广东省茂名市2024-2025学年高三上学期第一次综合测试数学试卷

绝密★启用前 ,中0：业前在下1).8！ 2025年茂名市高三年级第一次综合测试 冷 :分的0来(1 数学以试卷 的3近1清辟C) 图T”,点不1片( 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 1>H1:, 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写 在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上 要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 .(“43n元-}+n4 :d.(1) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 同不个(C至谷节中名合现路( 1.已知集合M={x-2≤x<0,N={xl-1≤x<3},则MnN= A.{xl-1≤x<0} B.xlx>3 C.{xl-2≤x<3} D.{xlx<-2} 3,x<1, 2.已知函数f八x)= log(x+8),x≥1， 则f八-1)+f(1)= A号 B.3 c号 D. 3.已知直线l1:x+my-5=0,直线2：mx+y+3=0,若l1∥L2,则实数m的值为 A.1 B.-1 C.-1或1 D.0 4已知4=cos号+i6n号4=cos君+isin君，则·= A.0 B.i C.-i 5.在一个箱子中放5个白球，3个红球，摇匀后采用不放回方式随机摸球3次，每次一个，第3次摸 到红球的概率是 A君 B.i6 c 数学第1页（共4页） 6.已知函数八x)=√？-6x+5在区间(a,+∞)上单调递增，则a的取值范围为本：圆空以，三 A.(-∞，1] B.(-∞，3] C.[3,+∞) D.[5,+o)si 7.在棱长为6的正方体ABCD-A,B,CD,中，A正=2EA,C=2FC,过点B,E,F的平面截该正方 体所得截面的周长为 A.413+32 B.6√+3万 C.4√13+82 D.613+8万 8.向量a与b在单位向量e上的投影向量均为3e,且|a-b|=5,当a与b的夹角最大时，a·b= A.8 共B.5哥刚，时空文 c￥ D 太：公形，四 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在一次数学竞赛中，将100名参赛者的成绩按区间[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，得 到如下频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表，根据图中信息，下列结论正 确的是 ,率 组距 0.035 .1+-：=gn出9（依1）01 0.030 1=于强深九.11=产(1) 水.0：：以强始（六发函路(5： 0.005 0V506070 80 90 100成镜/分 A.a=0.015 B.该100名学生成绩的众数约为75 C.该100名学生中成绩在[70,90)的人数为48.c==3.31S.中9品1.么.世1)F D.该100名学生成绩的第85百分位数约为82.5 .1△Ci 10.下列命题正确的是 A.若a>b,则a2>b B.若a<b<0,则b2<ab<a2 C若a>6>0,名>8则m<0 D.若2<a+b<3,-1<a-b<2,则3<3a+b<8 0的，1站的特求1烧我(1 2 11已知函数fx)=2产+ 会明网\1半面号.0，=N門(5 一，则 A.当a>0时f(x)是增函数 B.当a<0时f(x)的值域为(2，+) C.当a=1时，曲线y=f(x)关于点(0,1)对称 D.当a=4时，VxERf八kx+1)+f(2-x2)<2,则-2<k<2 数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，（二+，间月2世 12已知血受-cm受=-9，则血a 13.已知A(-4,0),B(-1,0),若直线l:3x+4y+a=0上有且只有一点P满足PA=2PB, 则a= 14.已知数列a,}各项都为正整数，a1=3,an=2,若VkeN”,(a4-1-a4-2)(a-1-a)=1,则 a,+a2+…+a2的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且2 bcos C=acos C+ccos A. (1)求C; 好化后，标形的所业福 (2)若c=√13，且△ABC的面积为35，求a,b. 出民于，中，头色 的 16.(15分)已知函数f八x)=lnx-ax2+1. (1)当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程； (2)若函数f八x)的最大值为0，求实数a的值 2100=n. 17.(15分)如图，△ABC中，AC⊥BC,AC=BC=2,D,E分别为AB,AC的中点，将△ADE沿着DE翻 折到某个位置得到△PDE. 之.%比理0位D乙8 (1)线段PB上是否存在点M,使得DM∥平面PCE,并说明理由： (2)当PB=√时，求平面PBD与平面PCD所成角的余弦值. (5, ,,0. （x中，> 以，0)1文111,1 9>1>5-形9>1一5》t1+,月云±V,4w2 数学第3页（共4页） 8.分在平面直角坐标系0中，椭圆后1@>6>0)的长轴长为4，离心率为号直 线I交E于A,B两点。 (1)求E的方程； （2)若直线1过E的右焦点，当△0MB面积最大时，求1MB1,是 (3)若直线L不过原点，M为线段AB的中点，直线OM与E交于P,Q两点，已知P,Q,A,B四点 共圆，证明：AB引<25. :被难 记4师认，尘。，日话山管话单留关3量地平西代女，价动给 划名“后器与或51，买学今 :兴牙因下3不这明因，F0名击，丝头洛·？， 8出升出然，家务然梦，头于孤致条围，你角么 叶代妇学司及号完少.》学地金：毛u山，丝年， 19.(17分)已知数列1a.,b满足：e为等比数列，a1=26=5,且a6.+4,.+…+06 4a +b-3(nEN'). 以器，以乐有扩业9以公的就公款4 (1)求an,b. 自(2)求集合M=-.++冬=0，eN,n≤2N,NeN中所有元素的和；，一 a (3)若集合S中存在m(m≥2)个不同元素k,k,…,k.,使得k1·k2·…·kmeS,则称S为m类 集合.试判断{xlx=2,neN·|是否为m类集合.若是，求出所有m的值；若不是，说明 0>11-11. 理由. =(1N+(「-八圆 =:八爱证氏与工 ≤.(8÷)30目 0N0 1 E.d 长诸的a漫炎即，清若，0=E+(+:羚直，0=元-+：位妇无 00 四州近【-) 1-.月 11 3<机，君ii+晋n=,是+月 =成与. i-0 i.国 0.4 无军，个·，：F用风安国以开容心过.好小。，白个为1行一年，2 冷狂国 数学第4页（共4页）数学答案 一、单选题： 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C B A D 8.【详解】设e为x轴正半轴上的单位向量，可令 3=0C=(3,0),a=OA=(3,m),b=OB=(3.m-5),如图示， 易知4B10C,若<a6~0e(0,,故c0s日=a+16-25 2albl 面a+6-25=9++90m-列-25=20m-+号0，即cs0>0, 2 所以oeo经，又对as血0=生3x5=a1=5。 sin 所以a:6a1c0s0=15。,要a与5的夹角最大，即tm6最大，即a.6最小， tane 由a6-a1o0=㎡-加+9=0m号号当且仅当m时取等号， 所以当a与方的夹角最大时，ā.6 故答案为：D 二、多选题 9 10 11 AB BCD ACD 11【详解】Af)=2严 =2+-24当a>0时，根据复合函数单调性可知函数是R上的增函数 2+a 2*+a B:f(x)= 2 -2a =2+ 2+a ,当a=-2时，x=0,f(x)=-2可知B错误 2+a 2(2+)=2正确 c:当a=1时，f+f(-=22中+12+121 212 212 D:当a=4时，f付=，2，的图象是由=2 2+422+1 一图象向右平移2个单位得到，可知f(x)图象的 2+ 对称中心为(2,1)，且fx)是R上增函数 ·fx+1)+f2-x2)<2可得2-f(4-c-1)+f(2-x2)<2 即得：f(2-x)<f(4--1)根据函数单调性可得：2-x2<3- 即x2-+1>0恒成立，△=k2-4<0即-2<k<2。D正确 三、填空题12 13.±10 14.21 14.【详解】由题意，对a-2,a-,a址(k=1,2,3,4)满足：“a-1=at-2-1,a址=a-1+1” 或“a3-1=a-2+1at=a-1-1”，所以a-2=1时，a-2+a-1十4t的最小值为 3a-2+1:当a-222时，a3t-:+a-1+ar的最小值为3a-2-1. 因为a1=3,所以4，+a2+a的最小值为3+2+3=8： 因为42=2,4。+41+a4,的最小值为2+1+2=5： 又a4+a+a。21+2+1=4:a2+43+a,21+2+1=4: 所以a+42+…十a2的最小值为21， 四、解答题 15解：（1由2 oC=acos C+ec0sA及正弦定理a=b=C得…1分 sin A sin B sinC 2 sin B cosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)…3分 又A十B十C=r,得A十C=r-B.所以sin(A+C)=sinB…4分 所以2 sin BcosC=sinB又sinB≠0.∴cosC= 1 2 …5分 由Ce(0,,得C= 3 ,…6分 1 (2)由S4Me=ab sinC=3V5得ab=12…7分 由余弦定理c2=2+b2-2 bcosC,又c=V13得2+b2=25…9分 所以(a+b)2=a2+b2+2ab=49,a+b=7…10分 (a-b)2=2+b2-2ab=1,a-b=±1…11分 所以a=4,b=3,或0=3，b=4…13分 16,解：(1)当a=1,fx)=nx-x2+1 f(1)=0.…1分 又个=1-2x,则有个0=-13分 ∴.切线方程为：y=-(x-1)即：x+y-1=0…4分 2 (2)r(m)=1-2ax=1-2m …5分 当a≤0时，(x)>0函数f(x)在(0，+o)上单点递增，无最大值…7分 当a>0时，令1-2a2=0可得=2a2a …8分 又x∈(0，+o) 1 xE0,时，了田>0，J)单调递棉x(+)时，了飞①)<0，网单调莲减…0分 .函数在x= 1 取到最大值，即八会=0…1分 ）…12分 即：-21n(2a）-21=0.13分 即：n(2a）=1,…14分 所以a=e …15分 17.解： (1)法一：存在，且M为PB的中点，下面给出证明：…1分 如图，取PC中点G,连接MG,GE 因为M、G为PB、PC中点所以MGBC2分 2 又D、E分别为AB,AC的中点 所议DC3分 所以DE/MG…4分 所以四边形DMGE为平行四边形 所以DMIIEG…5分 又DMt平面PCE,EGC平面PCE 所以DM//平面PCE…6分 M G 法二：存在，且M为PB中点，证明如下：…1分 取BC中点G,连接DG,GM 因为因为D、M、G为AB、PB、BC中点所以MG/PC,DG/CE…2分 又MG丈平面PCE,PCC平面PCE:DGt平面PCE,CEc平面PCE 所以MG//平面PCE,DG//平面PCE…4分 又MG∩DG=G,MG,DGc平面DMG 所以平面DMG/平面PCE…5分 因为DMC平面DMG 所以DM//平面PCE…6分 (2)连接BE,则BE=√22+12=√5 又PE=l,PB=√6 所以PB2=PE2+BE 所以PE⊥BE…7分 又因为PE⊥DE,BE∩DE=EBE,DEC平面BDE 所以PE⊥平面BCED 又CEC平面BCED 所以PE⊥CE 所以EP,EC,ED两两垂直…8分 以E为原点，ED,EC,EP的方向分别为x,y,轴的正方向建立空间直角坐标系，则D1,0,0),P(0,0,1), B(2,1,0),C(0,1,0)…9分 所以Dp=(←-1,0,1，DB=1,1,0),C2=(0,-1,1),CD=1,-1,0)…10分 设平面DPB的一个法向量为=(x,,二) 则 %·DP=-x+0+5=0 不妨令x=1,则片=-1，=1所以片=Q,-1,1)…12分 DB=+=0 设平面PCD的一个法向量为，=(x,”2,2) 则 z,CP=-y+32=0 不妨令x=1,则为2=1,32=1所以2，=(1,1,1)…14分 nCD=x-为=0 设平面DPB与平面PCD所成角的大小为日，则 1×1-1×1+1×1 c0s8c0s<,n2>曰 W1+1+1×1+1+13 1 所以，平面PBD与平面PCD所成角的余弦值为二…15分 3 2a=4 18.解：(1)解：)依题意得 c√5，解得a=2,c=√互…2分 e=- a 2 所以=：-c=2,故椭圆B的方程为+ 4+2 =1.…3分 (2)由(1)知F(2,0),由题可设1的方程为：x=y+√2，A(3,y),B(x2,,)…4分 x=y+V反 联立 +、,得：(+2y+2W2y-2=05 2 △=82+8(+2)>0恒成立 则y+y=下+2 .-2W21 -2 y=P+2 …6分 所以8-g9G+少--只 8 42 2V(+2)22+2 22+8+2习 =2W t2+1 =2 t2+1 21V心+2 V2+2)2 V(+1)2+2t+1)+1 =2W2 √2+25当且仅当1=0时等号成立…8分 所以，直线1垂直于x轴时，△0AB面积取最大值，此时A8=2沙=号-29分 a 2 (3)若1的斜率为0，P,Q为上下项点，且PO⊥AB,若P,Q,AB四点共圆，则OP=OA不成立10分 所以由题可设1的方程为：x=y+m(m≠0)，A(化，y),B(x,y2),P(x,y),M(x,), [x=y+加 则Q(x,-),联立 +上=1得：+2y+2nmw+m-4=0 42 当△=4r-40+20m2-到>0，即：m2-2r-4<0时y+g=2, 2+2”=二4…11分 Γt+2 所以中点的坐标为2平为所以=专故直线Q=台，2分 2 由P,Q,A、B四点共圆，则MA||B曰PMO1, 由4-a+0+-41-0+2装.3分 t 2 联立可得 即 8 -=1 42 所0=0+导引+9.14分 所以20+1)=4+t2,得t2=2,…15分 所以m2<4+212=8,, 又直线1不过原点，所以≠0 所以2∈(0,8)…16分 18=2-8-m 即|AB1|AB<2√5…17分 19解：（1)a4=6+4a-3,4=26=21分 又a6+a4=6+a-3,a=号A=26=5,解得：4 1…2分 4 因为a}是等比数列，所以a}的公比q=及= a=(…3分 所u会+会+-+eN) 2 6 即：b+2b,+…+2-b=(6n-3)2+4neN) 又当n≥2时，么+2b++2-2b1=(⑥1-3)2+4， 作差得：2bn=(亿n-3)2”-(b1-3)2-化简：b.=2(亿。-3)-（亿1-3），…4分 得：bn-b1=3(n22)…5分 ∴b}是公差d=3的等差数列 .b=b+(n-1)d=3-1…6分 (2)记集合M -bX-d-0neNn2w 的全体元素的和为S,…7分 2(1-22w) =22w+1-2,…8分 aa 的所有元素的和为Aw= 1-2 集合B={b1,b2,,b2w}的所有元素的和为Bw= 2N(6N-1+2=6W+N,…9分 2 集合A∩B的所有元素的和为T,则有S=A2N+B2N-T 对于数列 当n=2k-keN)时a 1=221=(3-1=3p-1(peN)是数列私，}中的项…10分 =2kkeN)时，。=二=23p-1)=6p-2(peN)不是数列{私，}中的项…11分 T=1+1+t 1 一，其中 a aa ≤4e6v-lk3o-四 2 2 drn w.w.(y-1- (其中[x]表示不超过实数x的最大整数)…12分 Ig:(6N-1H1 …13分 ·S=6W2+N+21_2 ×42 4 3 (3)2222=21g 当m=3i,(ieN)时，b,+b,+…+b.=3k,+k,+k)-3i是3的正整数倍，故一定不是数列{他，}中 的项， 即222…2g{xx=25,neN}…14分 当m=3i-l,(ieN)时， b+b,+…+b=36+k2+…kn)-m=3k1+k,+k)-3i+1=3k,+k2+kn-)+1,不是数 列也}中的项： 即242.24.2.g{xx=24,neN}…15分 当m=3i+l,(ieN)时， b+b,+…+b=3k1+k2+k)-m=3(k+k,+km)-3i-1=3(k+k2+…km-30-1,是数 列b}中的项： 即2.2.2s.24∈{xx=2,neN}…16分 综上，{xx=2,neW}是m类集合，m=3i+l,(ieN):…17分