1 D． 2 【答案】B 【详解】由  1 i 1z   ，得     1 i1 1 1 i 1 i 1 i 1 i 2 2 z           ， 所以 1 1 2 4 4 2 z    ． 故选：B． 2. 若数列  na 是等差数列，且 4 82, 12a a  ，则 12a （ ） A. 22 B. 32 C. 20 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差中项列式求解即可. 【详解】数列 na 是等差数列，则�4是�8和�12的等差中项， 有�12 = 22. 故选：A 3. 直线3 3 1 0x y   的斜率是（ ） A. 3 3 B. 3 C. − 3 D. - 3 3 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线方程为3 3 1 0x y   ，所以斜率 3 3 3 k     ， 故选：C. 4．如图，在∆���中， 1 2 AN AC   ，P是 BN的中点，若 AP mAB nAC     ，则m n （ ） 试卷第 2页，共 15页 A． 12 B．1 C． 3 2 D． 3 4 【答案】D 【详解】因为 1 2 AN AC   ，所以 1 2 BN AN AB AC AB         ， 因为 P是 BN的中点，所以 1 1 1 2 4 2 BP BN AC AB       ， 所以 1 1 1 1 4 2 2 4 AP AB BP AB AC AB AB AC               ， 又 AP mAB nAC     ，所以 1 2 m  ， 1 4 n  ，即 3 4 m n  . 故选：D. 5. 已知 AB是平面内两点，且 | | 6AB  ，判断当 P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在 （ ） A. | | | | 2024PA PB  B. | | | | 2024PA PB  C. | | | | 2024PA PB  D. | | | | 2023PA PB  【答案】B 【解析】 【详解】对于 A选项： 2024PA PB AB   ,轨迹为椭圆； 对于 B选项： 2024PA PB AB   ,轨迹不存在．； 对于 C选项： | | | | 2024,PA PB P  的轨迹存在， 比如点  0, 2015 就在轨迹上； 对于 D选项： 2023PA PB AB   ,轨迹为椭圆； 故选：B. 6. 直线   2 1 4 0x m y    与直线   3 2 0mx y   平行，则m  试卷第 3页，共 15页 A. 2 B. 2或 3- C. 3- D. 2 或 3- 【答案】B 【解析】 【详解】当 1 0m  即 1m   时， 两直线为 2 4 0x   ， 3 2 0x y    ， 两直线不平行，不符合题意； 当 0m  时， 两直线为 2 4 0x y   ，3 2 0y   两直线不平行，不符合题意； 当 1 0, 0m m   即 1, 0m m   时， 直线 2 ( 1) 4 0x m y    的斜率为 2 1m   ， 直线 3 2 0mx y   的斜率为 3 m  ， 因为两直线平行，所以 2 1 3 m m     ， 解得 2m  或 3 ， 故选 B. 7. 设椭圆 E的两焦点分别为 1F ， 2F ，以 1F 为圆心， 1 2FF 为半径的圆与 E交于 P，Q两 点，若 1 2PFF 为直角三角形，则 E的离心率为 （ ） A. 5 1 2  B. 2 1 C. 2 2 D. 2 1 【答案】B 【解析】 【详解】如图所示，因为 1 2PFF 为直角三角形，所以 0 1 2 90PF F  ， 所以 1 22 , 2 2PF c PF c  ，则 2 2 2 2c c a  ，解得 2 1 ce a    ，故选 B 试卷第 4页，共 15页 8. 已知 1 2,F F 是双曲线 2 2 2: 1( 0) yC x b b    的两个焦点， P是双曲线C左支上的一点，且 1 2 2,PF PF PF 与两条渐近线相交于 ,M N两点．若点 N恰好平分线段 2PF ，则双曲线C的焦 距为（ ）． A． 2 2 B．2 3 C． 2 5 D．4 【答案】．C 【详解】不妨取渐近线方程为 y bx ，N是 2PF 中点，故 1//NO PF ，故 2NO PF ， 2OF c ，故 1ON a  ， 1 2 2PF ON  ， 2 1 2 4PF PF a   ， 根据勾股定理： 2 2 24 2 4c   ，故 5c  ，故焦距为 2 5 . 故选：C. 二、选择题 9．甲、乙两人在相同的条件下各打靶 6次，每次打靶的情况如图所示，则以下说法正确的 是（ ） A．甲、乙两人打靶的平均环数相等 B．甲的环数的中位数比乙的大 C．甲的环数的众数比乙的大 D．甲打靶的成绩比乙的更稳定 9．ABD 【详解】由图可知甲打靶 6次的成绩分别为 8，6，8，6，9，8、乙打靶 6次的成绩分别为 4， 6，8，7，10，10， 试卷第 5页，共 15页 所以甲的平均数为 1 (8 6 8 6 9 8) 7.5 6        ， 乙的平均数为 1 (4 6 8 7 10 10) 7.5 6        ， 所以甲、乙两人打靶的平均环数相等，所以 A正确， 因为甲打靶 6次的成绩从小到大为 6，6，8，8，8，9，则中位数为 8，乙打靶 6次的成绩从 小到大为 4，6，7，8，10，10，则中位数7.5，甲的环数的中位数比乙的大，所以 B正确， 甲的环数的众数为 8，乙的环数的众数为 10，所以甲的环数的众数比乙的小，所以 C错误， 因为甲打靶的成绩的方差为 2 2 21 [3 (8 7.5) 2 (6 7.5) (9 7.5) ] 1.25 6          ， 乙打靶的成绩的方差为 2 2 2 2 21 [(4 7.5) (6 7.5) (8 7.5) (7 7.5) 2 (10 7.5) ] 4.58 6             ， 所以甲打靶的成绩比乙的更稳定，所以 D正确， 故选：ABD 10. 设直线  : 1l y kx k  R 与圆 2 2: 5C x y  ，则下列结论正确的为（ ） A. l与C可能相离 B. l不可能将C的周长平分 C. 当 1k  时， l被C截得的弦长为 3 2 2 D. l被C截得的最短弦长为 4 【答案】BD 【解析】 【详解】对于 A选项，直线 l过定点  0,1 ，且点  0,1 在圆C内，则直线 l与圆C必相交， A选项错误； 对于 B选项，若直线 l将圆C平分，则直线 l过原点，此时直线 l的斜率不存在，B选项正 确； 对于 C选项，当 1k  时，直线 l的方程为 1 0x y   ，圆心C到直线 l的距离为 2 2 d  ， 所以，直线 l被C截得的弦长为 2 22 5 3 2 2         ，C选项错误； 对于 D选项，圆心C到直线 l的距离为 2 1 1 1 d k    ， 试卷第 6页，共 15页 所以，直线 l被C截得的弦长为 22 5 4d  ，D选项正确. 故选：BD. 11. 已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F，过原点 O的动直线 l交抛物线于另一点 P，交抛物线 的准线于点 Q，下列说法正确的是（ ） A. 若 O为线段 PQ中点，则 2PF  B. 若 4PF  ，则 2 5OP  C. 存在直线 l，使得 PF QF D. △PFQ面积的最小值为 2 【答案】AD 【解析】 【详解】抛物线 2 4y x 的准线为 = 1x  ，焦点 (1,0)F ， 若 O为 PQ中点，所以 1px  ，所以 1 2pPF x   ，故A正确； 若 4PF  ，则 4 1 3px    ，所以 2 2 2 4 21p P p pOP x y x x     ，故B错误； 设 2( , 2 )P a a ，则 2( 1, )Q a   ，所以  2 1,2FP a a   ， 22,QF a        ， 所以 2 22 2 4 2 2 0FP QF a a         ，所以 FP与 FQ不垂直，故C错误； Δ 1 1 2 11 2 2 2 2PFQ p Q S OF y y a a a a            ， 当且仅当 1a a  ，即 1a   时，取等号，所以△PFQ面积的最小值为 2，故D正确. 故选AD . 三、填空题 试卷第 7页，共 15页 12. 双曲线 2 2: 1 4 yC x   的渐近线方程为_________． 【答案】 2y x  【解析】 【详解】由双曲线的相关知识可知： 1a  ， 2b  所以焦点在 x轴双曲线的渐近线方程为： 2by x x a     故答案为： 2y x  13. 设 nS 为数列  na 的前 n项和，若 3 23na n  ，则 nS 的最小值为_____________ 【答案】 77 【解析】 【详解】易知 1 20a  ， 22 3 23( ) 3 43 2 2n n n nnS    ，由二次函数性质得，对称 轴为 43 6 n  ，结合 n一定为正整数，故在 7n  时， nS 取得最小值,此时最小值为 77 . 故答案为: 77 14. 已知点 P在直线 0x y  上，点 (1,3), (3, 4)A B ，则当 ABP 的周长取得最小值时， 点 P的坐标为_________________. 【答案】  3,3 【解析】 【详解】解：因为 AB 为定值，所以当 ABP 的周长取得最小值时，即 PA PB 取得最 小， 设点  1,3A 关于直线 0x y  的对称点为  ,A m n ，连接 A B 交直线 0x y  于点 P， 此时 PA PB 取得最小，如图所示： 试卷第 8页，共 15页 则 1 3 0 2 2 3 1 1 1 m n n m            ，解得 3 1 m n      ，得  3,1A ， 因为点  3,4B ，故所求点  3,3P . 故答案为：  3,3 四、解答题 15. 已知圆 2 2 2: ( 2) ( 0)C x y r r    与 y轴相切． （1）直接写出圆心 C的坐标及 r的值； （2）直线 : 3 4 1 0l x y   与圆 C交于两点 ,A B，求 | |AB ． 【答案】（1）圆心 (2,0)C ， 2r  （2） 2 3 【解析】 【小问 1详解】 圆 2 2 2: ( 2) ( 0)C x y r r    ， 则圆心 (2,0)C ，因为圆 2 2 2: ( 2) ( 0)C x y r r    与 y轴相切，则半径 2r  . 【小问 2详解】 由（1）知，圆的方程为 2 2: ( 2) 4C x y   ，圆心 (2,0)C ，半径为 2 . 法一：设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 联立  2 2 3 4 1 0 2 4 x y x y        ，得 225 70 1 0x x   ， 2( 70) 4 25 4800 0       ， 试卷第 9页，共 15页 则 1 2 1 2 14 1, 5 25 x x x x   ， 所以 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 5 5 14 41 ( ) 4 2 3 4 4 4 5 25 AB x x x x x x                   ； 法二：圆心 (2,0)C 到直线 : 3 4 1 0l x y   的距离 2 2 2 3 1 1 2 3 ( 4) d        ， 则 2 22 2 4 1 2 3AB r d     . 故 2 3AB  . 16．为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了 800名学生进行调查，得到了 这 800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示 的频率分布直方图. （1）求 a的值; （2）若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过 9小时，则认为该市区高中生阅读量达标. 以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标? （3）为进一步了解这 800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在      12,14 , 14,16 , 16,18 三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 10人，现从这 10 人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在  14,16 内的概率. 【答案】（1）0.10 试卷第 10页，共 15页 （2）该市区高中生阅读量达标 （3） 2 15 【解析】 【小问 1详解】 由题意可知：每组的频率依次为 0.04,0.06,0.10,0.10,0.30,2 ,0.10,0.08,0.02a ， 则 0.04 0.06 0.10 0.10 0.30 2 0.10 0.08 0.02 1a         ，解得 0.10a  ， 所以 a的值为0.10 . 【小问 2详解】 周平均阅读时间的平均数的估计值为 0.04 1 0.06 3 0.10 5 0.10 7 0.30 9 0.20 11 0.10 13 0.08 15 0.02 17 9.16x                    ， 且 0.04 0.06 0.10 0.10 0.3 0.5     ， 0.04 0.06 0.10 0.10 0.30 0.6 0.5      ， 可知周平均阅读时间的中位数的估计值  8,10m ， 则  0.3 0.15 8 0.5m    ，解得 28 3 m  ， 因为 9.16 9x   ， 28 9 3 m   ， 所以该市区高中生阅读量达标. 【小问 3详解】 在  12,14 抽取学生人数为 0.10 10 5 0.10 0.08 0.02     ； 在  14,16 三组中抽取学生人为 0.08 10 4 0.10 0.08 0.02     ； 在  16,18 三组中抽取学生人数为 0.02 10 1 0.10 0.08 0.02     ； 设样本空间为，这两人周平均阅读时间均在  14,16 内为事件 M， 可知  Ω 45n  ，   6n M  ,在此处键入公式。 所以      6 2 Ω 45 15 n M P M n    . 17. 如图，四边形CDEF 为矩形，平面 ABCD 平面CDEF ， AB CD AD DC∥ ， ， 1 1 2 AB AD DE DC    ． 试卷第 11页，共 15页 （1）求证：BD 平面 BCF ； （2）求直线BC与平面 BEF所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2） π 6 ． 【解析】 【小问 1详解】 法 1： AB CD∥ ， 1, 1 2 AD DC AB AD DC    ， 2BD BC   ，又 2CD  ． 2 2 2 , .CD BD BC BD BC     四边形CDEF 为矩形， CF CD  ． 平面 ABCD 平面CDEF ，且平面 ABCD平面CDEF CD ，CF 平面CDEF , CF 平面 ABCD． BD Q 平面 ABCD， CF BD  ． , ,BC CF C BC CF   平面 BCF , BD 平面 BCF ． 法 2：平面 ABCD 平面CDEF ，且平面 ABCD平面CDEF CD ， 且DE 平面CDEF ,DE CD , DE 平面 ABCD． AD 平面 ABCD， DE AD  ． 由 , ,DA DC DE两两垂直，则以 , ,DA DC DE所在直线分别为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系．            0,0,0 , 1,0,0 , 1,1,0 , 0,0,1 , 0,2,0 , 0,2,1D A B E C F , 试卷第 12页，共 15页 (1,1,0), ( 1,1,0), (0,0,1)DB BC CF    uuur uuur uuur , 由 0, 0DB BC DB CF    uuur uuur uuur uuur ．可得 BD BC ，BD CF ， , ,BC CF C BC CF   平面 BCF ， BD 平面 BCF ． 【小问 2详解】 结合上问可知： ( 1, 1,1), (0,2,0)BE EF    uur uuur ， 设平面 BEF的法向量为 ( , , ),n x y z  则 0n BE   ， 0n EF   ． 即 0 2 0 x y z y       ，令 1x  ，则 0, 1y z  ．即 (1,0,1)n   ． 因为 ( 1,1,0)BC    ， 设所求角的大小为 π0, 2       ．则 1sin cos , . 2 n BC n BC n BC        故直线 BC与平面 BEF所成角的大小 π 6   . 18. 已知椭圆   2 2 2 2 1 0 x yC a b a b  ： ＞ ＞ 的离心率为 12 ，右焦点为 F，点 A（a，0），且|AF| ＝1． （1）求椭圆 C的方程； （2）过右焦点 F，且斜率为 1的直线与椭圆 C 交于 R，S两点，求 �� . （3）过点 F的直线 l（不与 x轴重合）交椭圆 C于点 M，N，直线 MA，NA分别与直线 x ＝4交于点 P，Q，求∠PFQ的大小． 【答案】（1） 2 2 1 4 3 x y   （2）∠PFQ＝90° 【解析】 【小问 1详解】 试卷第 13页，共 15页 由题意得 1 2 1 c a a c       ， ， 解得 a＝2，c＝1， 从而 2 2 3b a c   ， 所以椭圆 C的方程为 2 2 1 4 3 x y   ． 【小问 2详解】 直线方程为 y = x − 1,方程联立 � = � − 1 �2 4 + � 2 3 = 1,得 7� 2-8�-8=0,�1+�2= 8 7 , �1 ∙ �2=- 8 7 , 由弦长公式得， �� = 247 . 【小问 3详解】 当直线 l的斜率不存在时，有 31 2 M      ， ， 31 2 N      ， ，P（4， 0FP FQ    ﹣3），Q（4，3）， F（1，0）， 则  3 3FP    ， ，  3 3FQ   ， ，故，即∠PFQ＝90°． 当直线 l的斜率存在时，设 l：y＝k（x﹣1），其中 k≠0． 联立   2 2 1 3 4 12 y k x x y       ， ， 得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0． 由题意，知Δ＞0恒成立，设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 2 1 2 2 8 4 3 kx x k    ， 2 1 2 2 4 12 4 3 kx x k    ． 直线 MA的方程为  1 1 2 2 yy x x    ， 令 x＝4，得 1 1 2 2P yy x   ，即 1 1 24 2 yP x      ， ，同理可得 2 2 24 2 yQ x      ， ． 试卷第 14页，共 15页 所以 1 1 23 2 yFP x        ， ， 2 2 23 2 yFQ x        ， ． 因为                 22 1 2 1 21 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 14 1 149 9 9 2 2 2 2 2 4 k x x x xk x xy yFP FQ x x x x x x x x                               2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 4 12 84 1 4 4 12 8 4 34 3 4 3 9 9 4 12 16 4 12 16 4 4 34 4 3 4 3 k kk k k k kk k k k k k k k k                           0，所以 ∠PFQ＝90°． 综上，∠PFQ＝90°． 19.已知数列 A：a1，a2，…，an（0 ≤ a1 < a2 < ⋯ < an，n ≥ 3）具有性质 P：对任意 i，j （1 ≤ i ≤ j ≤ n），aj + ai与aj − ai两数中至少有一个是该数列中的一项，Sn为数列 A的前 n 项和. (1)分别判断数列 0，1，3 与数列 0，1，3，4 是否具有性质 P； (2)证明：a1 = 0，nan = 2Sn； (3)证明：当 n = 5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列. 【解答过程】（1）由于 1 + 3 = 4 ∉ A，3 − 1 = 2 ∉ A，所以数列 0,  1,  3不具有性质 P； 1 + 0,1 − 0；3 + 0,3 − 0；4 + 0,4 − 0；3 + 1,3 − 1；4 + 1,4 − 1；4 + 3,4 − 3， 六组数中，每一组至少有一个数属于 0,  1,  3,4 ，所以数列 0,  1,  3,  4具有性质 P． （2）由数列 A:        a1, a2, ⋯, an        0 ≤ a1 < a2 < ⋯ < an,  n ≥ 3 具有性质 P， 则an − an与an + an中至少有一个属于 A， 又an > 0，an + an > an，则an + an ∉ A，于是an − an ∈ A，即a1 = 0； 由 A 具有性质 P可知an + ak ∉ A，an − ak ∈ A k = 1,2,3,⋯, n ， 因此an − a1 > an − a2 > an − a3 > ⋯an − an−1 > an − an， 即an − a1 = an，an − a2 = an−1，an − a3 = an−2，⋯⋯，an − an = a1， 上边 n个式子累加得：nan − (a1 + a2 +⋯an) = an + an−1 +⋯ + a1， 则 nan − Sn = Sn，所以 nan = 2Sn. （3）由（2）知，a5 − a4 = a2，a5 − a3 = a3，则a5 = a4 + a2 = 2a3， 而a4 + a3 > 2a3 = a5不是数列 A 中的项，则a4 − a3是数列 A 中的项， 试卷第 15页，共 15页 于是a1 < a4 − a3 < a5 − a3 = a3，则有a4 − a3 = a2， 因此a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = a5 − a4 = a2， 所以数列a1, a2, a3, a4, a5是以 0 为首项，公差为a2的等差数列.