广东省汕头市潮南区井都中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段考试数学试卷

2024—2025学年高二上学期第一次阶段考试 高二数学试卷 本试卷共5页 满分150分，考试用时120 分钟 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、已知集合 则A∩B= ( ) A、{1} B、 {2} C. {1,2} D、 {1,2,3} 2、已知a∈R, i是虚数单位, 则a=( ) A、 2 B、 -1 C、 -2 DC 1 3、已知 若 则λ的值为( ) A、 -2 C. D、 2 4、已知向量 则ā在向量b 上的投影向量为( ) D. (4,2,2) 5、已知四棱锥P-ABCD, 底面ABCD为平行四边形, M,N分别为棱BC,PD上的点, 设AB=a,AD=b,AP=2,则向量.MN用 为基底表示为 ( ) 6、已知向量cos(α+β)=m,tanαtanβ=2, 则 cos(α-β)=( ) A、 -3m D、 3m 、已知向量 则 的最小值为( ) A、 B. C、 8、在棱长为2 的正方体， 中, E , F分别为棱AA₁, BB₁的中点, G为棱A₁B₁上的一点,且4,G=λ(0<2<2),则点G到平面D，EF的距离为( ) 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9、 已知一组数据6, 13, 14, 15, 18, 13, 则特征量为13的是 ( ) A、 极差 B、众数 C、 中位数 D、第40百分位数 10、如图, 在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中, E为BB₁的中点, F为A₁D₁的中点, 如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( ) B、 向量.AE与AC₁所成角的余弦值为 C、平面 AEF 的一个法向量是 (4,-1,2)& D. 点D到直线AC₁的距离为 11、在正三棱柱 中, AB=AA₁, 点P满足 则下列说法正确的是( ) A. 当λ=1时, 点P在棱BB₁上 B. 当μ=1时，点P到平面ABC的距离为定值任 C. 当 时，点P在以BC，B₁C₁的中点为端点的线段上 D. 当 时, A₁B⊥平面AB₁P 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12、在复数范围内方程 的一个根为x₀，则 13、 已知点A(3,a),B(a-2,3),C(2,3),D(-1,a-2), 直线AB与直线CD垂直, 则 14、 四棱锥P-ABCD 中, PD⊥底面ABCD, 底面ABCD 是正方形, 且PD=1, AB=0, G是 的重心，则PG与平面PAD 所成角θ的正弦值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共17分解答应写出必要的文字说明，证明过程或消算步骤) 15.(本小题13分)如图所示，直三棱柱 中， N分别是的中点. (1) 求BN的长; (2) 求证: BN⊥平面C₁MN. 16、 (本小题15分)如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA₁ C₁C, ∠A₁AC=60°, ∠BCA=90°. (1) 求证: (2) 已知点E是AB的中点, 求直线 与平面 所成的角的正弦值. 17、 (本小题15分)在 中, 角A,B,C所对的边分别d,b,c,已知. (1) 求B; (2)若 设D为CB延长线上一点，且. 求线段BD的长. 18. (本小题17分)某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高) ，结果认知程度高的有m人,按年龄分成5组, 其中第一组: [20,25), 第二组: [25,30), 第三组: [30,35), 第四组:[35，40)，第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. (1) 根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数； (2) 现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者， (i) 若有甲(年龄38) ，乙(年龄40) 两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (ii) 若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和 第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差. 19.(本小题17分)如图，在长方体 中， 点E在棱AB上移动. (1) 当点E在棱AB 的中点时，求平面D₁EC与平面 的夹角的余弦值； (2) 当AE为何值时, 直线 与平面 所成角的正弦值最小，并求出最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$