2025届广东省大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）数学试题

2025届大湾区普通高中毕业班联合模拟考试(一) 数学参考答案 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求的 题号 2 3 4 # 6 7 8 答案 C C B D D A A 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 题号 , 答案 BCD AD AD 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. =2} 14. 12.120 13. 四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15.(13分) 解:(1)法一:数列a.是等差数列, 设公差为d, 由韦达定理得a.+a=4n, ................... fa.+=4 于是有 ......................分 2+□-8' a-a=4-2d,则d=2. ...........................5分 故4=a.+a,=2a.+d,则a.=1. ....................6.. 法二:由韦达定理得a.+a..=4n, ................ 数学参考答案 第1页(共10页) 因为数列ja.是等差数列,设公差为d,所以a.+(n-1)d+a+nd=4n; 即2nd+2a.-d=4n. ...................... [2d-4 所以 2a-d-0' ...........................4分 故d=2,a=1. .................. (2)由(1)知a=1,d=2, 故a.=a.+(n-1)d=2n-1. ...........................7分 .........................10分 $.-])+3+)-+7)+(-1)22-1+(-1” 2n+1 ................ 16.(15分) 解:(1)方法一:因为AD为BC边上中线,AD-(4+AC), ................分. 得AD2-(4B+4(C)}, 即AD-(AB+4C2+2.AB:4Acos4)-4(e2+62+2cb·co4).13分 在△ABC中,由余弦定理得:a2}=b^{②}+c^②}-2bc·cosA; ..........4分. 所以2bc·cos/A=b?+c2-a2, .............5分 所以D-(20#-). ..................... ...................... 数学参考答案 第2页(共10页) 方法二:因为AD为BC边上中线,所以BD=CD, 在△ABC中, ADB+ ADC=π..cos ADB+cos ADC=0. ............分 在AADB和AADC中:由余弦定理得: 2AD.BD 2AD.BD 即$AD+BD}+CD-AB}-AC^{*}=0$$$$ ...........................5分 所以AD-{(C ABRBc). ...........................6分 1#4D-(#)□# ......................分 (2)因为A-. ,=2,所以a2}=b2}+c2}-bc 3 ...........................9分 .........................11分 Bb=c 当且仅当{ 即b三c三2时等号成立, b2+c2=bc+4' ......................分 所以AD=2(62}-)-aV2(6+2)-A4<16-4=3.)14分 故AD的最大值为、3 .......................分 17.(15分) 解:(1)过D作DE1AB于E,过C作CF1AB于F 则EF-DC-2. 所以AE=FB=1: 又因为A.D-2.,.所以 DAB=60{",......2分 在AABD中,由余弦定理得 数学参考答案 第3页(共10页) 所以DB^{}+AD^{}=AB^{},即AD1BD$$ ......................分 又因为PD1面ABCD,所以PD1BD, .....................分 又因为PDOAD=D,PD.ADC面PAD. 所以BD1面PAD. ....................分 又因为PA-面PAD,所以BD1PA; .....................分 (2)方法一:取AB的中点O,则AD=AO=2, 又:· DAB=60. ·.AAOD为等边三角形, :O.D-OA=OB=OC=2. 即O.为四边形ABCD外接圆的圆心,且半径r.O.A..2,....................8分 过O.作平面ABCD的垂线/,则PD//I; 在平面PDO内作PD的垂直平分线交/与O点 则OP=OD=OA=OB=OC. 即O为四校锥P-ABCD的外接球的球心 ...........................9分 ......................分 2. .................. .PD-3, ....................... 连接PE,:AB DE.AB1PD,DE,PDC平面PDE,DE。PD=D, *.AB1平面PDE, 又.·PEC平面PDE, 数学参考答案 第4页(共10页) :.AB1PE, .PED为二面角C-AB-P的平面角 ............................3分 D3, tan/PED- DE3 ...........................14分 ...........................15分 方法二:等腰梯形ABCD的外接圆,即为RtAABD的外接圆 取AB的中点O,则O.为ABCD等腰梯形的外接圆的圆心; .....................8分 且半径¥=O.A=2,过O.作平面ABCD的垂线I,则PD//l 在平面PDO.内作PD的垂直平分线交/与O点 则OP=OD=OA=OB=OC. 即O为四校锥P一ABCD的外接球的球心 ...........................9分 ..........................10分 # ..................... .PD-3, ...................... .: PD1 PC.PD1 DE.DE1DC. 以D为原点,DE,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系 D-xyz: 易知平面CAB的一个法向量 2 m=(0.0.1)A=(3.-1.0).B(V3.3.0)P(0.0.: AB=(0.4.0),AP=(-3.1.3) 数学参考答案 第5页 设平面ABP的法向量是n=(x.y,z). 则 4y=0 ln.AP-o' 1-3x+y+3z=0 不妨取2=1,则π=(3,0,1) ....................1.分 #.1-1 则cos(i,n) ...........................14分 |||1x22' 由图可知二面角C-AB-P为锐角 .....................分. 18. 【详解】(1)cx>ln(1+x)对任意x>0恒成立,取x=1,得c>ln2>0,.....1分 令(x)=cx-ln(1+x),xe[0.+oo),o(0)=0. ......................分. 1+x 1+x ①当c>1时,(x)>0,(x)在区间[0,+oo)上单调递增, 所以Vxe[0,+oo),(x)=cx-ln(1+x)>(0)=0,所以c>1符合要求; ........分 ②当0<c<1时,令p(x)=0→x-1-c C 。 ..........................4分 综上所述,c>1. 取c=1,根据上述证明可知:xe(0,+oo),x-ln(1+x)>(0)=0,即x>ln(1+x) ....................6.. 令-.>1n(1+0,即1 n1+)=ln[1+) 数学参考答案第6页(共10页) 所以(1)# ...........................7分 即a>3 ...........................8分 , n n 12#2_1)0. .......................分 考虑函数 (x)=cx-ln(1+x),xE(0,+o) ...........................10分 恒成立, ............11分 .两边取对数,得-Inaàn12). #3 e→(1-)#. _0# -)- ....................1分 c-1+cx 1+x 1+x C 数学参考答案 第7页 (共10页) C 这与VeN-2)--1(1--)→0矛盾!, 故c>1不符合条件; ..............1.分 ②当0<c<1时,当xE(-1,0),q(x)<0, (×)在区间(-1.0)上单调递减 所以当xE(-1,0)时,(x)>(0)=0 所以c<1符合题意 即a<e2. ...........................6分 综合(i)(ii),a=e?. .......................分 19.【详解】(1)设E(x,y),则xl1-)} .............分 2 2 即x2-4(1-y), ....................分 ............4分 4 M (2) (i)因为|DG| IH=DH| IG 1DG|/G 所以 [DH||IH| 不妨设IG=2IH,则DG=-2DH ...............5分 设G(×,y),H(x,y),/(x,y%) 数学参考答案 第8页(共10页) $-1=-#+# 由$DG=}DH,得(x-1,y)=-(x1,y). ly=-2y2 [$x+x=1+a 即{ +2y=0 ...........................6分 $ G=H,得(x-x,\-%=(x-$xo,y-y%,则 $×-x。=(x-x。) -y%=(-%)' 1-2 即{ . .......................分 1-2 (x+x)(x-x) ①-22x②得 +(y+y)(y-y)=1-, (1+2) (×-x)=1-2}, .................分 4 '.$-2x=4(1-2), ................分. x-2x2-4, .#。 .............1. 1-2 即/的轨迹程为x=4(y:0). ..................分. ) ,2 x'+2x'-2 *2-42-4 设,.斜率分别为k,k, 则k #k=kp#kpn=- 1 H .........1.分 4' [y=(x-1) 联立 ,解得/(4,3k.), 1x-4 数学参考答案 第9页(共10页) y=(x-1) 联立 ,解出R(-1,-2k). 1--1 设直线x=4与x轴交于点S,直线x=-1与x轴交于点O(-1,0). 则SADR=Sn选形os-SApoR -SAost -362-5/(2-13--4)3 ) .....................分 说明: 用其他方法得到面积表达式并求出最小值均给3分。 3 当且仅当3k.-- 4k 2 ............................7分 '.AIDR面积的最小值为3. 数学参考答案 第10页 (共10页)★启用前注意保密 2025届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证 号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项 的答案信息，点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案 不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题 目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新 答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={xx=2k,k∈Z,B={log2x<3},则A∩B= A.{2,4 B.{4,6 c.{0,2,4y D.{2,4,6 2.复数z满足z(1+i)=2i,其中i为虚数单位，则= A.2 B.2W2 C.1 D.√2 3.已知平面向量ā，6的夹角为60°， 且日=2，a+=25,则= A.1 B.2 c.2W2 D.4 4.若1，m为两条不同的直线，a,B为两个不同的平面，则 A.若l1∥a,mca,则1∥m B.若11∥a,m∥a,则l1∥m C.若l⊥a,m⊥B,1⊥m,则a⊥B D.若l∥a,a∥B,则l1IB 5.下列四组数据中，方差最小的为 A.29,25,37B.30,46,25 C.38,40,35 D.40,18,30 大湾区联考高三数学第】页（共4页） 6.早在两千年前，古人就通过观测发现地面是球面，并会运用巧妙的方法佔算地球半 径.如图所示，将太阳光视为平行光线，O为地球球心，A,B为北半球上同一经度 上的两点，且A,B之间的经线长度为L,于同一时刻在A,B两点分别竖立一根长 杆AA和BB,通过测量得到两根长杆与太阳光的夹角为α和B(α和B的单位为弧 度)，由此可计算地球的半径为 L A. B-a B L B. 太阳光 sin(B-a) 地球 C. a+B D sin(a+β) 7.设函数f(x)=ln(e2“+1)+x-x,则不等式f(2x-1)-f(x+1)≤0的解集为 A.（-∞，2] B.[0,2] C.[2,+o∞) D.(-o,0]U[2,+o) 8. 已知抛物线y2=4x的弦AB的中点横坐标为5，则AB的最大值为 A.12 B.11 C.10 D.9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知直线1：x-y+2k=0和圆0：x2+y2=9,则 A.直线1恒过定点(2,0) B.存在k使得直线1与直线x-2y+2=0垂直 C.直线1与圆O相交 D.若k=-】,直线1被圆O截得的弦长为2√万 10.已知函数f(x)=sinx.v1+cos2x,则 A,f(x)是奇函数 B.∫(x)的最小正周期为π c.)o 上单谒递增 D.f(x)的最小值为- √2 2 大湾区联考高三数学第2页（共4页） 11.设曲线C:y=e,抛物线C2:y2=2px(p>0),记抛物线的焦点为F,M,2为分 别为曲线C,C上的动点，I为曲线C的切线，则 A.若C与C2无公共点，则p∈(0，e) B.若1过点F,则I被C,截得的弦长为p+。 2 C当p=1时，FM5 D.当p=1时，Mg>2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.双曲线2-上=1的左，右焦点分别为F,5,点P在双曲线右支上，若P听=4， 6 则∠FPF2= 13.在AMBC中，已知C=8,am4amB=2-5,则co4-) 14.有三个袋子，每个袋子都装有n个球，球上分别标有数字1,2,3，，n,现从每个袋子 里任摸一个球，用X,Y,Z分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的 数，则事件“X+Y=Z”的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 己知等差数列{an}满足an，an1是关于x的方程x2-4x+bn=0的两个根. (1)求a: 的前n项和Sn 16.(15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,AD为边BC上的中线. D证明：D=6+c)a: 2)若A=号a=2,求A0的最大值， 大湾区联考高三数学第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD, AB//DC,BC=CD=AD=2,AB=4. (1)证明：PA⊥BD: (2)若四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为25π， 求二面角C-AB-P的余弦值. 18.(17分) 数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质，比如，为了研究数列 a,=(1+)”(n∈N)的性质，对通项公式取对数得，lna,=n(1+, 则可通过研 究函数y=ln(l+x)的性质，得到数列{nan}的性质，进而得到{an}的性质.请根据以 上材料，解决如下问题： (1)若不等式cx≥l(1+x)对任意x≥0恒成立，求实数c的取值范围，并证明： e>a+马： -21 (2)是否存在常数a,使得：n∈N有，1-a"<二<a"-1?若存在，求a的 n 值；若不存在，请说明理由. (注：e为自然对数的底数) 19.(17分) 线段MN的长为3，端点M,N分别在y轴和x轴上运动，点E满足M匠=2E不， 记点E的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程： (2)曲线C与x轴的左右两个交点分别为A,B,P为C上异于A,B的动点.过点 Dl,0)分别作直线l∥AP,直线l2∥BP,其中l与曲线C交于G,H两点，2交直线 x=-1于点R,点I满足DG丽=|DH川元. ①求点/的轨迹方程： ②△DR的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值：若不存在，请说明理由. 大湾区联考高三数学第4页（共4页）