24.2.2勾股定理的逆定理的应用（教学课件）数学人教版五四制八年级下册

第24章 勾股定理 八年级数学下册同步精品课堂（人教版五四制） 人教版五四制 数学 八年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 24.2.2 勾股定理的 逆定理的应用 BY YUSHEN BY YUSHEN 条件 结论 复习引入 前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理的知识有了一定的认识， 你能说出它们的内容吗? a2+b2=c2 (a,b为直角边，c为斜边) Rt△ABC,∠C是直角 勾股定理 勾股定理的逆定理 a2+b2=c2 (a,b为较短边，c为最长边） Rt△ABC，且∠C是直角. 前面我们已经学会了用勾股定理解决生活中的很多问题， 那么勾股定理的逆定理能解决哪些实际问题呢？你能举举例吗？ BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10 ． （1）求四边形 ABCD 的面积． A B C D 　　∴ ． 　　∴CD2＋AC2＝102＋102＝200，AD2＝ ＝200， 　　∴CD2＋AC2＝AD2， 　　 ∴△ACD是直角三角形， 　　∵CD＝10，AD＝10 ， 解：连接 AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， 　　∴四边形ABCD的面积是 ＝74， BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 　　（2）求对角线 BD 的长． 解：作 DE⊥BC 交 BC 的延长线于点 E，则∠DEC＝90°， 　　∵△ACD 是直角三角形，∠ACD＝90°， 　　∴∠DCE＋∠ACB＝90°． 　　∵∠ABC＝90°， 　　∴∠CAB＋∠ACB＝90°， 　　∴∠DCE＝∠CAB． A B C D E 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10 ． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 　　（2）求对角线 BD 的长． A B C D E 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10 ． 　　∴AB＝CE，BC＝ED． 　　∴ ． 　　在△ABC 和△CED 中， 　　∴△ABC≌△CED（AAS）． 　　∵AB＝6，BC＝8， 　　∴CE＝6，ED＝8， 　　∴BE＝BC＋CE＝8＋6＝14， BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 实际问题 抽象 数学模型 勾股定理及其逆定理 解答 实际意义 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 13 A B C D 3 4 5 12 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？ 解：∵AB=3，AD=4,BD=5 即32+42=52 根据勾股定理的逆定理可得∠A=90°， 同理可证∠DBC=90°， 因此这个零件符合要求. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 已知某校有一块四边形空地ABCD，如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？. 解：连接AC. A D B C 3 4 13 12 在Rt△ABC中， 在△ACD中， AC2+CD2=52+122=169=AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°. ∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36. ∴需要投入3600元. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 1 2 N E P Q R 认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？ 由于我们现在所能得到的都是线段长， 要求角，由此你联想到了什么？ 实质是要求出两艘船航向所成角. 勾股定理逆定理 问题1 问题2 勾股定理逆定理 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 解：根据题意得 PQ=16×1.5=24(海里), PR=12×1.5=18(海里), QR=30海里. ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°. ∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. N E P Q R 1 2 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 大型工程车行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台大型工程车沿公路 AB 由点 A 向点 B 行驶，已知点 C 为一所学校，且点 C 与直线 AB 上两点 A，B 的距离分别为 150 m 和 200 m，AB＝250 m，大型工程车周围 130 m 以内为受噪声影响区域． （1）学校 C 会受噪声影响吗？为什么？ B A C （2）若大型工程车的行驶速度为 50 m/min， 大型工程车噪声影响该学校持续的时间 有多少分钟？ BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 　　解：学校 C 会受噪声影响． 　　理由：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于 D， 　　∵AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m， 　　∴AC2＋BC2＝AB2， 　　∴△ABC是直角三角形． 　　∴S△ABC＝ AC·BC＝ CD·AB， 　　∴150×200＝250CD， 　　∴CD＝ ＝120（m）， 　　∵大型工程车周围 130 m 以内为受噪声影响区域， 　　∴学校 C 会受噪声影响． A B C D BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 　∴EF＝100（m）． （2）如图，取 EC＝130 m，FC＝130 m，当大型工程车在 EF 上时学校会受 噪声影响． 　　∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502， 　　∴ED＝50（m）， 　　∵大型工程车的行驶速度为 50 m/min， 　　∴100÷50＝2（min）， 　　即大型工程车噪声影响该学校持续的时间有 2 min． E F A B C D BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例7 锐角 钝角 ＞ ＜ BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例7 BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 勾股定理的逆定理的应用 应用 航海问题 方法 认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆 定理来解决问题 与勾股定理结合解决不规则图形等问题 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（ ） D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 2.如图，在四边形ABCD中，已知AB=5,BC=3,CD=6,AD= . 若AC⊥BC,求证：AD∥BC. ∴AD∥BC BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 3.如图，某中学为迎接校庆50周年，拟对学校校园中的一块空地进行美化 施工，已知AB＝3 m，BC＝4 m，∠ABC＝90°，AD＝12 m，CD＝13 m， 学校欲在此空地上铺草坪，已知每平方米草坪80元，试问用草坪铺满这 块空地共需花费多少元． 解：如图，连接AC，在Rt△ABC中， ∵AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25， ∴AC＝5 m． ∵AC2＋AD2＝52＋122＝169，CD2＝132＝169， ∴AC2＋AD2＝CD2，∴∠CAD＝90°， 该区域面积＝S△ACD－S△ABC＝30－6＝24（m2）， 铺满这块空地共需花费24×80＝1 920（元）． 答：用草坪铺满这块空地共需花费1 920元． BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 A B C D M N 北 东 4.一艘轮船从 A 港向南偏西 48°方向航行 100 km 到达 B 岛，再从 B 岛沿 BM 方向航行 125 km 到达 C 岛，A 港到航线 BM 的最短距离是 60 km． （1）若轮船速度为 25 km/h，求轮船从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的时间； 　　∴ （km）． 　　解：（1）由题意 AD＝60 km， 　　在 Rt△ABD 中，由 AD2＋BD2＝AB2 得 602＋BD2＝1002． 　　∴BD＝80（km）． 　　∴CD＝BC－BD＝125－80＝45（km）． 　　75÷25＝3（h）． 　　答：从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的时间为 3 h． BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 　　（2）C 岛在 A 港的什么方向？ 解：（2）∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15 625， BC2＝1252＝15 625， 　　∴AB2＋AC2＝BC2， 　　∴∠BAC＝90°． 　　∴∠NAC＝180°－90°－48°＝42°． 　　∴C 岛在 A 港的北偏西 42°方向上．  A B C D M N 北 东 BY YUSHEN BY YUSHEN 解：由折叠补全图形如图所示， ∵四边形ABCD是长方形，∴∠ADC＝∠B＝∠C＝∠A＝90°， AD＝BC＝1，CD＝AB. 由第一次折叠得∠ADE＝∠A′DE＝∠ADC＝45°， 又∵∠A＝90°，∴∠AED＝∠ADE＝45°. ∴AE＝AD＝1. 在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE＝， 由第二次折叠知，CD＝DE＝，∴AB＝. 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类). (1)当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为______三角形；当△ABC三边长分别为6, 8, 11时，△ABC为________三角形. (2)猜想：当a2＋b2________c2时，△ABC为锐角三角形； 当a2＋b2________c2时，△ABC为钝角三角形. (填“＞”或“＜”) (3)判断当a＝2，b＝4时△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围. $$