2025年中考数学（安徽地区专用）一轮复习中考考点探究：微专题（八）　正方形中的常考题型课件

第五单元　四 边 形 微专题（八）　正方形中的常考题型 第一部分　安徽中考考点探究 类型一　求最值 方法指导：在已知正方形的条件下，求动点运动时，相关线段或线段和差的最大值或最小值，关键是动中求静、变中找不变，利用正方形的对称性将其转化为“垂线段最短”“两点之间线段最短”求解.两点之间线段最短，即三角形的两边之和大于第三边（两边共线时取最值）. 典例1 （2024·合肥肥东模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，E是边BC上一动点（不与点B，C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，连接CF，则线段CF长的最小值为（　B　） A. 5 B. 5 －5 C. D. 典例1图 B 典例2 （2023·池州东至一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，P，Q分别为边BC，AB上的动点，且AQ＝BP，AP与DQ交于点E，则线段BE长的最小值为 　3 －3　. 典例2图 3 －3　 典例3 （2024·合肥蜀山一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在边AB，BC上，点P在对角线AC上，EF∥AC，PE＋PF＝m，则下列结论中，错误的是（　D　） 典例3图 D A. 若BE＝2，则m的最小值为4 B. 若m的最小值为4，则BE＝2 C. 若BE＝0.5，则m的最小值为5 D. 若m的最小值为5，则BE＝0.5 类型二　十字模型 模型解读：如图①，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点.若AE⊥BF，则AE＝BF. 如图②，E，F，G，H分别是正方形ABCD的边AB，BC，CD，AD上的点.若EG⊥FH，则EG＝FH. 典例4 如图，正方形ABCD的边长为4，E为边DC上一点，DE＝3，连接AE，过点D作AE的垂线，交AE于点F，交BC于点G，则FG的长为（　B　） 典例4图 A. B. C. 3 D. 5 B 典例5 （2024·黄山二模改编）如图①，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE交于点G. （1） 求证：AF⊥DE； 解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABF＝90°.∵ E，F分别为边AB，BC的中点，∴ AE＝BF. ∴ △DAE≌△ABF. ∴ ∠ADE＝∠BAF. ∵ ∠DAG＋∠EAG＝90°，∴ ∠DAG＋∠ADG＝90°.∴ ∠AGD＝90°.∴ AF⊥DE. 典例5图 （2） 如图②，连接BG，求证：GB平分∠EGF. 典例5图 解：（2） 如图②，过点B作BM⊥AF，垂足为M. ∵ AF⊥DE， ∴ BM∥GE. ∵ AE＝BE，∴ 易得AG＝GM. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC. ∵ E，F分别为边AB，BC的中点，∴ AB＝BC＝2BF. 设BF＝a，则AB＝2a.∴ AF＝ ＝ ＝ a.∵ S△ABF＝ AB·BF＝ AF·BM，∴ BM＝ ＝ ＝ a. ∴ AM＝ ＝ ＝ a.∴ GM＝ AM＝ a＝BM. ∴ △BMG为等腰直角三角形. ∴ ∠BGM＝45°，∠BGE＝90°－45°＝45°. ∴ ∠BGM＝∠BGE. ∴ GB平分∠EGF. 类型三　对角互补模型 模型解读：如图①，若∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，如图②，过点D 作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F，则△DEA≌△DFC，AB＋BC＝2BF＝ BD. 典例6 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是（　B　） 典例6图 A. 2 B. C. D. B 典例7 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.求证：CE＝DF. 典例7图 解：∵ 四边形ABCD为正方形，∴ OC＝OD，∠OCE＝∠ODF＝45°，AC⊥BD. ∴ ∠COD＝90°.∴ ∠DOF＋∠COF＝90°. ∵ ∠EOF＝90°，∴ ∠COE＋∠COF＝90°. ∴ ∠COE＝∠DOF. ∴ △COE≌△DOF. ∴ CE＝DF. 类型四　半角模型 模型解读：如图，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，延长CB到点G，使BG＝DF，连接EF，AG，则△AEF≌△AEG，EF＝EG＝BE＋DF. 典例8 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG. 求证：EF＝GF. 　典例8图 解：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°.∵ 点G在CD的延长线上，∴ ∠ADG＝180°－∠ADC＝90°.∴ ∠B＝∠ADG. 在△ABE和△ADG中，∵ ∴ △ABE≌△ADG. ∴ ∠BAE＝∠DAG，AE＝AG. ∵ ∠EAF＝45°，∴ ∠BAE＋∠DAF＝45°.∴ ∠DAG＋∠DAF＝45°，即∠GAF＝45°＝∠EAF. 在△EAF和△GAF中，∵ ∴ △EAF≌△GAF. ∴ EF＝GF. $$