精品解析：上海市曹杨二中附属学校2024-2025学年八年级上学期数学期中考试试卷

2024学年第一学期八年级数学学科期中考试试卷 时间：90分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列二次根式中,与属同类二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 若ab＜0，则函数y＝ax与y＝在同一坐标系内的图象大致可能是如图中的（　　） A. B. C. D. 4. 如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（ ）. A. 或 B. C. D. 且 5. 下列问题中，两个变量成反比例的是（ ） A. 商一定时（不为零），被除数与除数 B. 等边三角形的面积与它的边长 C. 货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D. 长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 6. 如图，已知在中，，且，和都是等腰直角三角形，下列结论中正确的有（ ） ①；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共12题，每空4分，满分48分） 7. 当时，化简________． 8. 函数的定义域是________． 9. 方程x（x+1）= x+1的解是________． 10. 已知，那么______． 11. 如果正比例函数的图象经过第二，四象限，那么______． 12. 一个三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是_______． 13. 如图，在中，，，，，则的度数是_______． 14. 已知反比例函数的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是 _______________ 15. 如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为8，则反比例函数的表达式是__________． 16. 如图，双曲线经过矩形的边的中点E，交于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为_____________． 17. 如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么_______°． 18. 如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 解方程：. 21. 已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作轴的垂线交轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）如果点在的图象上，且的面积为面积的2倍，求点的坐标． 22. 浦东新区在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖路面的铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映所铺设的彩色道砖路面的长度（米）与施工时间（时）之间关系的部分图像.请根据题意回答下列问题： （1）甲队每小时施工_________米； （2）乙队在时段内，与之间的函数关系式是_________； （3）在时段内，甲队比乙队每小时快_________米； （4）如果甲队施工速度不变，乙队在小时后，施工速度增加到米/时，结果两队同时完成了任务.则甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖路面的长度为_________米. 23. 如图，在四边形中，，，，平分，点在边上，射线交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）过点作，交于点，求证：． 24. 已知在平面直角坐标中，点在第一象限内，且，反比例函数的图像经过点， （1）当点的坐标为时（如图），求这个反比例函数的解析式； （2）当点在反比例函数的图像上，且在点的右侧时（如图2），用含字母的代数式表示点的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，求的值． 25. 如图（）所示，已知在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作等腰直角．解答下列问题： （1）如果，． ①如图（）所示，当点在线段上时（与点不重合），线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②如图（）所示，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，如果不成立，请说明理由，如果成立，请加以证明． （2）如图（）所示，如果，，点在线段上运动．试探究：当时，吗（点，重合除外）？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期八年级数学学科期中考试试卷 时间：90分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列二次根式中,与属同类二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答． 【详解】A.=3，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项错误； B、=与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项错误； C、=3|b|，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项错误； D、=3|b|，与的被开方数相同，则它们是同类二次根式，故本选项正确； 故选D． 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 2. 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可． 【详解】A、时，不是一元二次方程，故此选项错误； B、是一元二次方程，故此选项正确； C、化简后得，未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故此选项错误； D、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 3. 若ab＜0，则函数y＝ax与y＝在同一坐标系内的图象大致可能是如图中的（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：∵， ∴分两种情况： （1）当时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，根据题意进行分情况讨论，准确掌握函数图象的性质是解题的关键． 4. 如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（ ）. A. 或 B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】因二次三项式在实数范围内不能分解因式，所以=0无实数根，据此求解即可. 【详解】∵二次三项式在实数范围内不能分解因式， ∴=0无实数根， ∴∆=9-16a<0， ∴. 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a(x－x1)(x－x2)＝0 5. 下列问题中，两个变量成反比例的是（ ） A. 商一定时（不为零），被除数与除数 B. 等边三角形的面积与它的边长 C. 货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D. 长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系． 【详解】解：A、商一定时（不为零），被除数和除数成正比例关系,故A错误； B、等边三角形的面积与它的边长不成反比例关系；故B错误； C、货物的总价A一定时，货物的单价a与货物的数量x成反比例关系；故C正确； D、长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b不成反比例关系；故D错误. 故选：C 6. 如图，已知在中，，且，和都是等腰直角三角形，下列结论中正确的有（ ） ①；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握共顶点等腰直角三角形中的“手拉手全等模型”是解题的关键．直接利用等腰直角三角形性质即可证明，则，则可判断①②；延长交于点，利用，得，再利用，可得，即可判断③；利用，， 且，即可判断④． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 故②正确； 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故③正确； ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故④正确； 综上所述，正确的是①②③④，有个， 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每空4分，满分48分） 7. 当时，化简________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是正确理解二次根式的性质． 8. 函数的定义域是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 9. 方程x（x+1）= x+1的解是________． 【答案】x=±1 【解析】 【详解】解：x（x＋1）＝ x＋1 x（x＋1）－（x＋1）＝0 （x＋1）（x－1）＝0 x＋1＝0或x－1＝0 所以x1＝－1，x2＝1， 故答案为±1． 【点睛】本题是个易错题，因为不知道x＋1是否为0，所以不能直接利用等式的性质2两边除以（x＋1）． 10. 已知，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数值的求解，把代入函数表达式，再分母有理化即可得解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 11. 如果正比例函数的图象经过第二，四象限，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的性质，一元二次方程的解法，由正比例函数的性质列出，然后求解即可，熟练掌握正比例函数定义和正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，即， 解得：， 故答案为：． 12. 一个三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解方程，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为，然后计算三角形的周长． 【详解】解：， 或， 所以，， 因为，所以舍去， 所以三角形第三边的长为， 所以三角形的周长， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，，则的度数是_______． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，先利用判定，从而得出对应角相等，再利用角与角之间的关系从而求得所求的度数． 【详解】解：在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 14. 已知反比例函数的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是 _______________ 【答案】m＜ 【解析】 【详解】当x1＜0＜x2时，有y1＜y2根据两种图象特点可知，此时k＞0，所以1-2m＞0，解不等式得m＜1/2 ． 故答案为m＜1/2 ． 15. 如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为8，则反比例函数的表达式是__________． 【答案】y= 【解析】 【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S是个定值，即S=，再结合反比例函数所在的象限即可得到k值，则反比例函数的解析式即可求出． 【详解】设反比例函数的表达式是， 由题意知，， 所以k=， 又反比例函数图象在第二象限上，k<0， ∴k=-8， 即反比例函数的表达式是y=， 故答案为：y=． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，本知识点是中考重要考点，同学们应高度关注． 16. 如图，双曲线经过矩形的边的中点E，交于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意先根据图形之间的关系可知S△OAD=S△OEC=S矩形OABC，则可求得△OCE的面积，根据反比例函数系数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图连接OE， ∵双曲线经过矩形OABC的边BC的中点E， ∴S△OAD=S△OEC=S矩形OABC=S梯形ODBC=1， ∴k=2， 则双曲线的解析式为． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义．主要体现了数形结合的思想，解答此类题一定要正确理解k的几何意义． 17. 如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么_______°． 【答案】或或 【解析】 【分析】由是四边形的美丽线，可以得出是等腰三角形，从图，图，两种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和角的直角三角形的性质就可以求出的度数． 【详解】解：是四边形的美丽线， 是等腰三角形． ， 如图，当时， ，， 是正三角形， ． ， ， ， ． 如图，当时， ． ， 四边形是正方形， ； 如图，当时， 过点作于点，过点作于点，如图3所示， ，， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了四边形的“美丽线”的定义和性质的运用，“美丽线”的判定，等边三角形的性质和判定的运用，矩形的性质与判定，正方形的性质和判定的运用，角的直角三角形的性质的运用． 18. 如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及翻折变换，由折叠性得，， 根据题意可得，， 则，再根据平行四边形的性质可得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性得，， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴的周长的周长平行四边形的周长， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简，先算乘除，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 20. 解方程：. 【答案】， 【解析】 【分析】先将原方程整理，化为一元二次方程的一般形式后，再运用分解因式法求解即可. 【详解】 或 ， 【点睛】本题主要考查对解一元二次方程—因式分解法的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键. 21. 已知：如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作轴的垂线交轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）如果点在的图象上，且的面积为面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点C的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把A的坐标为(2，m)代入，求得m，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）先求出点C的横坐标，代入求得纵坐标，即可得到C的坐标． 【小问1详解】 解：点在函数的图象上，点的坐标为， ， 点坐标为． 点在反比例函数的图象上， ，解得． 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意可知点到的距离，设点C的横坐标是c， 点坐标为． ∴|c-2|=2×2， ∴c=6或-2， 的横坐标为6或， 把代入得；把代入得， 的坐标为或． 【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22. 浦东新区在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖路面的铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映所铺设的彩色道砖路面的长度（米）与施工时间（时）之间关系的部分图像.请根据题意回答下列问题： （1）甲队每小时施工_________米； （2）乙队在时段内，与之间的函数关系式是_________； （3）在时段内，甲队比乙队每小时快_________米； （4）如果甲队施工速度不变，乙队在小时后，施工速度增加到米/时，结果两队同时完成了任务.则甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖路面的长度为_________米. 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】 【分析】（1）用甲的工作总量60工作的时间6，即可得到答案； （2）设函数解析式y=kx，将点（2，30）代入求k的值即可； （3）根据图象分别求出甲、乙的工作效率即可得到答案； （4）设铺设的彩色道砖路面的长度为a米，根据两队同时完成了任务列出方程求出a的值. 【详解】（1）甲每小时施工：606=10（米）， 故答案为：10 （2）当时，设y=kx， 将（2，30）代入，得2k=30， 解得k=15， 故答案为：y=15x； （3）当时，甲每小时的工作量为10米； 乙每小时的工作量为： （米）， ∴甲队比乙队每小时快10-5=5米， 故答案为：5； （4）设铺设的每条彩色道砖路面的长度为a米， 由题意得： ， 解得a=110， 经检验，a=110是原方程的解， 故答案为：110. 【点睛】此题考查一次函数的应用，对图象上点的意义的理解，利用待定系数法求函数解析式，（4）中根据设修路的总长度是解题的关键，利用时间相等得到方程，再解方程即可. 23. 如图，在四边形中，，，，平分，点在边上，射线交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）过点作，交于点，求证：． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由平分可得，再结合已知条件，利用即可得出结论； （2）由全等三角形的性质可得，由两直线平行内错角相等可得，，进而可得，由等角对等边可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，于是可得，由等角对等边可得，于是结论得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行内错角相等，根据等角对等边证明边相等，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 24. 已知在平面直角坐标中，点在第一象限内，且，反比例函数的图像经过点， （1）当点的坐标为时（如图），求这个反比例函数的解析式； （2）当点在反比例函数的图像上，且在点的右侧时（如图2），用含字母的代数式表示点的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，求的值． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）过A作AC⊥OB，根据三角形AOB为等腰直角三角形，得到AC=OC=BC=OB，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AO=AB，利用AAS得出三角形AOE与三角形ABD全等，由确定三角形的对应边相等得到BD=AE=n，AD=OE=m，进而表示出ED及OE+BD的长，即可表示出B坐标； （3）由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求出的值． 【详解】解：（1）如图1，过A作AC⊥OB，交x轴于点C， ∵OA=AB，∠OAB=90°， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴AC=OC=BC=OB=3， ∴A（3，3）， 将x=3，y=3代入反比例解析式得：3= ，即k=9， 则反比例解析式为y=； （2）如图2，过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE， ∵∠OAB=90°， ∴∠OAE+∠BAD=90°， ∵∠AOE+∠OAE=90°， ∴∠BAD=∠AOE， 在△AOE和△BAD中， ∴△AOE≌△BAD（AAS）， ∴AE=BD=n，OE=AD=m， ∴DE=AE-AD=n-m，OE+BD=m+n， 则B（m+n，n-m）； （3）由A与B都在反比例图象上，得到mn=（m+n）（n-m）， 整理得：n2-m2=mn，即（）2+-1=0， 这里a=1，b=1，c=-1， ∵△=1+4=5， ∴= ， ∵A（m，n）在第一象限， ∴m＞0，n＞0， 则=． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键． 25. 如图（）所示，已知在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作等腰直角．解答下列问题： （1）如果，． ①如图（）所示，当点在线段上时（与点不重合），线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②如图（）所示，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，如果不成立，请说明理由，如果成立，请加以证明． （2）如图（）所示，如果，，点在线段上运动．试探究：当时，吗（点，重合除外）？请说明理由． 【答案】（1）①；； ②结论仍然成立，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴ （2） ，理由：过点作，交于点， 当点在点右边时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在点左边时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上可得 ，当时，． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握“手拉手模型”，并会通过辅助线构造模型是解题的关键． （1）①先证，再证，则可得，，即可求证；②方法同①即可证明； （2）过点作，交于点，构造等腰直角三角形，分当点在点右边时，和当点在点左边时，两种情况，再同（1）中方法证明即可得． 【小问1详解】 解：①∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：；； ②略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $