24.1.2勾股定理在实际生活中的应用（分层练习）（题型专练）数学人教版五四制八年级下册

24.1.2勾股定理在实际生活中的应用 分层练习 1．关于平面直角坐标系中的点，下列语句正确的是(　　) A．点和点表示同一点 B．点P到x轴的距离为3 C． x轴上所有点的横坐标是0 D．点与点之间距离为3 2．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 3．在平面直角坐标系中，已知点，点，则线段的长度为 ． 4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，P为x轴上的一点，当为直角三角形时点P的坐标为 ． 5．在一次夏令营活动中，老师将一份行动计划藏在没有任何标记的点处，只告诉同学们两个标志点，的坐标分别为，，点的坐标为(如图，图中1个单位长度表示)．若同学们打算从点处直接赶往点处，则的距离 ． 6．如图，一个长为5米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的长为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米到点处，那么梯子底端将外移到，则线段的长为 米． 7．明朝数学家程大位在他的著作中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，随板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺，将它往前推进两步（两步＝10尺），此时踏板升高离地五尺，求秋千绳索的长度为 ．    8．如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．    9．如图，一竖直的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在地面离大树底端5米处，小明由此推断出大树折断之前的高度为 ． 10．一棵高12的大树被折断，折断处A距地面的距离（点为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部的距离为，点D在的延长线上，求大树顶端着地处到小轿车的距离．      1．在平面直角坐标系中，已知点，点，其中为实数．当的值为 时，线段取得最小值． 2．已知满足，则S的最小值为 ． 3．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．    4．如图，在高，斜坡长，宽为的楼梯表面铺地毯，则地毯的面积至少需要 ． 5．如图，平面直角坐标系中，过点的直线垂直于轴，为直线上一点．若点从点出发，以的速度沿直线向左移动；点从原点同时出发，以的速度沿轴向右移动， (1)多久后线段平行于轴？(2)若点，且，求点的坐标． 6．如图所示，两位同学为了测量风筝离地面的高度，测得牵线放风筝同学的头顶与风筝的水平距离为米．已知牵线放风筝同学的身高为米，放出的风筝线长度为米（其中风筝本身的长宽忽略不计），求此刻风筝离地面的高度．    7．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距． (1)判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 1．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上．    （）若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺． （）若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺． 2．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、 的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，，∴．利用上面公式解决下列问题： (1)由此得到平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为： ． (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为 ． (3)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值； 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1.2勾股定理在实际生活中的应用 分层练习 1．关于平面直角坐标系中的点，下列语句正确的是(　　) A．点和点表示同一点 B．点P到x轴的距离为3 C． x轴上所有点的横坐标是0 D．点与点之间距离为3 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系中，横、纵坐标不同，则点不同；点到x轴的距离为纵坐标的绝对值； x轴上所有点的纵坐标是0；平行于轴的直线上两点之间的距离为纵坐标差的绝对值，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：点和点不表示同一点，故A不符合要求； 点P到x轴的距离为5，故B不符合要求； x轴上所有点的纵坐标是0，故C不符合要求； 点与点之间距离为，故D符合要求； 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查求两点之间的距离，利用勾股定理直接计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，点到原点的距离为， 故答案为：13． 3．在平面直角坐标系中，已知点，点，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要平面直角坐标系中勾股定理求两点之间距离的运用，根据已知点的坐标，在平面直角坐标系中描点，根据勾股定理即可求解，掌握勾股定理的运用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，，    ∴， 故答案为：． 4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，P为x轴上的一点，当为直角三角形时点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，设点P的坐标为，利用勾股定理得到，，，当时，由勾股定理得到，解方程即可；当时，则轴，则此时点P的坐标为． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵， ∴，，， 当时，则， ∴， 解得， ∴此时点P的坐标为， 当时，则轴， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或 故答案为：或． 5．在一次夏令营活动中，老师将一份行动计划藏在没有任何标记的点处，只告诉同学们两个标志点，的坐标分别为，，点的坐标为(如图，图中1个单位长度表示)．若同学们打算从点处直接赶往点处，则的距离 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是两点间的距离公式，直接利用两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：∵，， ． 故答案为： 6．如图，一个长为5米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的长为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米到点处，那么梯子底端将外移到，则线段的长为 米． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，梯子的长是不变的，利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后所构成的两直角三角形即可求解．利用图形培养同学们解决实际问题的能力，由已知观察题目的信息抓住不变量是解题以及学好数学的关键． 【详解】解：∵梯子长5米， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵梯子的顶端沿墙下滑米到点处， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴（米）， 故答案为：． 7．明朝数学家程大位在他的著作中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，随板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺，将它往前推进两步（两步＝10尺），此时踏板升高离地五尺，求秋千绳索的长度为 ．    【答案】 【分析】设尺，用表示出的长，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设尺， 尺，尺， 尺，尺， 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理得，， 解得：， 答：秋千绳索的长度是尺． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 8．如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．    【答案】10 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】如图所示，为树，且米，米，为两树距离8米， 过作于E，则， 在直角三角形中，． 答：小鸟至少要飞10米． 故答案为：10．    【点睛】本题主要考查了勾股定理的的实际运用和两点之间，线段最短等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 9．如图，一竖直的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在地面离大树底端5米处，小明由此推断出大树折断之前的高度为 ． 【答案】米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜边． 【详解】解：如图， 由题意得：， 由勾股定理得：， ∴大树折断之前的高度为米， 故答案为：． 10．一棵高12的大树被折断，折断处A距地面的距离（点为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部的距离为，点D在的延长线上，求大树顶端着地处到小轿车的距离．    【答案】大树顶端着地处到小轿车的距离为 【分析】根据题意，，，然后根据勾股定理求得，即可获得答案．本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， 故大树顶端着地处B到小轿车的距离为．   1．在平面直角坐标系中，已知点，点，其中为实数．当的值为 时，线段取得最小值． 【答案】/ 【分析】本题考查了坐标与图形及勾股定理以及完全平方公式，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点，点， ∴, ∴当时，线段取得最小值， 故答案为：． 2．已知满足，则S的最小值为 ． 【答案】5 【分析】根据表示平面内点与之间的距离，表示平面内点与之间的距离，得出当点在与之间的线段上时，这两个距离之和最小，求出这个最小距离即可． 【详解】解：∵表示平面内点与之间的距离，表示平面内点与之间的距离， ∴表示这两个距离之和， ∵两点之间线段最短， ∴当点在与之间的线段上时，这两个距离之和最小， ∴的最小值为． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了平面内两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握两点间距离公式，准确计算． 3．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．    【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺，    尺， 尺 在中，， 解得， 即芦苇长13尺， 水深为（尺）， 故答案为：12． 4．如图，在高，斜坡长，宽为的楼梯表面铺地毯，则地毯的面积至少需要 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理求得直角三角形的另一条边长，求得地毯的长，即可求出地毯的面积，正确理解地毯的长度等于直角三角形的两条直角边的长是解题的关键． 【详解】由勾股定理得，， ∴地毯的长， ∴地毯的面积， 故答案为：． 5．如图，平面直角坐标系中，过点的直线垂直于轴，为直线上一点．若点从点出发，以的速度沿直线向左移动；点从原点同时出发，以的速度沿轴向右移动，    (1)多久后线段平行于轴？ (2)若点，且，求点的坐标． 【答案】(1)3秒后线段平行于轴 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、勾股定理求两点间的距离，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． （1）设点后线段平行于轴，则，，，，根据等量关系，列出方程求解即可； （2）设点的坐标为，由两点间的距离公式表示出，，再由得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设点后线段平行于轴， 由题意得：，，， ， 轴， ，即， 解得：， 3秒后线段平行于轴； （2）解：设点的坐标为， ，， ，， ， ， 解得：或， 点从原点同时出发，以的速度沿轴向右移动， ， ． 6．如图所示，两位同学为了测量风筝离地面的高度，测得牵线放风筝同学的头顶与风筝的水平距离为米．已知牵线放风筝同学的身高为米，放出的风筝线长度为米（其中风筝本身的长宽忽略不计），求此刻风筝离地面的高度．    【答案】米 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长，即可解决问题．熟练掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴在中， ， ∴（米）， ∴此刻风筝离地面的高度为米． 7．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距． (1)判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析 (2)台风影响该农场持续时间为 【分析】（1）勾股定理求出，过点作，垂足为．根据面积法求出，判断即可； （2）假设台风在线段上移动时，会对农场造成影响，得，由勾股定理，可得的长度，再除以速度即可得到时间． 【详解】（1）解：会受到台风的影响． 理由：如图1，过点作，垂足为．     图1 因为在中，， 所以． 因为， 所以， 所以． 因为，所以农场会受到台风的影响． （2）如图2，假设台风在线段上移动时，会对农场造成影响，        图2 所以，由勾股定理，可得 ， 因为台风的速度是， 所以受台风影响的时间为． 答：台风影响该农场持续时间为． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 1．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上．    （）若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺． （）若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺． 【答案】 ； ． 【详解】（）根据题意画出图形，在中，再根据勾股定理求解即可； （2）在中根据勾股定理求解即可； 本题考查的是平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造出直角三角形是解题的关键． （）解：如图所示，      在中，，， ∴（尺） 故答案为：； （）解：在中，，， ∴（尺）， 故答案为：． 2．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、 的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，，∴．利用上面公式解决下列问题： (1)由此得到平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为： ． (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为 ． (3)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值； 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，解题的关键是： （1）（2）直接利用两点之间距离公式直接求出即可； （3）利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值． 【详解】（1）解：根据题意，∵，， ∴， ∴； （2）平面直角坐标系内任意两点，，，间的距离公式为：． ，之间的距离为：； 故答案为：5； （3）作点B关于x轴对称的点，连接，直线于x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段的长度， ∵点B与点关于x轴对称， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴的最小值为． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$