2025年中考数学高频考点专题复习-相似三角形问题（二次函数综合）

2025年中考数学高频考点专题复习-相似三角形问题（二次函数综合） 1．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点连接．点沿以每秒个单位长度的速度由点向点运动，到达点后再以同样的速度沿轴正半轴运动，同时，点沿以每秒个单位长度的速度由点向点运动，当点停止运动时，点也随之停止运动，连接．过点作轴，与抛物线交于点连接．设点的运动时间为秒，已知点、点的坐标分别为． （1）求抛物线的解析式． （2）①直接写出点的坐标（用含的代数式表示，结果需化简）； ②当点在线段上运动，且满足时，求的值． （3）试探究：在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的中点落在坐标轴上？若存在，请直接写出此时的值与点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴交于点C，已知点A（3，0），O为坐标原点， (1)当B的坐标为（﹣5，0）时，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，以A为圆心，OA长为半径画⊙A，以C为圆心，AB长为半径画⊙C，通过计算说明⊙A和⊙C的位置关系； (3)如果△BAC与△AOC相似，求抛物线顶点P的坐标 3．如图，经过和两点的抛物线交轴于两点，是抛物线上一动点，平行于轴的直线经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，轴上有点连接，设点到直线的距离为．．小明在探究的值的过程中，是这样思考的：当是抛物线的顶点时，计算的值；当不是抛物线的顶点时，猜想是一个定值．请你直接写出的值，并证明小明的猜想． (3)如图2，点在第二象限，分别连接、，并延长交直线于两点．若两点的横坐标分别为，试探究之间的数量关系． 4．如图，抛物线经过点和．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点为第二象限内抛物线上一点，连接，点P为线段下方抛物线上一点，过点P作交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，连接、，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，若点M为平移后新抛物线上一点，过点M作轴于点N，直接写出所有使得相似于的点M的横坐标． 5．如图，抛物线：的图像与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标：若不存在，试说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：平移，使平移后的抛物线经过点，，与y轴的交点为E.    (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是抛物线上的动点，设四边形的面积为S，求S与m的函数关系式，并求四边形的面积的最大值； (3)若与平移后的抛物线对称轴交于D点，点M是y轴上一点，点N是抛物线的对称轴上位于点D的上方的一点，当与相似时，请直接写出点M及其对应点N的坐标（每写一组正确的结果得1分，最多得5分）． 7．如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（5 ，0）两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）若PE=3+4EF，求m的值； （3）是否存在点P，使得△PCE与△DEF相似．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．      8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，交x轴正半轴于点C，连接，点E是线段上一动点（不与点O，C重合），以为边在x轴上方作正方形，连接，将线段绕点F逆时针旋转，得到线段，过点P作轴，交抛物线于点H，设点． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求a的值． (3)当时，求点P的坐标． 9．如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点A，B，且B点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)若点P是上的一动点，过点P作，交于E，连接，求面积的最大值． (3)若点D为的中点，点M是线段上一点，且为等腰三角形，求M点的坐标． 10．如图，抛物线经过点和．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点为第二象限内抛物线上一点，连接，点P为线段下方抛物线上一点，过点P作交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，连接、，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，若点M为平移后新抛物线上一点，过点M作轴于点N，直接写出所有使得相似于的点M的横坐标． 11．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点连接．点沿以每秒个单位长度的速度由点向点运动，到达点后再以同样的速度沿轴正半轴运动，同时，点沿以每秒个单位长度的速度由点向点运动，当点停止运动时，点也随之停止运动，连接．过点作轴，与抛物线交于点连接．设点的运动时间为秒，已知点、点的坐标分别为． （1）求抛物线的解析式． （2）①直接写出点的坐标（用含的代数式表示，结果需化简）； ②当点在线段上运动，且满足时，求的值． （3）试探究：在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的中点落在坐标轴上？若存在，请直接写出此时的值与点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线：的图像与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标：若不存在，试说明理由． 13．如图，经过（1，0）和（2，3）两点的抛物线y＝ax2+c交x轴于A、B两点，P是抛物线上一动点，平行于x轴的直线l经过点（0，﹣2）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，y轴上有点C（0，），连接PC，设点P到直线l的距离为d，PC＝t．童威在探究d﹣t的值的过程中，是这样思考的：当P是抛物线的顶点时，计算d﹣t的值；当P不是抛物线的顶点时，猜想d﹣t是一个定值．请你直接写出这个定值，并证明； （3）如图2，点P在第二象限，分别连接PA、PB，并延长交直线l于M、N两点．若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系． 14．如图，经过和两点的抛物线交轴于两点，是抛物线上一动点，平行于轴的直线经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，轴上有点连接，设点到直线的距离为．．小明在探究的值的过程中，是这样思考的：当是抛物线的顶点时，计算的值；当不是抛物线的顶点时，猜想是一个定值．请你直接写出的值，并证明小明的猜想． (3)如图2，点在第二象限，分别连接、，并延长交直线于两点．若两点的横坐标分别为，试探究之间的数量关系． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标分别为，，是线段上一点（与，点不重合），抛物线（）经过点，，顶点为，抛物线（）经过点，，顶点为，，的延长线相交于点． （1）若，，求抛物线，的解析式； （2）若，，求的值； （3）是否存在这样的实数（），无论取何值，直线与都不可能互相垂直？若存在，请直接写出的两个不同的值；若不存在，请说明理由． 16．已知抛物线与轴的交点为点、点且，点是抛物线的一个动点不与点、重合，作轴于点，线段的最大值是． (1)求抛物线的解析式． (2)当点运动到什么位置时，图中的矩形是正方形？并求出点的坐标． (3)是否在此抛物线上存在点使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），过轴上的点，直线交轴，轴于点，，且.     图（1）                        图（2） （1）求出与的值. （2）抛物线的对称轴交轴于点，在轴上方的对称轴上找一点，使与相似，求出的长. （3）如图，过抛物线上动点作轴于点，交直线于点，若点是点关于直线的对称点，是否存在点（不与点重合），使点'落在轴上，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）；（2）①；②当点在线段上运动，且满足时，的值是；（3）存在．时，；时， 2．(1) (2)相离 (3)P 3．（1）；（2）；（3） 4．(1) (2)，最大值为； (3)的横坐标为：或或6或． 5．(1)， (2)或 6．(1) (2)，四边形的面积的最大值为 (3);;; 7．（1）； （2）； （3）存在点P，； 8．(1) (2) (3)点P的坐标为或或 9．(1) (2)3 (3)或 10．(1) (2)，最大值为； (3)的横坐标为：或或6或． 11．（1）；（2）①；②当点在线段上运动，且满足时，的值是；（3）存在．时，；时， 12．(1)， (2)或 13．（1）y＝x2﹣1；（2）d﹣t＝；（3）mn＝﹣1 14．（1）；（2）；（3） 15．（1）抛物线L1的解析式为y=，抛物线L2的解析式为y=（2）m=±2（3）存在 16．(1) (2)A的坐标为 (3)存在，（2，4）或 17．（1），；（2）或8；（3）；；；. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$