2025年中考数学（安徽地区专用）一轮复习中考考点探究：第25课时　与圆有关的位置关系课件

第六单元　圆 第25课时　与圆有关的位置关系 第一部分　安徽中考考点探究 01 知识梳理 02 典例探究 03 当堂反馈 目 录 返回目录 返回目录 考点一　与圆有关的位置关系 典例1 （沪科九年级下册P25习题24.2第1题改编）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3 ，点P在边AB上，且BP＝3AP. 如果☉P是以点P为圆心、PD长为半径的圆，那么下列判断正确的是（　C　） 典例1图 C A. 点B，C均在☉P外 B. 点B在☉P外，点C在☉P内 C. 点B在☉P内，点C在☉P外 D. 点B，C均在☉P内 返回目录 典例2 （2024·合肥瑶海三模）已知点A在半径为3的☉O上，如果点A到直线a的距离是6，那么☉O与直线a的位置关系是（　D　） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 以上答案都不对 典例3 （2024·蚌埠怀远模拟）已知☉O的半径为6，圆心O到直线AB的距离为5，则直线AB与☉O的位置关系是 　相交　. D 相交　 返回目录 考点二　切线的性质 典例4 （2024·合肥庐江模拟）如图，AB与☉O相切于点B，AO的延长线交☉O于点C，D为优弧BC上任意一点.若∠A＝28°，则∠D的度数为（　B　） 　典例4图 A. 62° B. 59° C. 56° D. 45° B 返回目录 典例5 （2024·马鞍山花山二模）如图，AB为☉O的直径，在BA的延长线上取一点C，CD与☉O相切于点D，AE∥CD交☉O于点E，且∠BAE＝30°，连接DE. （1） 求证：四边形ACDE为平行四边形； 解：（1） 如图，连接OD. ∵ CD与☉O相切于点D， ∴ ∠CDO＝90°.∵ AB为☉O的直径，∴ ∠AEB＝90°.∴ ∠AEB＝∠CDO. ∵ ∠BAE＝30°，∴ BE＝ AB. ∴ BE＝OD. ∵ AE∥CD， ∴ ∠BAE＝∠C. ∴ △OCD≌△BAE. ∴ CD＝AE. ∴ 四边形ACDE为平行四边形. 典例5图 返回目录 （2） 已知F为 的中点，连接EF，若CD＝2 ，求EF的长. 典例5图　典例5图答案 返回目录 解：（2） 如图，连接OF，BF，过点B作BH⊥EF于点H. 由（1）知，AE＝CD＝2 .∵ ∠BAE＝30°，∴ BE＝2，AB＝4.∴ OB＝OF＝ AB＝2.∵ F为 的中点，∴ ∠BOF＝90°.∴ BF＝2 . ∵ ∠BEF＝ ∠BOF＝45°，∴ BH＝EH＝ .∴ FH＝ ＝ .∴ EF＝EH＋FH＝ ＋ . 典例5图答案 返回目录 典例6 （2022·安徽）已知AB为☉O的直径，C为☉O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD. （1） 如图①，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长. 解：（1） ∵ OA＝1＝OC，CO⊥AB，∠D＝30°，∴ OD＝ ·OC＝ .∴ AD＝OD－OA＝ －1. 典例6图 返回目录 （2） 如图②，若DC与☉O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE. 求证：CE⊥AB. 　　 典例6图 解：（2） ∵ DC与☉O相切，∴ OC⊥CD，即∠ACD＋∠OCA＝90°.∵ OA＝OC，∴ ∠OCA＝∠OAC. ∵ ∠ACD＝∠ACE， ∴ ∠OAC＋∠ACE＝90°.∴ ∠AEC＝90°，即CE⊥AB. 返回目录 考点三　切线的判定 典例7 （2024·蚌埠模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E为以BD为直径的☉O上一点，且AE＝AC，连接BE，DE，已知AD＝1，AC＝ . （1） 求☉O的周长； 解：（1） ∵ CD⊥AB，∴ ∠ADC＝90°. ∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠ADC＝∠ACB. 又∵ ∠CAD＝∠BAC， ∴ △ACD∽△ABC. ∴ ＝ .∵ AD＝1，AC＝ ，∴ ＝ . ∴ AB＝5.∴ BD＝AB－AD＝4.∴ ☉O的周长为4π. 典例7图案 返回目录 （2） 求证：AE是☉O的切线. 典例7图 返回目录 解：（2） 如图，连接OE. 由（1），得 ＝ .∵ AE＝AC，∴ ＝ .∵ ∠DAE＝∠EAB，∴ △ADE∽△AEB. ∴ ∠AED＝∠ABE. ∵ BD是☉O的直径，∴ ∠BED＝90°.∴ ∠ABE＋∠BDE＝∠AED＋∠BDE＝90°.∵ OD＝OE，∴ ∠BDE＝∠OED. ∴ ∠OED＋∠AED＝∠AEO＝90°. ∴ AE⊥OE. ∵ OE是☉O的半径， ∴ AE是☉O的切线. 典例7图答案 返回目录 （1） 若已知直线与圆的公共点，则连接这个公共点和圆心，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为有切点，连半径，证垂直. （2） 若未知直线与圆的公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为无切点，作垂线，证相等.　 [方法归纳] 判定圆的切线的常见思路 返回目录 【变式】（2024·合肥肥东模拟）如图，AB为半圆O的直径，AC是半圆O的一条弦，D为 的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接DA，DB. （1） 求证：DE是半圆O的切线； 解：（1） 如图，连接OD. ∵ D为 的中点，∴ ＝ .∴ ∠CAD＝∠BAD. ∵ OA＝OD，∴ ∠BAD＝∠ADO. ∴ ∠CAD＝∠ADO. ∴ AE∥OD. ∵ DE⊥AC，∴ OD⊥DE. ∵ OD是半圆O的半径，∴ DE为半圆O的切线.半径为2 . 解：（1） 如图，连接OD. ∵ D为 的中点，∴ ＝ .∴ ∠CAD＝∠BAD. ∵ OA＝OD，∴ ∠BAD＝∠ADO. ∴ ∠CAD＝ ∠ADO. ∴ AE∥OD. ∵ DE⊥AC，∴ OD⊥DE. ∵ OD是半圆O的 半径，∴ DE为半圆O的切线. 变式图答案 变式图　变 返回目录 17 （2） 延长ED交AB的延长线于点F，若AD＝DF，DE＝ ，求半圆O的半径. 变式图答案 解：（2） ∵ AD＝DF，∴ ∠DAF＝∠DFA. 又∵ ∠EAD＝∠DAF，∴ ∠EAD＝∠DAF＝∠DFA. ∵ DE⊥AC，∴ ∠AEF＝90°.∴ ∠EAD＝∠F∴ AD＝2DE＝2＝4.∴ 半圆O的半径为2. 解：（2） ∵ AD＝DF，∴ ∠DAF＝∠DFA. 又∵ ∠EAD＝ ∠DAF，∴ ∠EAD＝∠DAF＝∠DFA. ∵ DE⊥AC，∴ ∠AEF＝ 90°.∴ ∠EAD＝∠F＝∠DAB＝30°.∴ AD＝2DE＝2 .∴ BD ＝ AD＝ ×2 ＝2.∴ AB＝2BD＝4.∴ 半圆O的半径为2. 变式图　变 返回目录 考点四　切线的性质与判定的综合应用 典例8 （2024·蚌埠固镇三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在边AC上，且∠CBO＝∠CAB，过点A作AD⊥BO，交BO的延长线于点D，以点O为圆心、OD长为半径作☉O交BO于点E. （1） 求证：AB是☉O的切线； 解：（1） 如图，过点O作OF⊥AB于点F. ∵ AD⊥BO，∠C＝90°，∠AOD＝∠BOC，∴ ∠DAO＝∠CBO. ∵ ∠CBO＝∠CAB，∴ ∠DAO＝∠BAO. ∵ AD⊥BO，OF⊥AB，∴ OD＝OF，即OF为☉O的半径.∴ AB是☉O的切线. 典例8图 返回目录 （2） 若☉O的半径为5，BE＝8，求线段AB的长. 典例8图 解：（2） ∵ ☉O的半径为5，BE＝8，∴ OB＝13，OF＝5，BD＝18.在Rt△OBF中，由勾股定理，得BF＝ ＝12.∵ ∠OBF＝∠ABD，∠OFB＝∠ADB，∴ △OBF∽△ABD. ∴ ＝ .∴ ＝ .∴ AB＝ . 典例8图答案 返回目录 考点五　切线长定理与内切圆 典例9 （沪科九年级下册P41习题24.4第10题改编）如图，直线AB，BC，CD分别与☉O相切于点E，F，G，且AB∥CD. 若OB＝6，OC＝8，则BE＋CG等于（　D　） 典例9图 A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 D 返回目录 典例10 （2024·芜湖二模）如图，☉O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，且AB＝3，BC＝5，AC＝4，则CD＝ 　 　. 典例10图 　 返回目录 典例11 （2024·安庆望江模拟）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆☉O相交于点D， 过点D作直线DG∥BC. （1） 求证：DG是☉O的切线； 解：（1） 如图，连接OD交BC于点H. ∵ 点E是△ABC的内心， ∴ AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD. ∴ ＝ .∴ OD⊥BC，BH＝CH. ∵ DG∥BC，∴ OD⊥DG. ∵ OD是☉O的半径，∴ DG是☉O的切线. 典例11图　典例11图答案 典例11图答案 返回目录 （2） 求证：DE＝CD； 解：（2） 如图，连接BD. ∵ 点E是△ABC的内心，∴ BE平分∠ABC，即∠ABE＝∠CBE. ∵ ＝ ，∴ ∠DBC＝∠BAD. ∴ ∠DEB＝∠BAD＋∠ABE＝∠DBC＋∠CBE＝∠DBE，即∠BED＝∠DBE. ∴ BD＝DE. ∵ ＝ ，∴ BD＝CD. ∴ DE＝CD. 典例11图　典例11图答案 典例11图答案 返回目录 （3） 若DE＝2 ，BC＝8，求☉O的半径. 典例11图　典例11图答案 典例11图答案 解：（3） 如图，连接OB，由（1），得OD⊥BC，BH＝CH. ∵ BC＝8，∴ BH＝CH＝4.∵ DE＝2 ，BD＝DE，∴ BD＝2 .在Rt△BHD中，BD2＝BH2＋HD2，∴ （2 ）2＝42＋HD2.∴ HD＝2.在Rt△BHO中，OB2＝BH2＋OH2，即OB2＝42＋（OB－2）2.∴ OB＝5，即☉O的半径为5. 返回目录 1. （2024·芜湖镜湖三模）如图，BC是☉O的切线，B是切点，连接CO交☉O于点D，延长CO交☉O于点A，连接AB. 若∠C＝30°，OD＝2，则AB的长为（　C　） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 第1题 C 1 2 3 返回目录 2. （2024·蚌埠二模）如图，☉O与AB相切于点B，连接AO交☉O于点E，过点B作BF∥OA交☉O于点F，连接EF. 若∠A＝40°，则∠OEF的度数为 　25°　. 第2题 25°　 1 2 3 返回目录 3. （2024·淮北二模）如图①，☉O的内接四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E，∠BAC＝∠ADB. （1） 求证：DB平分∠ADC； 解：（1） ∵ ＝ ，∴ ∠BAC＝∠BDC. ∵ ∠BAC＝∠ADB，∴ ∠ADB＝∠BDC. ∴ DB平分∠ADC　 第3题 1 2 3 返回目录 （2） 如图②，过点C作CF∥AD，交AB的延长线于点F，若BD平分∠ABC，AC＝AD，求证：CF是☉O的切线. 　 第3题 1 2 3 返回目录 解：（2） 如图②，连接OC. ∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC. ∵ ∠ADB＝∠BDC＝ ∠ADC，BD＝BD， ∴ △ABD≌△CBD. ∴ AD＝CD. ∵ AC＝AD，∴ △ACD是等边三角形.∴ ∠ABD＝∠ACD＝∠CAD＝60°.∵ 四边形ABCD为圆内接四边形，∴ ∠ADC＋∠ABC＝180°.∴ ∠ADB＋∠DBA＝90°. ∴ ∠DAB＝90°.∴ BD是☉O的直径，即点O在BD上.∵ CF∥AD， ∴ ∠F＝90°.∵ OB＝OC，∠CBD＝∠CAD＝60°，∴ △OBC是正三角形.∴ ∠BOC＝60°.∴ ∠ABD＝∠BOC＝60°. ∴ OC∥AF. ∠OCF＝90°.∴ OC⊥CF. ∵ OC是☉O的半径，∴ CF为☉O的切线 1 2 3 返回目录 $$