2025年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（二）

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟试题（二）参考答案 一、选择题：每小题5分，共40分。 1.D 2.D 3.A 4.B 5.B 6.A 7.C 8.D 二、选择题：每小题6分，共18分，部分选对得部分分。 9. BD 10. ABC 11. ACD 三、填空题：每小题5分，共15分。 12． 13． 14．2024 四、解答题：共77分。 15.（13分） （1）一箱24瓶的饮料中有3瓶有奖券，所以无奖券的有21瓶， 从中任取2瓶，有种结果， （2分） 其中抽取的2瓶饮料中无奖券，有种， （4分） 所以小明的这2瓶饮料中有中奖券的概率为：；（6分） （2）设小明最终获得饮料瓶数为，则， 则， ， ， ，（10分） 所以的分布列为： .（13分） 16．（15分） （1）证明：∵矩形，∴． 又∵平面平面，平面平面，， ∴平面，∴．（3分） 又∵，， ∴平面， ∴．（6分） （2）假设存在点使得锐二面角的余弦值为． 以为坐标原点，，，垂直于平面的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，． 设，则， ∴，，（9分） 设向量是平面的法向量， 则 令，则， 显然是平面的一个法向量．（11分） 设锐二面角的平面角为， 则，（12分） ∴或（舍），（13分） ∴线段上存在一点使得锐二面角的余弦值为，此时．（15分） 17．（15分） （1）当时，，所以．（2分） 所以，（4分） 又， 所以曲线在点处的切线方程为 ，即．（6分） （2）依题意，． 当时，由（1）可知，， 所以在上单调递减，无极值．（8分） 当）时，．（9分） （i）当时． ，所以在上单调递减，无极值．（11分） （ii））时． 时．在上单调递增， 时，在上单调递减．（13分） 所以时，取极大值，无极小值． 综上，当时，无极值； 当时有极大值，无极小值. （15分） 18．（17分） (1)由题意，椭圆的离心率为，△TF1F2的面积的最大值为2， 所以，又，联立解得a2=9，b2=5，c2=4， 所以椭圆的方程为；（6分） (2)证明：由题意，直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为：x=ty+1， 则消去x整理可得：(5t2+9)y2+10ty-40=0，（8分） 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)(y1>0，y2<0)，M(x，y)，而A(-3，0)，B(3，0) 则，即， 由A，P，M三点共线得：，（10分） 由B，Q，M三点共线得：，（12分） 两式相除可得：=，（14分） 解得x=9， 所以点M在定直线x=9上. （17分） 19．（17分） （1）根据“相邻数列”的概念可知，， 或，或， 所以的所有“相邻数列”有；；；.（3分） （2）任取的一个“相邻数列”， 因为或， 或， 所以有且，（5分） 对于的取值分以下4种情形： （a）， （b）， （c）， （d） 由数列是递增的整数数列，前3种情形显然都能得到，所以只需考虑第4种情形， 递增，，即， （7分） 由是递增的整数数列得，从而是公差为1的等差数列， 于是，则，即满足数列的有11个. （9分） （3）令，所以对任意， 设，则且， 先证明与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合， 若，令，则，由得， 所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合． 若，令，则，由得， 所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合，（11分） 因此，的分布只可能是如下三种情况： （i），此时，对任意的，由得， 所以对任意的，注意到，所以， 等号当且仅当时取到；（13分） （ii）存在整数，使得 对任意的，对任意的，所以 （15分） （iii）．此时，对任意的，与情形1类似， 对任意的，注意到， 所以， 综上，的最小值为．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟试题（二） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．复数满足，则（    ） A． B． C． D．i 3．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取7位小区居民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，4，则这组数据的第60百分位数是（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 4．如图，在三棱柱中，M为A1C1的中点N为侧面上的一点，且MN//平面，若点N的轨迹长度为2，则（    ）    A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等比数列的前项和，满足，则（    ） A．16 B．32 C．81 D．243 7．已知直线与抛物线交于点、，以线段为直径的圆经过定点，则（    ） A． B． C． D． 8．若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，每小题有多个选项符合题意，部分选对得部分分. 9．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知数列为等差数列，其前n项和为，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B．公差 C．当时最大 D．使的n的最大值为16 11．已知函数和的图象与直线的交点分别为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b= . 13．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，且，则鳖臑P-ABC外接球的体积是 . 14．已知函数的定义域为，且满足，，，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（13分） 一箱24瓶的饮料中有3瓶有奖券，每张奖券奖励饮料一瓶，小明从中任取2瓶， (1)小明的这2瓶饮料中有中奖券的概率； (2)若小明中奖后兑换的饮料继续中奖的话可继续兑换，兑换时随机选取箱中剩余的饮料，求小明最终获得饮料瓶数的分布列和期望． 16．（15分） 四棱锥中，平面平面，，，四边形为矩形，，． （1）证明：； （2）线段上是否存在一点（异于点，），使得锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．（15分） 已知函数，其中是常数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 18．（17分） 已知椭圆C：=1(a>b>0)的离心率e=，F1，F2分别为左､右焦点，点T在椭圆上，△TF1F2的面积最大为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）椭圆C的左､右顶点分别为A，B.过定点(1，0)且斜率不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP和直线BQ相交于椭圆C外一点M，求证：点M的轨迹为定直线. 19．（17分） 已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列的“相邻数列”为，其中或 (1)已知，数列，写出的所有“相邻数列”； (2)已知，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数； (3)已知，数列是递增的整数数列，，且存在的一个“相邻数列”，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$