24.1.1勾股定理（分层练习）（题型专练）数学人教版五四制八年级下册

24.1.1勾股定理 分层练习 1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边长为（    ） A．17 B．16 C．15 D．13 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据勾股定理得： 斜边长为． 故选：D 2．如图，在中，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．在中，三边分别是，，，斜边，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，据此得到，即可作答． 【详解】解：依题意， 因为在中，三边分别是，，，斜边， 所以， 那么， 故答案为：． 4．已知的两直角边a、b满足关系，则第三边c的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，非负数的性质，解题的关键是利用非负数的性质求出a，b，再利用勾股定理计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴第三边c的长为 故答案为：． 5．如图，厂房屋顶的人字架是等腰三角形，，若跨度，上弦长，则中柱的长 m．    【答案】6 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握“等腰三角形的三线合一的性质”． 【详解】解：， ， 在中， ， 故答案为：6． 6．在中，已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：，，， 由勾股定理得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理是解题关键． 7．如图    （1）如图1所示，直角三角形中未知的边长等于 （2）如图2所示，直角三角形中未知的边长等于 【答案】 【分析】根据勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）根据勾股定理，得 ． 解得：（负值舍去）． 故答案为：． （2）根据勾股定理，得 ． 解得：（负值舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查用勾股定理解直角三角形，牢记勾股定理是解题的关键． 8．小明从家出发向正东方向走了，接着向正北方向走了，这时小明离出发点多远？ 【答案】这时小明离出发点 【分析】根据题意，画出图形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，A为出发点，B为向正东方向走了的地点，C为向正北方向走了的地点，即，．      在中，由勾股定理得： ． 答：这时小明离出发点．     【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是理解题意，正确的画出图形． 9．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方米处，过了秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为米，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】小汽车超速了 【分析】根据题意，运用勾股定理可求出的长，由此可求出小汽车的速度，与限速比较即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，即，，， ∴在中，， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴小汽车超速了． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理求线段长度是解题的关键． 1．如图，，过P作，得；再过作且，得；又过作且，得；…依次法继续作下去，得的值等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理分别列出，，的值，依此类推可得，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ，……， 依此类推可得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．如图，三角形纸片中，，在上取一点，以为折痕进行翻折，使的一部分与重合，与延长线上的点重合，若，，则，的长度为（　　）    A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，先由含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，再由折叠的性质可得，，再由含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，进行计算即可得到答案，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ， 由折叠知，，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．如图，将一副三角尺叠放在一起，若cm，则的长为 cm．    【答案】 【分析】由的直角三角形的特点可得，根据可得，进一步根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了的直角三角形、勾股定理等．推出是解题关键． 4．如图，一幅三角板如图所示摆放在一起，若已知，则的长是    【答案】 【分析】根据图示，可知中，，是等腰直角三角形，根据含特殊角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，，， ∵， ∴，则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查含特殊角的直角三角形的性质，理解并掌握含特殊角的直角三角形中各边的关系及计算方法是解题的关键． 5．如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据于A，于B，，列式，解出的值，即可作答． 【详解】解：由题意知，，，， 设，则， 因为于A，于B， 所以在与中， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 6．高安浮桥位于锦河之上，大观楼耸立在锦河北边，与浮桥相互映衬，形成美丽的文化风景带．在浮桥旁边有一艘游船，如图所示，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少？（假设绳子是直的，结果保留根号）    【答案】 【分析】在中，根据勾股定理可求出的值，以的速度收绳，后船移动到点的位置，可求出的长，中，可求出的长，根据，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵此人以的速度收绳，后船移动到点的位置， ∴， ∴中，， ∴， ∴船向岸边移动了． 【点睛】本题主要考查勾股定理在实际生活中的运用，掌握勾股定理求线段长度是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若和关于轴成轴对称，画出，点的坐标为 ； (2)在轴上求作一点，使得的值最小，请在图中画出点： (3)求的面积和最长边上的高． 【答案】(1)作图见解析， (2)见解析 (3)的面积为，最长边上的高为 【分析】本题主要考查平面几何中图形的变换，理解并掌握轴对称图形的作图方法，轴对称—最短路径的计算，等面积法求高等知识是解题的关键． （1）根据关于轴对称的作图方法“点到轴的距离等于对称点到轴的距离”，由此即可作图； （2）根据轴对称—最短路径的计算，即可求解； （3）根据平面直角坐标系的特点即可几何图形的面积，再运用等面积法即可求高． 【详解】（1）解：和关于轴成轴对称，如图所示， 即为所求图形，， 故答案为：． （2）解：作点关于轴对称点，连接交轴于点，则的值最小，如下图， ∴点P即为所求． （3）解：的面积为， 根据勾股定理可得，， ∴根据等面积法求高得，，即最长边上的高为． 8．在中， ①若，，则 ； ②若，，则 ； ③已知，，则 ； ． 【答案】①②③； 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，， ， ①，， ； ②， ； ③， 设， 又，， ， ， ，； 故答案为：①；②；③；． 1．如图，在等边的，上各取一点，，使，，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为．若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，由“”可证，由全等三角形的性质可得，可证，由直角三角形的性质可求解． 【详解】是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， 如图，过点作于，    ，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点． (1)找出图中的一对全等三角形，并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由与都是等腰直角三角形，，可知，，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由等腰直角三角形的性质得，由，得，，则，根据勾股定理得，则． 【详解】（1）解：， 理由：与都是等腰直角三角形，， ，，， 在和中， ， ． （2）证明：，， ， ， ，， ， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1.1勾股定理 分层练习 1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边长为（    ） A．17 B．16 C．15 D．13 2．如图，在中，，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．在中，三边分别是，，，斜边，则的值为 ． 4．已知的两直角边a、b满足关系，则第三边c的长为 ． 5．如图，厂房屋顶的人字架是等腰三角形，，若跨度，上弦长，则中柱的长 m．    6．在中，已知，，，则的长为 ． 7．如图    （1）如图1所示，直角三角形中未知的边长等于 （2）如图2所示，直角三角形中未知的边长等于 8．小明从家出发向正东方向走了，接着向正北方向走了，这时小明离出发点多远？ 9．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方米处，过了秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为米，这辆小汽车超速了吗？ 1．如图，，过P作，得；再过作且，得；又过作且，得；…依次法继续作下去，得的值等于（　　）    A． B． C． D． 2．如图，三角形纸片中，，在上取一点，以为折痕进行翻折，使的一部分与重合，与延长线上的点重合，若，，则，的长度为（　　）    A．6 B．4 C．3 D．2 3．如图，将一副三角尺叠放在一起，若cm，则的长为 cm．    4．如图，一幅三角板如图所示摆放在一起，若已知，则的长是    5．如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ．    6．高安浮桥位于锦河之上，大观楼耸立在锦河北边，与浮桥相互映衬，形成美丽的文化风景带．在浮桥旁边有一艘游船，如图所示，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少？（假设绳子是直的，结果保留根号）    7．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若和关于轴成轴对称，画出，点的坐标为 ； (2)在轴上求作一点，使得的值最小，请在图中画出点： (3)求的面积和最长边上的高． 8．在中， ①若，，则 ； ②若，，则 ； ③已知，，则 ； ． 1．如图，在等边的，上各取一点，，使，，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为．若，则的长为 ．    2．如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点． (1)找出图中的一对全等三角形，并说明理由； (2)求证：． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$