3.3垂径定理同步练习 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

3.3垂径定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列说法：①经过三点可以作一个圆；②90°的角所对的弦是直径；③相等的圆周角所对的弧相等；④直径是圆中最长的弦．其中正确的说法有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下： ①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆O的一条直径标记为AB（如图1），测量出AB=4分米； ②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）； ③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3）； ④计算出橡胶棒CD的长度. 小明计算橡胶棒CD的长度为（   ） A．2分米 B．2分米 C．3分米 D．3分米 3．如图，P是半径为5的⊙O内一点，且OP=3，在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为（     ）． A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列命题是真命题的是(     ) A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．若三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＋c2＝ac＋bc＋ab，则该三角形是正三角形 5．如图是一个圆弧形门拱，拱高AB=1，跨度CD=6，那么这个门拱的半径为（    ） A．2m B．2.5m C．3m D．5m 6．如图，在半径为10的中，垂直弦于点，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 7．如图，廊桥的圆拱的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为8米，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为2米，则廊桥的桥拱圆弧的半径（    ） A．5米 B．4米 C．米 D．米 8．已知圆O的半径为3，AB、AC是圆O的两条弦，AB=3，AC=3，则∠BAC的度数是（    ） A．75°或105° B．15°或105° C．15°或75° D．30°或90° 9．如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=16cm，CD=6cm，则⊙O的半径为（ ） A． cm B．10cm C．8cm D． cm 10．如图，是的直径，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点，直线与相交于、两点，若，则的长为（    ） A． B．8 C． D． 11．已知的半径为5，弦，M是上一点，且的长为整数，则点M的位置有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 12．如图，圆弧形拱桥的跨径米，拱高米，则拱桥的半径为（   ）米 A． B． C． D． 二、填空题 13．半径为2的圆中，弦、分别长和，则的度数是 ． 14．如图，在坐标系中以原点为圆心，半径为2的圆，直线y＝kx﹣（k+1）与⊙O有两个交点A、B，则AB的最短长度是 ． 15．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面的宽度为，F是线段的中点，经过圆心O交于点E，，则半径的长为 ． 16．若⊙的一条弦长为24，弦心距为5，则⊙的直径长为 ． 17．如图1是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成（下侧磁体固定不动），连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点到地面的距离为，整个地漏的高度（为磁体底部中点），密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 ；当有水时如图2所示，密封盖下移排水，当密封盖下沉至最低处时，点恰好落在中点，若点到的距离为，则密封盖下沉的最大距离为 ． 三、解答题 18．如图1，的直径，点为线段上一动点，过点作的垂线交于点，，连结，.设的长为，的面积为. 小东根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小东的探究过程，请帮助小东完成下面的问题. （1）通过对图1的研究、分析与计算，得到了与的几组对应值，如下表： 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.7 1.7 2.9 4.8 5.2 4.6 0 请求出表中小东漏填的数； （2）如图2，建立平面直角坐标系，描出表中各对应值为坐标的点，画出该函数的大致图象； （3）结合画出的函数图象，当的面积为时，求出的长. 19．尺规作图（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦，且圆心P到∠AOB两边的距离相等．结论： 20．如图，水管内原有积水的水面宽，水深．因几天连续下雨水面上升（即），求此时水面的宽是多少？    21．在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标，，，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域．（单位：海里） (1)某天海面上出现可疑船只，在监测点测得位于南偏东，，求在监测点测的方位是什么？ (2)当可疑船只由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答． 22．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，拱高米，求圆的半径． 23．如图，已知AB=AC，∠APC=60° （1）求证：△ABC是等边三角形． （2）若BC=4cm，求⊙O的面积． 24．如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD，求证： 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《3.3垂径定理》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D D B A B A C 题号 11 12 答案 B A 1．A 【详解】分析：根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；根据圆周角定理对③行判断，根据直径对④判断． 详解：经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，所以①错误； 90°的圆周角所对的弦是直径，所以②错误； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以③错误； 直径为圆中最长的弦，故④正确； 故选A． 点睛：本题考查了圆的相关概念．综合性较强，熟练掌握各个定理及性质是解题的关键，注意定理中应满足的条件． 2．B 【详解】如下图，过点O作OE⊥CD于点E，连接OC， ∴CD=2CE，∠OEC=90°， ∵⊙O的直径为4， ∴OC=2， 又∵由题意可知：OE=⊙O的半径， ∴OE=1， 又∵在Rt△OCE中，CE=， ∴CE=， ∴CD=2CE=（分米）. 故选B. 点睛：本题是一道利用“垂径定理”构造直角三角形求弦长的问题，解题的关键是中抓住“点B沿弦CD折叠后，刚好落在圆心O处”得到OE=⊙O的半径=1，这样即可由勾股定理在Rt△OCE中求得CE的长，从而得到CD的长了. 3．C 【详解】试题分析：由于⊙O的半径为5，OP=3，则过点P的弦最短为8，长度为8的有1条，最长为10，长度是10的有1条，长度为9的弦有两条，故长度为整数的弦的条数一共有4条．故选C． 考点：1．圆心角、弧、弦的关系；2．垂径定理． 4．D 【分析】根据真假命题的定义及有关性质逐项判断即可. 【详解】A、真命题为:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故本选项错误; B、真命题为:对角线相等且互相垂直的四边形是正方形或等腰梯形,故本选项错误; C、真命题为:平分弦的直径垂直于弦(非直径),并且平分弦所对的弧,故本选项错误; D、∵a2＋b2＋c2＝ac＋bc＋ab，∴2a2＋2b2＋2c2-2ac-2bc-2ab=0，∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0，∴a=b=c，故本选项正确. 故选D. 【点睛】本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义及几何图形的性质是解答本题的关键，当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题.熟练掌握所学性质是解答本题的关键. 5．D 【解析】略 6．B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，先由垂径定理得到，再利用勾股定理求出，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵垂直弦于点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选B． 7．A 【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，连接OA，根据垂径定理可得，，利用勾股定理即可得的长. 【详解】∵为桥拱圆弧的中点到弦的距离， ∴此圆圆心在所在的直线上， 设圆心为，连接， ∵，， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴桥拱圆弧的半径为米. 故选A. 【点睛】本题考查垂径定理及勾股定理的应用，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；能够构造出由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算是解题关键． 8．B 【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：分别作OD⊥AC，OE⊥AB，垂足分别是D、E．    ∵OE⊥AB，OD⊥AB， ∴AE=AB=，AD=AC=， ∴， ∴∠AOE=45°，∠AOD=30°， ∴∠CAO=90°-30°=60°，∠BAO=90°-45°=45°， ∴∠BAC=45°+60°=105°， 同理可求，∠CAB′=60°-45°=15°． ∴∠BAC=15°或105°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解． 9．A 【详解】试题分析：连结OA，如图，设⊙O的半径为r，∵OD⊥AB， ∴AC=BC=AB=8，在Rt△OAC中，∵OA=r，OC=OD﹣CD=r﹣6，AC=8， ∴（r﹣6）2+82=r2，解得r=， 即⊙O的半径为cm． 故选A． 【考点】垂径定理；勾股定理． 10．C 【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是根据作图过程得出垂直平分线，利用垂径定理得出最后结果．连接，设和交于点，根据作图得出垂直平分，利用勾股定理求出，再根据垂径定理得出结果． 【详解】解：连接， 设和交于点， 由作图可知：垂直平分， ， ，， ， ， ， 故选：． 11．B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的轴对称性，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，过点O作于点C，可知为的最小值，为的最大值，根据勾股定理求得，即可得到的取值范围，取其整数值再根据圆的轴对称性即可解题． 【详解】解：连接，过点O作于点C， ， ， 又， ， ． 的长为整数， 的长为3，4，5． 根据圆的轴对称性，知点M的位置共有5个． 12．A 【详解】试题分析：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．得AD=6设圆的半径是r， 根据勾股定理， 得r2=36+（r﹣4）2，解得r=6.5 考点：垂径定理的应用． 13．或 【分析】先根据题意分圆心点O在的内部和圆心点O在的外部两种情况，再画出相应的图形，然后分别利用垂径定理、解直角三角形求解即可得． 【详解】由题意，分以下两种情况： （1）如图1，圆心点O在的内部 过点O分别作于点D，作于点E，连接OA，则 在中， 在中， （2）如图2，圆心点O在的外部 过点O分别作于点D，作于点E，连接OA，则 在中， 在中， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 14． 【分析】易知直线y=kx-3k+4过定点D（1，-1），运用勾股定理可求出OD，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题 【详解】解：∵直线y＝kx﹣（k+1）可化为y＝（x﹣1）k﹣1， ∴此直线恒过点（1，﹣1）． 过点D作DH⊥x轴于点H， ∵OH＝1，DH＝1，OD＝＝＝． ∵OB＝2， ∴BD＝＝＝， ∴AB＝2． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点（1，-1）以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个性质是解决此题的关键． 15． 【分析】根据垂径定理和勾股定理，设未知数列方程求解即可． 【详解】解：∵是弦，，点F是的中点，过圆心O， ∴， 连接，设，则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 所以，半径的长为 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握勾股定理、勾股定理是正确解答的前提． 16．26 【分析】根据题意画出相应的图形,如图所示,由OC垂直于AB ,利用垂径定理得到 C为AB的中点,由 AB的长求出 AC的长,在直角三角形AOC 中,由 AC与OC 的长,利用勾股定理求出 OA的长,即可确定出圆O 的直径长. 【详解】解:根据题意画出相应的图形,如图所示, ∵OC⊥AB ∴AC=BC= AB=12 在 Rt△AOC中,AC=12 OC=5, , 根据勾股定理得: AO= , 则圆 O的直径长为26 . 故答案为:26 【点睛】此题考查勾股定理，垂径定理及其推论，解题关键在于画出图形 17． 【分析】①根据已知条件得到直角三角形，再利用勾股定理得到的长度，进而得到半径；②利用三角形中位线的性质得到，再利用勾股定理及矩形的性质得到密封盖下沉的最大距离． 【详解】解：①设作圆心，连接交于点， 设， ∵最高点到地面的距离为， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ②作，延长，交于点，作交于点， ∵， ∴， ∴点是的中点， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点到的距离为， ∴， ∵， 回到图，作， 由勾股定理得：， ∴移动前到地面的距离为：， ∵移动的距离为密盖下沉的距离， ∴， ∴密封盖下沉的最大距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段性质，垂径定理，勾股定理，三角形中位线的性质，矩形的性质等相关知识点，掌握垂径定理是解题的关键． 18．（1）；（2）详见解析；（3）2.0或者3.7 【分析】（1）当x＝2时，点C与点O重合，此时DE是直径，由此即可解决问题； （2）利用描点法即可解决问题； （3）利用图象法，确定y＝4时x的值即可； 【详解】（1）当时，即是直径，可求得的面积为4.0， ∴； （2）函数图象如图所示： （3）由图像可知，当时，或3.7 【点睛】本题考查圆综合题，三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 19．见解析 【分析】首先作出∠AOB的平分线，然后作出MN的垂直平分线，两线的交点即为圆心P，然后以点P为圆心，以PM半径画圆求解即可． 【详解】解：如图所示， 以点O为圆心，适当长度为半径画弧，与OA，OB分别交于点E，F， 以点E和点F为圆心，大于长度为半径画弧，交于点H，连接OH． 以点M和点N为圆心，大于长度为半径画弧交于点G和点Q，连接GQ． 此时QG与OH的交点即为点P， 以点P为圆心，PM长度为半径画圆， 此时⊙P满足以线段MN为弦，圆心P到∠AOB两边的距离相等，即为所求． 【点睛】此题考查了尺规作角平分线和垂直平分线，圆的性质等知识，解题的关键是熟练掌握尺规作角平分线和垂直平分线的方法，以及圆的基础性质． 20．此时水面的宽是． 【分析】本题综合考查了勾股定理和垂径定理的应用，勾股定理，构造直角三角形是解题的关键． 连接、．设的半径是，则，．根据垂径定理，得cm．在直角中，根据勾股定理求得的值，再进一步在直角中，根据勾股定理求得的长，从而再根据垂径定理即可求得的长． 【详解】 解：如图所示，连接、．    设的半径是，则，． ， cm． 在直角中，根据勾股定理，得 ， 解得，． 在直角中，根据勾股定理，得 （cm）． 根据垂径定理，得（cm）． 故此时水面的宽是cm． 故答案为： 21．(1)南偏东60°， (2)不会闯入安全警戒区域，过程见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、直线与圆的位置关系．垂径定理的应用； （1）过点C作轴于点D，设，则，解直角三角形求得x，进而求得； （2）由（1）知，根据三角函数的定义得到，过点C作轴于点G，过点作于点E，交于H，过点作于点F，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：过点C作轴于点D，    依题意，得，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中， ，， ∴ ∵ ∴ 解得：，即 ∴ ∴ ∴ ∴监测点测的方位是南偏东60° （2）解：不会，计算如下： 由（1）知， ∵， ∴， ∴， 过点C作轴于点G，过点作于点E，交于H，    ∴， ∴， 过点作于点F， 则四边形是矩形， ∴， 由已知得，， ∵， ∴线段是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴直线与相离，C船不会闯入安全警戒区域． 22．圆的半径为米． 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理求出的长，设米，得到米，再利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：连接， 有， 路面米， 米， 设米， 拱高米， 米， ， ， 解得， 圆的半径为米． 23．（1）证明见解析（2）OC= 【详解】试题分析：（1）根据等弧对等弦和等弧所对的圆周角相等，证明得到有一个角是60度的等腰三角形即是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质构造一个30度的直角三角形，运用垂径定理和勾股定理计算． （1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°， 又，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形． （2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°， 设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC= 24．见解析 【分析】作半径OE⊥AB交圆于E点，利用垂径定理得到相等的弧，两边相减即可得证． 【详解】证明：作半径OE⊥AB交圆于E点． ∵AB∥CD， ∴OE⊥CD， ∴， ∴ 即：． 【点睛】本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是正确地作出垂直于弦的半径． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$