24.2.1勾股定理的逆定理（分层练习）（题型专练）数学人教版五四制八年级下册

24.2.1勾股定理的逆定理 分层练习 1．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为；两边平方和等于第三边平方的三角形为直角三角形．根据三角形的内角和为，即可判断A、B；根据平方差公式和勾股定理的逆定理，即可判断C；根据勾股定理的逆定理，即可判断D． 【详解】解：A、∵，， ∴，解得：， 能判定是直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴，，， 不能判定是直角三角形，符合题意； C、∵， ∴， 能判定是直角三角形，不符合题意； D、设， ， 能判定是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，不能组成直角三角形，故A不符合要求； ，不能组成直角三角形，故B不符合要求； ，能组成直角三角形，故C符合要求； ，不能组成直角三角形，故D不符合要求； 故选：C． 3．下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．6，8，9 C．8，15，17 D．5，12，13 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．欲判断是否为勾股数，必须根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案． 【详解】解：A．，是勾股数，不符合题意； B．，不是勾股数，符合题意； C．，是勾股数，不符合题意； D．，是勾股数，不符合题意； 故选：B． 4．现有长度为的五根细木条，若选择其中的三根首尾顺次相接，恰好能摆成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据如果一个三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形，由此逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、，故不能摆成直角三角形，不符合题意； B、，故不能摆成直角三角形，不符合题意； C、，故能摆成直角三角形，符合题意； D、，故不能摆成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 5．如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)9 (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理， （1）在中，直接利用勾股定理计算即可； （2）利用勾股定理先求出，再根据勾股定理的逆定理即可作答． 【详解】（1）∵， ∴在中，， ，即， 解之得：， ∴的长为9； （2）是直角三角形， 理由：在中，， ， 即， 解之得：， 在中，， ， ， ∴是直角三角形．  6．完成下列各题：    (1)如图，已知的面积为30，其中一条直角边，求的长． (2)如图，已知点在同一条直线上，．从图中找出一对全等三角形，并说明理由． (3)如图，在正方形中，．问图中的是什么特殊三角形？（按角分类）并说明为什么？ 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)是直角三角形．理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定，解题的关键是： （1）利用三角形的面积公式求出，再利用勾股定理计算； （2）利用全等三角形的判定方法“边边边”判定即可； （3）根据已知线段，求出，，，得到，根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理，得， ； （2）能；， 理由如下： ， ， ， 在和中， ， ． （3）是直角三角形．理由如下： ， ． ， ， ． ， 是直角三角形． 7．如图，在中，点在边上，连接，过点作于点，，，．试说明．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．根据勾股定理可得，，从而得到，再由勾股定理逆定理，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 在中，， 所以， 同理：， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以是直角三角形，． 8．如图，在中，，垂足为，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．先利用勾股定理求出和，得到，再利用勾股定理的逆定理进行证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，，． ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 9．如图，四边形中，，已知，，求四边形的面积．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，再由进行计算求解即可．证明是直角三角形，即，是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴ ． 10．如图，在四边形中，，，，．求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的逆定理．连接，根据，，得出是等边三角形，求得，然后根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，从而求得． 【详解】解：如图，连接，    ，， 是等边三角形， ，， ，， ，， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 1．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 2．如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】连接，利用勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形即可． 【详解】解：连接， 由勾股定理得：，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 3．已知中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c满足，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查非负数的性质，勾股定理逆定理．熟练掌握非负数的性质和勾股定理逆定理是解题关键．根据平方的非负性，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，即可求出，从而可得出，即证明为直角三角形，且a，c为直角边，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且a，c为直角边， ∴的面积为． 故答案为：． 4．如图，在长方形中，，，点E为上一点，将沿折叠，使点B落在长方形内点F处，连接，且，求的度数和的长．    【答案】， 【分析】本题主要考查了折叠问题、勾股定理及其逆定理，根据勾股定理及其逆定理的运用解题即可． 【详解】解：根据折叠可知：， ∵，， ， 即， 根据勾股定理的逆定理，得是直角三角形， ∴， 设， 则， ∵根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴D、F、E三点在同一条直线上， ∴， ，， 在中，根据勾股定理，得 ，即， 解得． 故的长为2． 5．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点、，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知、，试求A、B两点间的距离； (2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为，试求A、B两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点坐标为、、，你能判定此三角形的形状吗？说明理由； (4)在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在坐标轴上找到一点，使得是以为底的等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)是直角三角形 (4) 【分析】（1）由已知两点坐标，根据公式计算即可； （2）由已知两点纵坐标，根据公式计算； （3）由两点间距离公式分别计算三角形三边长，再根据勾股定理的逆定理可判断； （4）根据等腰三角形的性质可得，当点P在横坐标上时，设，根据距离公式列出方程，解方程即可求解；当点P在y轴上时，设，同理可求． 【详解】（1）∵、， ∴ （2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为， ∴； （3）是直角三角形，理由为： 、、， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形， 则是直角三角形； （4）∵是以为底的等腰三角形， ∴， 当点P在横坐标上时，设， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，此时无法构成三角形， 故点不符合题意，舍去； 当点P在y轴上时，设， ∵，， ∴， 解得：， ∴，经检验符合题意； 综上：点P的坐标为：． 【点睛】本题考查平面直角坐标系内两点间距离计算，勾股定理及其逆定理，一元一次方程的应用，等腰三角形的定义，构成三角形三边的关系等知识；灵活运用题干给出的距离公式是解题的关键． 6．在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分类讨论分别为直角边和斜边时，共3种情况； （2）根据点Q的横纵坐标相等，可得点Q在第一象限的角平分线上，选择合适的点即可； 【详解】（1）解：如图，当分别为直角边和斜边时， （2）解：如图： 点Q的横纵坐标相等， 点Q在直线上， 根据割补法依次计算可得：点Q的位置如上图． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，割补法求面积，根据面积确定点坐标等知识点，直角坐标系性质的熟练运用是解题关键． 7．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离、分别为、，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)受台风影响，理由见解析 (2)7小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于，    因为，，， 所以． 所以是直角三角形． 所以， 所以， 所以， 因为以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 所以海港受到台风影响． （2）解：当，时，正好影响海港， 因为， 所以， 因为台风中心移动的速度为， 所以（小时） 即台风影响海港持续的时间为7小时． 1．如图，中，，，，若动点从点出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到点，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)当为几秒时，平分； (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当______s时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【分析】（1）先由勾股定理逆定理证明，再证，得，则，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）如图，在边上时，，当在边上时，有三种情况：①当，此时，运动的路程为，②当，过作斜边的高，③当时，则，证明，从而可得答案； （3）分两种情况：①当M、N没相遇前；②当M、N相遇后；分别由题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ，，， 平分，， ． 在与中， ， ， ． 设，则 在中，， 即，解得：， 当秒时，平分； （2）如图，在边上时，， ∴此时用的时间为，为等腰三角形； 当在边上时，有三种情况： ①当，此时，运动的路程为， ∴用的时间为，故时为等腰三角形； ②当，过作斜边的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴运动的路程为， 的时间为，为等腰三角形； ③当时，则， ，， ， ， ， 的路程为，所以时间为时，为等腰三角形． 或或或时，为等腰三角形 （3）如图，相遇前当点在上，在上， ∴，， ∴， ； 如图，相遇后当点在上，在上， ∴，， ∴， ， 或时，直线把的周长分成相等的两部分． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，角平分线的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用等知识点，根据题意列出方程是解本题的关键． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.2.1勾股定理的逆定理 分层练习 1．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 3．下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．6，8，9 C．8，15，17 D．5，12，13 4．现有长度为的五根细木条，若选择其中的三根首尾顺次相接，恰好能摆成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由．  6．完成下列各题：    (1)如图，已知的面积为30，其中一条直角边，求的长． (2)如图，已知点在同一条直线上，．从图中找出一对全等三角形，并说明理由． (3)如图，在正方形中，．问图中的是什么特殊三角形？（按角分类）并说明为什么？ 7．如图，在中，点在边上，连接，过点作于点，，，．试说明．    8．如图，在中，，垂足为，且．求证：是直角三角形． 9．如图，四边形中，，已知，，求四边形的面积．    10．如图，在四边形中，，，，．求的度数．    1．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为 ． 3．已知中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c满足，则的面积为 ． 4．如图，在长方形中，，，点E为上一点，将沿折叠，使点B落在长方形内点F处，连接，且，求的度数和的长．    5．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点、，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知、，试求A、B两点间的距离； (2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为，试求A、B两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点坐标为、、，你能判定此三角形的形状吗？说明理由； (4)在（3）的条件下，平面直角坐标系中，在坐标轴上找到一点，使得是以为底的等腰三角形，求点P的坐标． 6．在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 7．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离、分别为、，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？ 1．如图，中，，，，若动点从点出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到点，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)当为几秒时，平分； (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当______s时，直线把的周长分成相等的两部分？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$